Способы аппроксимации характеристик нелинейных элементов
Характеристики реальных нелинейных элементов, которые определяют обычно с помощью экспериментальных исследований, имеют сложный вид и представляются в виде таблиц или графиков. В то же время для анализа и рас- чета цепей необходимо аналитическое представление характеристик, т.е. пред- ставление в виде достаточно простых функций. Процесс составления аналити- ческого выражения для характеристик, представленных графически или таб- лично, называется аппроксимацией.
При аппроксимации решаются следующие проблемы:
1. Определение области аппроксимации, которая зависит от диапазона из-
менения входных сигналов.
2. Определение точности аппроксимации. Понятно, что аппроксимация да- ет приблизительное представление характеристики в виде какого-либо анали- тического выражения. Поэтому необходимо количественно оценить степень приближения аппроксимирующей функции к экспериментально определенной характеристике. Чаще всего используются:
показатель равномерного приближения – аппроксимирующая функция
|
не должна отличаться от заданной функции
f (t )
более чем на некоторое
число ε , т.е.
~(t ) −
|
≤ ε ;
показатель среднего квадратического приближения – аппроксимирующая
|
~(t )
не должна отличаться от заданной функции
f (t)
в среднем квад-
ратическом приближении более чем на некоторое число ε , т.е.
|
∆t ∫
[~(t ) −
f (t )]2dt
≤ ε ;
узловое приближение (интерполяционное) – аппроксимирующая функция
|
ках.
должна совпадать с заданной функцией
f (t )
в некоторых выбранных точ-
Существуют различные способы аппроксимации. Наиболее часто для ап- проксимации ВАХ применяют аппроксимацию степенным полиномом и кусоч- но-линейную аппроксимацию, реже – аппроксимацию с использованием пока- зательных, тригонометрических или специальных функций (Бесселя, Эрмита и др.).
7.2.1. Аппроксимация степенным полиномом
Нелинейную вольт-амперную характеристику в окрестности рабочей точки
U 0 представляют конечным числом слагаемых ряда Тейлора:
i(u) = a0 + a1(u −U0 )+ a2 (u −U0 )2
+...+ an(u −U0 )n.
Количество членов ряда определяется требуемой точностью аппроксима-
ции. Чем больше членов ряда, тем точнее аппроксимация. На практике необхо-
димой точности добиваются, используя аппроксимацию полиномами второй и
третьей степени. Коэффициенты
a0 , a1, a2 ,..., an
– это числа, которые доста-
точно просто определяются из графика ВАХ, что иллюстрируется примером.
Пример.
Аппроксимировать представленную на рис. 7.1,а ВАХ i =
f (u)
в окрестно-
сти рабочей точки U 0 = 0,4 В
номом вида
степенным полиномом второй степени, т.е. поли-
i = a0
+ a1
(u − 0,4) + a2
(u − 0,4)2 .
Выберем область аппроксимации ∆u
от 0,2 В до 0,6 В. Для решения задачи
необходимо определить три коэффициента
a0 ,a1,a2 . Поэтому ограничимся
тремя узловыми точками (в середине и на границах выбранного диапазона), для которых составляем систему трех уравнений:
0,07 = a0 + a1 (0,2 − 0,4) + a2 (0,2 − 0,4) 2 ;
0,25 = a0 + a1(0,4 − 0,4) + a2 (0,4 − 0,4)2 ;
0,53 = a0 + a1 (0,6 − 0,4) + a2 (0,6 − 0,4)2 .
а б
Рис. 7.1. Аппроксимация ВАХ транзистора:
а – степенным полиномом; б – тремя отрезками прямых
Решая систему уравнений, определяем
a0 = 0,25 мА ,
a1 =1,1 5 мА В ,
a2 =1,25 мА В
. Следовательно, аналитическое выражение, описывающее гра-
фик ВАХ, имеет вид
i = 0,25 +1,15(u − 0,4) +1,25(u − 0,4)2 .
Заметим, что аппроксимация степенным полиномом используется в основ- ном для описания отдельных фрагментов характеристик. При значительных от- клонениях входного сигнала от рабочей точки точность аппроксимации может значительно ухудшиться.
Если ВАХ задана не графически, а какой-либо аналитической функцией и возникла необходимость представить ее степенным полиномом, то коэффици-
енты a n
вычисляются по известной формуле [1,10]:
1 ⎡d n i(u)⎤
an =
⎢
n!⎢⎣
du n
⎥ .
⎦⎥u=U0
Нетрудно заметить, что
a1 =
⎡di(u)⎤
⎢⎣ du ⎥⎦
u=U0
представляет собой крутизну
ВАХ в рабочей точке. Значение крутизны существенно зависит от положения рабочей точки.
В некоторых случаях удобнее характеристику представлять рядом Макло-
рена
i(u) = a0 + a1u + a2 u 2
+... + an u n .
7.2.2. Кусочно-линейная аппроксимация
Если входной сигнал изменяется по величине в больших пределах, то ВАХ можно аппроксимировать ломаной линией, состоящей из нескольких отрезков прямых. На рис. 7.1,б показана ВАХ транзистора, аппроксимированная тремя отрезками прямых.
Математическая формула аппроксимированной ВАХ
⎧ 0 при
⎪
u < u1 ,
i = ⎨S (u −u1) при
u1 ≤ u ≤ u2 ,
|
при
u > u2 .
Данный вид аппроксимации связан с двумя важными параметрами нели-
нейного элемента: напряжением начала характеристики
u1 и ее крутизной S .
Для увеличения точности аппроксимации увеличивают количество отрезков линий. Однако это усложняет математическую формулу ВАХ.