Предел функции в точке

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x₀ (возможно, определена на R), но в самой точке x₀ функция f(x) может быть и не определена.

Дадим сначала описательное определение предела функции в точке и приведем пример.

Число b называется пределом функции f(x) в точкеx₀ (x ® x₀), если значения f(x) приближаются к числу b как угодно близко при условии, что значения аргумента x подходят к x₀ достаточно близко. Обозначение: f(x) = b.

Пример 1. Функция y = определена во всех точках числовой оси, за исключением x₀ = 2. Найдем f(x), для этого вычислим значения f(x) для x, близких к 2, и построим график: y = f(x). Заметим, что для x ¹ 2: = 2x.

 

x	1,6	1,7	1,8	1,9	2,1	2,2	2,3	2,4
y	3,2	3,4	3,6	3,8	4,2	4,4	4,6	4,8

 

График функции: y = совпадает с прямой: y = 2x для всех x ¹ 2
(рис. 1.6). Из таблицы и графика видим, что значения f(x) тем меньше отличаются от числа 4, чем ближе значения аргумента x подходят к 2.

Покажем, что = 4. Для этого убедимся, что | f(x) – 4 | может стать настолько малым, насколько пожелаем: |f(x) – 4| = |– 4 | = | 2x – 4 |, так как x ¹ 2.

Потребуем, чтобы |f(x) – 4| <, тогда из неравенства: |2x – 4| < получаем |x – 2| <. Т.е. при значениях x, удовлетворяющих неравенству: 2 – < x < 2 + , выполняется неравенство |f(x) – 4| <.

Аналогично можно показать, что |f(x) – 4| <, если 2 – < x < 2 + и, вообще, для любого (малого) положительного числа e: |f(x) – 4| < e, если 2 – < x < 2 + (или, что то же самое, | x – 2 | < ). Обозначим = d. Итак, = 4.

Дадим строгое определение предела функции в точке.

Число b называется пределом функции f(x) в точке x₀ (при стремлении x к x₀), если для любого положительного числа e найдется положительное число d, такое, что для любого x ¹ x₀ и удовлетворяющему неравенству: x₀ – d < x < x₀ + d, выполняется неравенство: | f(x) – b| < e.

Символически f(x) = b означает:

"e > 0 $d > 0 "x ¹ x₀ (x₀ – d < x < x₀ + d ® | f(x) – b | < e). (*)

Заметим, что условие:

«x ¹ x₀ и x₀ – d < x < x₀ + d»

можно записать в виде неравенства: 0 < | x – x₀ | < d , и тогда формула (*) примет вид:

"e > 0 $d > 0 "x (0 < | x – x₀ | < d ® | f(x) – b | < e).

Если f(x) = b, то на графике функции y = f(x) (рис. 1.7) это иллюстрируется (по определению предела) так: для всех точек x, отстоящих от x₀ не далее, чем на d, значения f(x) отличаются от b не более чем на e.

Пример 2. Показать, что x = x₀.

В самом деле f(x) = x, поэтому для любого e > 0: | f(x) – x₀ | < e при условии | x – x₀ | < e (здесь d = e).