Прохождение непериодического сигнала через линейную цепь

Спектр непериодического сигнала (спектральная плотность) определяется путем вычисления прямого преобразования Фурье

∞

S( jω) =

∫s(t)e− jωtdt. (6.1)

−∞

В свою очередь обратное преобразование Фурье позволяет определить сигнал по его спектру, т.е.

s(t) = 1

2π

∞

∫S( jω)e

−∞

jωt

dω . (6.2)

Как видно из данного выражения, сигнал

s(t)

представляется в виде суммы

бесконечно большого числа незатухающих и бесконечно близких по частоте гармонических колебаний с бесконечно малыми комплексными амплитудами,

 

равными

1 S( jω)dω . Это дает возможность использовать обычные методы

2π

расчета установившихся режимов.

Применительно к решаемой задаче каждая из таких гармонических состав- ляющих входного сигнала обусловит соответствующую гармоническую состав- ляющую выходного сигнала с комплексной амплитудой, равной

1 Sвых(jω)dω = 1

2π 2π

Sвх(jω)K ( jω)dω .

На основании этого можно записать выражение для спектральной плотно- сти выходного сигнала, которое является фундаментальным для рассматривае- мого метода анализа линейных цепей:

Sвых(jω) = Sвх(jω)K ( jω). (6.3)

Таким образом, спектральная плотность выходного сигнала равна произве-

дению спектральной плотности входного сигнала на частотную характеристику цепи.

Выходной сигнал находится с помощью обратного преобразования Фурье, реализующего суммирование бесконечно большого числа его гармонических составляющих:

 

∞

1

sвых (t) = 2π

∫ Sвых ( jω)e jωtdt = 1

− ∞ 2π

∞

∫Sвх ( jω)K( jω)e jωtdt . (6.4)

−∞

Можно предложить следующую последовательность анализа линейных цепей спектральным методом.

1. Определение спектральной плотности

формуле (6.1).

Sвх(jω)

входного сигнала по

2. Определение частотной характеристики цепи одним из известных мето- дов (уравнений Кирхгофа, контурных токов, узловых потенциалов, наложения, из дифференциального уравнения цепи и др.).

3. Расчет спектральной плотности

ле (6.3).

Sвых ( jω)

выходного сигнала по форму-

4. Определение выходного сигнала по формуле (6.4).

В некоторых случаях целесообразно использовать операторный метод ана- лиза цепей, основанный на преобразованиях Лапласа. При этом функции дейст- вительной переменной t преобразуются в функции комплексной частоты, т.е.

переменной

p = σ +

jω . Для этого используются преобразования Лапласа:

F(p) =

∞

∫s(t)e−ptdt и

s(t) =

1 c+ jω

∫

 

F(p)eptdp.

0 2πj c− jω

Функцию

s(t)

называют оригиналом, а функцию

F(p)

– изображением

оригинала по Лапласу или просто изображением. Как видно из данных выраже-

ний, преобразования Фурье могут быть получены из преобразований Лапласа

простой заменой p на

jω с соответствующим изменением пределов интегри-

рования. Преобразования Лапласа являются обобщениями преобразований Фу- рье, поэтому они обладают всеми свойствами, которые характерны для преоб- разований Фурье.

Частотная характеристика цепи в операторной форме получается простой

заменой переменной

jω на комплексную переменную

K (p) = [K ( jω)]jω=σ + jω .

p = σ +

jω , т.е.

Выражение (6.3.) для спектра выходного сигнала цепи будет иметь вид

Fвых(p) = Fвх(p)K (p).

Операторный метод позволяет анализировать более широкий класс сигна-

лов. В частности, этому методу доступны сигналы, описываемые функциями, которые не удовлетворяют условию абсолютной интегрируемости. В литерату- ре [1,2] имеются таблицы изображений и оригиналов, облегчающие примене- ние операторного метода.

Спектральный и операторный методы анализа линейных цепей успешно применяются для решения многих вопросов теории связи и управления. При этом удается обойти серьезные трудности, связанные с вычислением корней характеристического уравнения систем высокого порядка. Частотный метод имеет важное значение особенно в тех случаях, когда уравнение системы вооб- ще неизвестно и когда можно ограничиться качественным исследованием ди- намических свойств систем.

 

 

6.2.3. Временной метод

 

 

Временной метод (метод интеграла наложения, метод интеграла Дюамеля)

основан на использовании импульсной

h(t )

характеристики цепи, т.е. характе-

ристики цепи во временной области. Импульсная характеристика – это реакция

цепи на δ -функцию. Такой функцией описывается модель сигнала, имеющего

бесконечно большую амплитуду, нулевую длительность и площадь, равную 1.

Представим входной сигнал

sвх(t )

сложной формы в виде совокупности

прямоугольных импульсов одинаковой и достаточно малой длительности ∆τ

(рис. 6.2).

Реакция цепи в моменты времени

k∆τ ,

k = 0,1, 2,…,n

на каждый из этих

импульсов (если бы площади их были равны единице) есть импульсная харак-

теристика

h(t − k∆τ). Но так как площади импульсов равны

sвх (k∆τ)∆τ , то

реакция цепи равна

sвх (k∆τ) ∆τ h(t − k∆t) . В свою очередь выходной сигнал в

некоторый момент времени

t = k∆τ

будет равен сумме реакций цепи на им-

пульсы в интервале

0…t , т.е.

sвых(t ) ≈

 

 

n

∑ sвх(k∆τ)∆τ h(t − k∆τ).

k =0

При

∆τ → 0

суммирование сводится к операции интегрирования по пере-

менной τ

= k∆τ :

 

 

t

sвых (t) = ∫sвх (τ)h(t −τ)dτ .

 

Рис. 6.2. Свертка сигнала с импульсной характеристикой

 

 

Таким образом, значения выходного сигнала линейной цепи в любой мо- мент времени являются результатом взвешенного суммирования мгновенных значений входного сигнала. Весовая функция – это импульсная характеристика цепи.

Учитывая, что для реальных цепей

∞

h(t ) = 0 при t < 0, можно записать

sвых (t ) = ∫sвх (τ)h(t −τ)dτ

−∞

= sвх (t ) ⊗ h(t ).

Полученное выражение для

sвых(t)

представляет собой интеграл наложе-

ния, или интеграл Дюамеля. В математике полученное выражение называют сверткой двух функций. Таким образом, выходной сигнал линейной цепи равен свертке входного сигнала и импульсной характеристики цепи.

Иногда используют другую форму записи интеграла Дюамеля, которую

можно получить путем замены переменной τ на t −τ :

sвых (t) =

∞

∫sвх (t −τ)h(τ)dτ .

−∞

Заметим, что интеграл Дюамеля можно получить из формулы

Sвых(jω) = Sвх (jω)K ( jω), на которой основан спектральный метод анализа

цепей. Для этого воспользуемся свойствами преобразования Фурье и связью

между частотной и импульсной характеристиками цепи, имея в виду, что час-

тотная характеристика

K( jω)

цепи является по существу спектральной плот-

ностью ее импульсной характеристики

h(t).

Из свойств преобразования Фурье известно, что произведению двух спек- тров соответствует свертка сигналов, соответствующих данным спектрам. Та- ким образом, можно записать

 

sвх (t )

h(t)

↔ Sвх (jω);

↔ K ( jω)

 

 

sвх (t ) ⊗ h(t ) ↔

Sвх (jω)K ( jω).

 

Следовательно, спектру

S вых( jω) = Sвх ( jω)K ( jω)

∞

соответствует сигнал

sвых (t ) =

что и требовалось доказать.

∫sвх (t −τ)h(τ)dτ ,

−∞