Определение спектра тока в нелинейной цепи при степенной аппроксимации характеристики
7.5.1. Гармонический сигнал на входе
Предположим, что рабочий участок характеристики нелинейного элемента описывается полиномом
i(u ) = a0 + a1 (u −U 0 ) + a2 (u −U 0 ) 2
+... + an(u −U 0 ) n.
На вход поступает гармонический сигнал
s(t) = E cos(ω0t +ϕ). Тогда с уче-
том напряжения рабочей точки входное воздействие на элемент равно
u(t) =U 0 + E cos(ω0t +ϕ) .
Подставив данное выражение в формулу степенного полинома, получаем
i(u) = a0 + a1 E cos(ω0 t + ϕ)+ a2 E 2 cos 2 (ω0 t + ϕ)+ ...+ anE n cos n (ω0 t + ϕ).
Воспользуемся известными формулами для степеней тригонометрических
функций
cos 2 α = 1 (1+ cos 2α);
cos3 α = 1 (3cosα + cos 3α);
cos 4 α = 1(3+ 4cos 2α + cos 4α);
cos5 α =
1 (10cosα +5cos 3α + cos 5α).
В результате получается общее выражение для тока в нелинейной цепи
i(t) = (a
+ 1 a
E2 + 3a
E4 +…) + (a E + 3 a
E3 + 5a
E5 +…)cos(ω t +ϕ)+
0 2 2 8 4
1 4 3 8 5 0
+(1a
E2 + 1a
E4 +…)cos2(ω
t +ϕ)+ (1a
E3 +
5 a E5 +…)cos3(ω
t +ϕ)+…=
2 2 8 4
0 4 3
16 5 0
= I 0 + I1 cos(ω0t +ϕ) + I 2 cos 2(ω0t +ϕ) + I 3 cos 3(ω0t +ϕ) +….
Анализ данного выражения позволяет сделать следующие выводы:
1. Спектр тока содержит гармонические составляющие с частотами 0,
ω0 ,
2ω0 ,
3ω0 ,…,nω0
и начальными фазами ϕ,
2ϕ ,
3ϕ ,…,nϕ , т.е с частота-
ми и начальными фазами, кратными частоте и начальной фазе воздействия.
2. Номер гармоники в спектре тока не может быть выше степени аппрок-
симируемого полинома.
3. Амплитуды гармонических составляющих спектра зависят от амплиту- ды входного сигнала и коэффициентов степенного полинома. Постоянная со- ставляющая (нулевая гармоника) и амплитуды четных гармоник определяются
коэффициентами полинома с четными номерами, а амплитуды нечетных гар-
моник – коэффициентами полинома с нечетными номерами.
Полученное выражение сохранит свою структуру при поступлении на вход нелинейного элемента амплитудно-модулированного сигнала или сигнала с уг- ловой модуляцией. В формуле будут фигурировать не постоянные значения E
и ϕ, а функции
E(t )
и ϕ(t ). Общая структура спектра изменится. В то же время
начальная фаза первой гармоники сохраняет закон модуляции фазы входного сигнал, а если характеристика нелинейного элемента может быть с достаточной точностью аппроксимирована полиномом второй степени, то первая гармоника спектра сохранит также и форму входного амплитудно-модулированного сиг- нала.
Пользуясь полученными результатами и структурной схемой нелинейного устройства, можно предложить общую идею построения некоторых радиотех- нических устройств. Так, если фильтр нелинейного устройства с квадратичной характеристикой настроить на частоту первой гармоники тока (на частоту входного сигнала), то получится схема усилителя мощности. Если фильтр не- линейного устройства настроить на частоту второй гармоники тока, то полу- чится схема удвоителя частоты сигнала. Если в качестве фильтра использовать фильтр низких частот с АЧХ, обеспечивающей подавление всех гармоник, кро- ме нулевой, то получится схема квадратичного детектора.
7.5.2. Бигармонический сигнал на входе
Свойство нелинейной цепи обогащать спектр сигнала хорошо проявляется, если сигнал представляет собой сумму некоторого числа гармонических коле- баний с различными частотами.
Предположим, что рабочий участок характеристики нелинейного элемента описывается полиномом второй степени
i(u) = a0 + a1 (u −U0 )+ a2 (u −U0 )2 .
На вход поступает бигармонический сигнал, формула которого совместно с напряжением рабочей точки имеет вид
u (t) = U 0 + E1 cosω1t + E2 cosω2t.
Подставив данное выражение в формулу степенного полинома, получаем
i(u) = a0 + a1 (E1 cosω1t + E2 cosω2t ) + a2 (E1 cosω1t + E2 cosω2t ) .
Выполним элементарные преобразования:
i(u) = a
+ a E
cos ω
t + a E
cos ω
t + a
E 2 cos 2 ω
t + a
E 2 cos 2 ω2t +
0 1 1
1 1 2
2 2 1
1 2 2
+ 2a 2 E1E2 cosω1tcosω2t ;
i(u) = (a
+ 1 a
E2 + 1 a
E2 )+ a E
cosω t + a E
cosω
t + 1 a
E2 cos2ω1t +
0 2 2 1
2 2 2 1 1
1 1 2
2 2 2 1
| |
2 2
E 2 cos 2ω
2t + a2
E1 E2
cos(ω1
+ω2
)t + a2
E1 E2
cos(ω1
−ω2
)t .
Из полученного выражения видно, что в спектре тока нелинейного элемен- та кроме постоянной составляющей (слагаемое в скобках) и гармоник с часто- тами, кратными частотам входного воздействия, имеются гармоники с комби-
национными частотами ω1 +ω2
и ω1 −ω2 .
Таким образом, с помощью нелинейного элемента с такой характеристикой можно построить схему преобразователя частоты. Для этого достаточно ис- пользовать в составе нелинейного устройства высокодобротный полосовой
фильтр, настроенный на частоту ω1 +ω2
(или на частоту ω1 −ω2 ). На вход уст-
ройства подается гармонический сигнал, частота ω1
которого должна быть
преобразована, и вспомогательный сигнал с частотой ω2
(сигнал гетеродина).