Дельта-функция (δ -функция, функция Дирака) – это математическая мо-
дель реально не существующего сигнала, который имеет бесконечную по вели-
чине амплитуду и нулевую длительность (рис. 2.11). Сигнал, описываемый
дельта-функцией, обозначают δ(t )
и называют просто δ -функция.
Сигнал называется испытательным, так как он применяется для получения импульсной характеристики радиотехнического устройства. Реакция устройст- ва на дельта-функцию – это и есть его импульсная характеристика.
|
при
t = 0 ,
δ(t −t ) = ⎧∞
при
t = t0 ,
⎩0 при
t ≠ 0 .
⎩0 при
t ≠ t0 .
Рис. 2.11. Дельта-функция
Свойства дельта-функции, благодаря которым она широко используется в математике, физике и радиотехнике:
|
1) площадь сигнала, описываемого δ -функцией, равна 1, т.е. ∫δ(t )dt = 1;
−∞
∞
2) селектирующее свойство: ∫
f (t)δ (t − t0 )dt =
f (t0 ) .
−∞
Селектирующее свойство становится понятным, если учесть, что
δ(t − t0 ) = 0
на всей оси времени, кроме точки
t = t0 . Это позволяет сделать ин-
тервал интегрирования бесконечно малым в окрестности точки
t0 . В этом ин-
тервале функция
знак интеграла.
f (t )
принимает значение
f (t0 ) , позволяющее ее вынести за
Как следует из свойств колоколообразного импульса и сигнала, описывае-
мого δ - функцией, справедливо следующее соотношение
⎛ t ⎞2
−π⎜ ⎟
δ(t ) =
lim 1 e
⎝τ ⎠ .