Прохождение амплитудно-модулированного сигнала через избирательную цепь

 

 

Определим сигнал, формируемый резонансным усилителем, при поступле-

нии на его вход АМ–сигнала с тональной модуляцией.

Частотная характеристика резонансного усилителя имеет вид

K ( jω) = −

1+

K0

j∆ωτэк

= K (ω)e jϕ(ω) ,

где τэк

– постоянная времени контура усилителя с учетом влияния сопротивле-

ния нагрузки;

K (ω) = K0 = K0

 

– АЧХ усилителя;

1+ (∆ωτэк)2

1+ (ω −ω

2 2

) τ

p эк

ϕ(ω) = −π − arctg(∆ωτэк)

– ФЧХ усилителя.

АМ-сигнал с тональной модуляцией

 

 

s(t) = Uн[1+ mcos(Ω0t + γ)]cosω0t .

Полагаем, что резонансная частота контура усилителя равна частоте несу-

щего колебания сигнала, т.е. ωр

= ω0

(рис. 6.7, а).

а б

 

 

Рис. 6.7. АЧХ усилителя и спектр АМ-сигнала

 

 

Применим спектральный метод для комплексной огибающей.

Огибающая АМ-сигнала является периодической функцией. В комплекс-

ном виде ее можно представить следующим образом:

 

A (t)

=Uн[1+

mcos(Ω0t

+γ)]

⎡

=Uн⎢⎣1+

m e j(Ω0t +γ ) +

m e− j(Ω0t +γ )⎤.

2 ⎥⎦

Известно, что если на входе узкополосной цепи сигнал периодический, то спектр комплексной огибающей периодического сигнала на выходе линейной цепи получается перемножением спектра комплексной огибающей входного сигнала на значения частотной характеристики низкочастотного аналога цепи на соответствующих частотах.

Частотную характеристику низкочастотного аналога цепи можно полу-

чить, введя новую переменную

Ω = ω −ωр. Тогда

K ( jΩ) = −

1+

K0

jΩτэк

= −K (Ω)e jϕ(Ω) ,

 

причем

K(Ω) =

K0

эк

1+ Ω2τ 2

и ϕ(Ω) = −π

− arctg(Ωτэк ).

Следовательно, разложение в ряд Фурье комплексной огибающей сигнала на выходе усилителя будет иметь вид

Aвых (t) = −Uн K0

m

−Uн 2

K0

1+ Ω2τ2

[e j(Ω0t +γ −ϕ0 ) + e− j(Ω0 +γ −ϕ0 )],

0 эк

где

ϕ0 = −[ϕ(Ω0 ) + π] = arctgΩ0τэк

– значение ФЧХ низкочастотного аналога

цепи на частоте Ω0

без учета постоянной фазы π и с обратным знаком.

При получении данной формулы учитывалось, что функция

arctg(Ω0τэк )

является нечетной функцией и что

e jπ

= e− jπ

= −1.

Далее можно определить выходной аналитический сигнал и реальный сиг-

нал по формулам

zвых(t) = Aвых(t)e

jω0t

и sвых(t) = Re[ zвых(t)] = Aвых(t )cos ω0t .

В результате сигнал на выходе резонансного усилителя будет иметь вид

 

 

sвых

(t) = −Uн

⎡

⎢K0 +

 

mK0

2 2

cos(Ω

0t + γ

−ϕ0

⎤

⎦

)⎥ cosω

 

 

0t.

⎢

⎣

Окончательно получаем

1+ Ω0τэк ⎥

sвых (t) = −U нK0 [1 + m вых

m

cos( Ω 0t + γ −ϕ0 )]cosω0t,

где

mвых

= – коэффициент амплитудной модуляции сигнала на вы-

2 2

1+ Ω0τэк

ходе усилителя.

Полученное выражение для выходного сигнала позволяет сделать следую-

щие выводы.

1. Несущая частота и форма огибающей амплитудно-модулированного сигнала с тональной модуляцией при прохождении через резонансный усили- тель не изменяются.

2. Глубина модуляции выходного сигнала усилителя меньше, чем глубина модуляции входного сигнала (реализовалась частичная демодуляция). Коэффи-

 

циент

D = mвых =

m

1 называется коэффициентом демодуляции. Этот

2 2

1+ Ω0τэк

коэффициент уменьшается с ростом частоты модуляции.

3. Огибающая выходного сигнала отстает по фазе от огибающей входного

сигнала на угол ϕ0

= arctgΩ0τэк .

Физически последние два вывода объясняются инерционностью усилите-

ля, снижающей скорость изменения огибающей сигнала.

Полученный результат поясняется рис. 6.7,а. На этом рисунке показан спектр входного АМ-колебания и АЧХ усилителя. С увеличением частоты мо-

дулирующего сигнала Ω0

боковые составляющие спектра АМ-колебания уда-

ляются от несущей частоты. Это приводит к относительному уменьшению их усиления, а следовательно, и к уменьшению глубины модуляции. Таким обра- зом, чем выше частота модулирующего сигнала, тем сильнее выражена демоду- ляция.

При отсутствии равенства несущей частоты входного АМ-колебания и ре- зонансной частоты контура усилителя боковые составляющие его спектра уси- ливаются неодинаково (рис.6.7,б). Возникающая при этом асимметрия боковых составляющих приводит к нелинейным искажениям огибающей и паразитной фазовой модуляций, что поясняется векторной диаграммой (рис. 6.8).

На диаграмме вектор OA соответствует несущему колебанию, векторы AD и

AC – боковым составляющим. Амплитуды боковых составляющих не одина-

ковы: амплитуда составляющей с частотой

ω + Ω0

меньше амплитуды состав-

 

ляющей с частотой

ω − Ω0 . Поэтому длина суммарного вектора OB изменяет-

ся по закону, не совпадающему с законом модулирующего гармонического ко-

лебания. Кроме того, непрерывно изменяется фаза этого вектора.

 

Рис. 6.8. Векторная диаграмма, поясняющая возникновение паразитной фа-

зовой модуляции при ωp

≠ ω0

 

 

Таким образом, неточная настройка резонансных цепей приемного тракта на несущую частоту может привести к нелинейным искажениям передаваемых сообщений при использовании амплитудной модуляции.