Определение спектра тока в нелинейной цепи при кусочно-линейной аппроксимации характеристики
При воздействии на нелинейный элемент сигнала с большой амплитудой и выборе рабочей точки на нижнем изгибе вольт-амперной характеристики целе- сообразно применить метод кусочно-линейной аппроксимации данной характе- ристики (рис. 7.3). Аналитическое выражение ВАХ при этом имеет вид
⎧0 при
i = ⎨
u <U1 ,
⎩S(u −U1 ) при
u ≥U1 .
Напряжение U 0
(см. рис. 7.3) – это напряжение рабочей точки, U 1
– на-
пряжение отсечки.
Пусть на вход рассматриваемого элемента поступает гармонический сиг-
нал
s(t) = E cosω0t . Тогда с учетом напряжения рабочей точки входное воздей-
ствие на элемент равно
u(t) = U 0 + E cosω0t.
Рис. 7.3. Принцип формирования тока в нелинейной цепи
при кусочно-линейной аппроксимации ВАХ
Как видно из рис. 7.3, ток
i(t )
нелинейного элемента имеет вид периодиче-
ской последовательности импульсов, описываемых четной функцией. Опреде-
лим амплитуды гармонических составляющих спектра этого тока. Для этого
необходимо определить математическое выражение для импульсов тока
воспользоваться разложением тока в ряд Фурье.
i(t ) и
1. Угол θ, соответствующий изменению тока от максимального значения
до нуля, называется углом отсечки. Из рис. 7.3 видно, что максимальное значе-
ние тока i(t )
равно
Im , а длительность импульсов тока –
2θ . Очевидно, что при
фазовом угле θ входное воздействие равно
U 1 =U 0 + E cosθ . Тогда
cosθ
= U1 −U0 .
E
2. Пользуясь аналитическим выражением для ВАХ, можно записать
i(t) = S (U 0 + E cosω0t −U1)
при
−θ ≤ωt ≤θ .
Преобразуем данное выражение следующим образом:
|
⎝
−U ⎞
⎟ = SE (cosω0 t − cosθ)
| |
при −θ
≤ ωt ≤ θ . (7.1)
3. Определим значение амплитуды тока
воспользуемся рис. 7.3.
i(t ) , т.е. значение
I m . Для этого
⎡ U −U ⎤
Im = S[E − (U1 −U0 )]= SE ⎢1− 1 0⎥ = SE(1− cosθ).
⎣ E ⎦
4. Подставив в (7.1) значение SE , получим математическое выражение для импульсов тока
|
I
(cos ω0 t − cosθ)
при
−θ ≤ ωt ≤ θ .
1− cosθ
5. Ряд Фурье для тока i(t )
имеет вид
∞
i(t ) = I0 + ∑ Ik cos(kω0t ).
k =1
Коэффициенты ряда, т.е. амплитуды гармонических составляющих, равны
1 T 2
2 T 2
I0 =
T
∫i(t)dt ;
Ik =
T
∫i(t)cos(kω0t)dt.
−T 2
−T 2
Перепишем данные выражения, выполнив замену переменной t = ω0t:
I = 1
0 2π
π
∫i(ω0t)d (ω0t ) ;
−π
I = 1
k π
π
∫i(ω0t)cos(kω0t)d(ω0t).
−π
Пользуясь полученными выражениями, определим амплитуды нулевой и первой гармонических составляющих спектра тока.
Амплитуда нулевой гармоники
1 π 1π I
I0 = 2π
∫i(ω0 t )d(ω0 t ) =
−π π
∫ m [cos(ω0 t ) − cosθ]d(ω0 t ) =
0 1− cosθ
Im ⎡θ θ ⎤
=
π (1 −
cosθ) ⎣⎢ ∫
cos(ω
0t)d(ω
0t) − cosθ
∫d(ω
0t)⎥ =
⎥⎦
= I m
π (1 − cosθ )
0 0
(sin θ −θ cosθ).
Окончательно получим
I0 = Im
sin θ −θ cosθ .
π(1− cosθ)
Амплитуда первой гармоники
1 π 2θ I
I1 = π
∫i(ω0 t )cos(ω0 t )d(ω0 t ) =
−π π
∫ m [cos(ω0 t ) − cosθ]cos(ω0 t )d(ω0 t ) =
01− cosθ
2Im
⎡θ 2 θ ⎤
=
(1 cos
) ⎢∫cos
(ω0 t )d(ω0 t ) − cosθ ∫cos(ω0 t )d(ω0 t )⎥ .
π − θ 0 0
Учитывая, что ∫cos2
θ
xdx = x +
sin 2 x
, получаем
∫cos 2 (ω
0 t )d(ω
θ
t ) = θ
0 2
+ sin 2θ
= θ + sin θ cosθ ;
2 2
cosθ ∫cos(ω0t)d(ω0t) = sinθ cosθ .
2I ⎛θ
sinθ cosθ ⎞
Тогда
I1 = m ⎜ +
π(1− cosθ)⎝ 2
−sinθ cosθ ⎟.
2 ⎠
Окончательно получаем
I1 = Im
θ −sinθ cosθ .
π(1− cosθ)
Аналогично можно получить амплитуды остальных гармонических со-
ставляющих спектра тока нелинейного элемента. Характерно, что при можно записать общее выражение для амплитуды k -й гармоники:
k > 1
Ik = Im
2(sin kθ cosθ − k cos kθ sin θ).
kπ(k 2 −1)(1− cosθ)
Как видно из полученных выражений, амплитуды гармоник спектра тока
зависят от угла отсечки θ и максимальной величины импульсов тока
Величины
I m .
|
Im
= sinθ −θ cosθ ,
π(1− cosθ)
|
Im
|
= θ −sin θ cosθ ,
π(1− cosθ)
= 2(sin kθ cosθ −k cos kθ sinθ)
(7.2)
k Im
kπ (k 2 − 1)(1 − cosθ )
называют коэффициентами Берга.
Коэффициенты Берга αk (θ)
определяют зависимость амплитуды k -й гар-
моники тока от угла отсечки при
I m =
const, причем угол отсечки изменяется
за счет изменения амплитуды входного сигнала E и смещения U 0 .
Пользуются также функциями Берга
I
γk (θ) =
= Ik (1− cosθ), которые
|
определяют зависимость амплитуды k -й гармоники тока от угла отсечки при
E =
зом:
const, причем угол отсечки изменяется за счет изменения смещения.
Коэффициенты и функции Берга связаны между собой следующим обра-
γk (θ) = αk (θ)(1 − cosθ) .
На рис. 7.4 приведены графики
k = 0, 1, 2, 3.
αk (θ)
для k = 0, 1, 2, 3, 4 и γk (θ)
для
Рис.7.4. Графики коэффициентов и функций Берга
Вид графиков рис.7.4 показывает, что для каждой гармоники тока сущест-
вует угол отсечки, при котором амплитуда ее имеет максимальное значение.
Этот угол для коэффициентов Берга
αk (θ)
определяется выражением
θoα =
, а для функций γk (θ)
k
– выражением θoγ =
. Выбор одного из
k
этих углов определяется начальными условиями. Если задано максимальное
значение импульсов тока
I m, а изменение угла отсечки осуществляется напря-
жением смещения и амплитудой входного сигнала, то следует использовать
θ 0α . Если задана амплитуда входного сигнала E , а изменение угла отсечки осуществляется напряжением смещения, то следует использовать θ 0γ .
Полученные результаты применяются при выборе режима работы нели- нейного элемента в процессе построения усилителей мощности, умножителей частоты и некоторых других устройств.