Доказательство

Пусть a(x) ~ b(x) при x ® a. Тогда == 0, т.е. разность a(x) – b(x) – б.м. высшего порядка, по сравнению с a(x) при при x ® a (аналогично с b(x)).

Пусть a(x) – b(x) – б.м. высшего порядка, по сравнению с a(x) и b(x), покажем, что a(x) ~ b(x) при x ® a:

= = += 1,

т.е. a(x) ~ b(x) при x ® a.

Теорема 3. Сумма конечного числа бесконечно малых различных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.

Доказательство. Пусть a(x) – б.м. низшего порядка по сравнению с b(x) и g(x) при x ® a, т.е. = 0 и = 0.

Покажем, что a(x) ~ (a(x) + b(x) + g(x)) при x ® a:

= + + = 1 + 0 + 0 = 1.

Доказанные теоремы применяются для нахождения пределов.

Пример 4. Найти .

По теореме 3 при x ® 0: 4x + 2x³ ~ 4x , sin²x + 3tg5x + x³ ~ 3tg5x, тогда

= = = .