рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Охрана труда
/
Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые функции

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые функции

Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые функции - раздел Охрана труда, Теоретический материал иллюстрируется большим количеством примеров и задач различной трудности Пусть A(X) И B(X) – Б.м. Функции При X ® ...

Пусть a(x) и b(x) – б.м. функции при x ® a (x® + ¥, x ® –¥, x ® x₀, ...). Рассмотрим предел их отношения при x ® a.

1. Если = b и b – конечное число, b ¹ 0, то функции a(x), b(x) называются бесконечно малыми одного порядка малости при x ® a.

2. Если = 0, то a(x) называют бесконечно малой высшего порядка, чем b(x) при x ® a. Очевидно, в этом случае = ¥.

3. Если a(x) – б.м. высшего порядка, чем b(x), и = b ¹ 0 (b – конечное число, k Î N), то a(x) называют бесконечно малой k-го порядка, по сравнению с b(x) при x ® a.

4. Если не существует (ни конечный, ни бесконечный), то a(x), b(x) называют несравнимыми б.м. при x ® a.

5. Если = 1, то a(x), b(x) называются эквивалентными б.м. при x ® a, что обозначается так: a(x) ~ b(x) при x ® a.

Пример 1. a(x) = (1 – x)³, b (x) = 1 – x³.

Очевидно, что при x ® 1 функции a(x), b(x) являются б.м. Для их сравнения найдем предел их отношения при x ® 1:

Вывод: a(x) является б.м. высшего порядка, по сравнению с b(x) при x ® 1.

Нетрудно убедиться, что = (убедитесь!), откуда следует, что a(x) – б.м. 3-го порядка малости, по сравнению с b(x) при x ® 1.

Пример 2. Функции a₁(x) = 4x, a₂ (x) = x², a₃(x) = sinx, a₄(x) = tgx являются бесконечно малыми при x ® 0. Сравним их:

= 0, , = 1, = ¥.

Отсюда заключаем, что a₂(x) = x² – б.м. высшего порядка, по сравнению с a₁(x) и a₃(x) (при x ® 0), a₁(x) и a₃(x) – б.м. одного порядка, a₃(x) и a₄(x) – эквивалентные б.м., т.е. sinx ~ tgx при x ® 0.

Теорема 1. Пусть a(x) ~ a₁(x), b(x) ~ b₁(x) при x ® a. Если существует , то существует и , и = .

Доказательство. = 1, = 1,

= = .

Эта теорема позволяет упрощать нахождение пределов.

Пример 3. Найти .

В силу первого замечательного предела sin4x ~ 4x, tg3x ~ 3x при x ® 0, поэтому

= =.

Теорема 2. Бесконечно малые функции a(x) и b(x) эквивалентны (при x ® a) тогда и только тогда, когда a(x) – b(x) является б.м. высшего порядка, по сравнению с a(x) и b(x) (при x ® a).

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Теоретический материал иллюстрируется большим количеством примеров и задач различной трудности

Данное пособие является составной частью учебного комплекса по курсу высшей математики которое может быть полезно для организации учебного процесса... В учебном пособии рассматриваются следующие темы введение в математический... Теоретический материал иллюстрируется большим количеством примеров и задач различной трудности...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые функции

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Логическая и математическая символика
В математике употребляются специальные символы, позволяющие сократить запись и точнее выразить утверждение. Математические символы:

Множества
Понятие множества является первоначальным понятием математики, точное определение ему не дается, но его можно пояснить, описать через другие понятия. Можно сказать, что множество

Функции
Пусть x, y – переменные величины. Если каждому значению переменных x из множества A соответствует по определенному закону единственное значение переменной y, то говорят,

Пределы функции на бесконечности
Рассмотрим одно из центральных понятий математического анализа – понятие предела функции. Ввиду сложности для понимания этого понятия сначала дадим его описательное определе

Предел последовательности
Как отмечалось раньше, любая последовательность a1, a2, ..., an , ... есть функция натурального аргумента, an = f(n

Предел функции в точке
Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x0 (возможно, определена на R), но в самой точке x0 функция f(x) м

Левосторонний и правосторонний пределы функции в точке
Переходим к рассмотрению односторонних пределов функции в точке x0, при которых переменная x «движется» к x0 слева (левосторонний предел) или справа (прав

Бесконечно-малые функции и их свойства
Функция a(х) называетсябесконечно малой (сокращенно: б.м.) при х ® а (х

Основные теоремы о пределах
Теорема 1. Если f(x) = b, то f(x) = b + a(x), где a(x

Доказательство
1) Пусть a – положительный острый угол, докажем= 1. Предварительно докажем, что

Второй замечательный предел
Ранее рассматривались понятия последовательности (как функции натурального аргумента), предела последовательности (см. разд. 1.3, 1.4). Рассмотрим возрастающую последовательность:

Теорема 2 (второй замечательный предел)
Существует предел . Доказательство. Рассмотрим последовательность

Доказательство
Пусть a(x) ~ b(x) при x ® a. Тогда =

Непрерывность функции в точке. Точки разрыва
Пусть функция f(x) определена в точке x0 и некоторой ее окрестности. Если существует и

Свойства функций, непрерывных на отрезке
Определение. Если функция f(x) определена на отрезке [a, b], непрерывна в каждой точке интервала (a, b), в точке a непрерывна справа, в точке