Доказательство

1) Пусть a – положительный острый угол, докажем= 1. Предварительно докажем, что sina = 0 и cosa = 1.

Рассмотрим окружность радиуса R (рис. 1.12), OA = OC = R, тогда длина дуги АС равна: R×a, АВ = R×sina. Так как |AB| < ||, то 0 < sina < a. Если a ® 0, то по теореме 8 (разд. 1.8) sina = 0. Докажем, что cosa = 1. Так как cosa = 1 – 2sin², то на основании теорем о пределах получим:

cosa = (1 – 2sin²) = 1 – 2×0 = 1.

Вычислим теперь .

Из рис. 1.12 видим, что

S_DOAC < S_{секторOAC} < S_DODC. (*)

S_DOAC = R²sina, S_{секторOAC} = R²×a, S_DODC = R²tga.

Подставляя последние выражения в неравенства (*), находим:

R²sina < R²×a < R²tga. (**)

Деля все части неравенства (**) на положительное число R²sina, получим:

1 < < или 1 > > cosa (***)

Применяя к неравенству (***) теорему о сжатой переменной при a ® 0 получим:

= 1 (ведь cosa = 1).

2) Пусть x < 0, x = –a, тогда a > 0, ===1.

Итак, доказано, что = 1, , а потому .

С помощью этого предела находятся многие другие пределы, содержащие тригонометрические функции.