рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Основные теоремы о пределах

Основные теоремы о пределах - раздел Охрана труда, Теоретический материал иллюстрируется большим количеством примеров и задач различной трудности Теорема 1. Если ...

Теорема 1. Если f(x) = b, то f(x) = b + a(x), где a(x) – б.м. при x ® a.

Доказательство.Пусть f (x) = b. Рассмотрим функцию a(x) = f(x) – b и покажем, что a(x) – б.м. при x ® +¥ .

Из определения f (x) = b имеем, что "e > 0 $x0 "x > x0 |f (x) – b| < e, но так как a(x) = f(x) – b, то "e > 0 $x0 "x > x0 |a (x)| < e , а это означает, что a(x) – б.м. при
x ® +¥.

Итак, из равенства a(x) = f(x) – b имеем f(x) = b + a(x), где a(x) – б.м. при x ® +¥.

Теорема 2. Если функцию f(x) можно представить в виде: f (x) = b + a(x), где
b – число, a(x) – б.м. функция при x ® a, то f(x) = b.

Доказательство. Пусть f(x) = b + a(x), где a(x) – б.м. при x ® +¥, т.е.

"e > 0 $x0 "x > x0 |a(x)| < e. (*)

Но a(x) = f (x) – b, поэтому (*) можно записать так: "e > 0 $x0 "x > x0 |f (x) – b| < e, что означает: f (x) = b.

Следующие теоремы значительно облегчают нахождение пределов.

Теорема 3. Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов, т.е. если

f1(x) = b1, f2(x) = b2, то (f1(x) + f2(x)) = b1 + b2, (f1(x) – f2(x) ) = b1b2.

Доказательство. На основании теоремы 1: f1(x) = b1 + a1(x), f2(x) = b2 + a2(x), где a1(x), a2(x) – б.м. при x ® a, тогда

f1(x) + f2(x) = (b1 + a1(x)) + (b2 + a2(x)) = (b1 + b2) + (a1(x) + a2(x)).

Но a1(x) + a2(x) – б.м. функция при x ® a (как сумма двух б.м. функций), поэтому из равенства f1(x) + f2(x) = (b1 + b2) + (a1(x) + a2(x)) по теореме 2 следует, что


(f1(x) + f2(x)) = b1 + b2.

Аналогично проводится доказательство для разности.

Теорема 4. Предел произведения двух функций равен произведению их пределов, т.е. если f1(x) = b1, f2(x) = b2, то (f1(x) f2(x)) = b1× b2.

Доказательство.По теореме 1: f1(x) = b1 + a1(x), f2(x) = b2 + a2(x), где a1(x), a2(x) – б.м. при x ® a, тогда f1(xf2(x) = b1× b2 + b1×a2(x) + b2×a1(x) + a1(xa2(x).

На основании следствий 2, 3, теоремы 1 (разд. 1.6) функции b1×a2(x), b2×a1(x), a1(xa2(x) – б.м. при x ® a и a(x) = b1×a2(x) + b2×a1(x) + a1(xa2(x) – бесконечно малая функция при x ® a. Из равенства f1(x) f2(x) = b1b2 + a(x) по теореме 2 следует, что
(f1(x)f2(x)) = b1b2.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.
(С×f(x)) = Сf(x), где С – постоянное число.

Доказательство. С f(x) = С f(x) = С f(x), так как С = С.

Следствие 2. Если n – натуральное число, то [(f(x))n] = (f(x))n.

Теорема 5. Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя при условии, что предел знаменателя не равен нулю. Иначе, если f1(x) = b1,
f2(x) = b2 и b2 ¹ 0, то .

Доказательство.По теореме 1: f1(x) = b1 + a1(x), f2(x) = b2 + a2(x), где a1(x), a2(x) – б.м. при x ® a, тогда

Обозначим последнюю дробь a(x) = , тогда + a(x). Остается показать, что a(x) – б.м. при x ® a. Действительно, числитель дроби
b2a1(x) – b1a2(x) – б.м. по свойствам бесконечно малых функций, предел
(b22 + b2a2(x)) = b22 ¹ 0, на основании теорем 3, 4. Поэтому – функция,ограниченная при x ® a (по теореме 3 разд. 1.6). Значит, a(x) – б.м. при x ® a (по теореме 4 разд. 1.6). Теорема доказана.

Рассмотрим применение доказанных теорем при нахождении пределов.


Пример. Найти .

Решение. Найдем сначала предел числителя и знаменателя. По свойствам пределов3 x = 3x = 3(–2) = –6, 1 = 1, поэтому (3x – 1) = –6 – 1 = –7. Аналогично, (5 – 4x) = 5 – 4(–2) = 13. Используя теорему 5, получим:

.

Теорема 6. Если f(x) существует и f(x) ³ 0 для всех x из области определения функции, то f(x) ³ 0.

Доказательство. Пусть . Докажем методом от противного, предполагая, что f(x) = b< 0. Зафиксируем e = –, e > 0. По определению предела по e найдется x0, такое, что "x > x0 |f(x) – b| < e, отсюда b – e < f (x) < b + e. Но e = –, поэтому "x > x0 f(x) < b –, f(x) < , т.е. f(x) < 0, что противоречит условию. Теорема доказана.

Теорема 7. Если "x (f1(x) ³ f2(x)) и f1(x), f2(x) существуют, то
f1(x) ³ f2(x).

Доказательство. Рассмотрим функцию F(x) = f1(x) – f2(x), тогда "x (F (x) ³ 0) иF(x) существует. По теореме 6: F(x) ³ 0, (f1(x) – f2(x)) ³ 0, отсюда
f1(x) ³ f2(x). Теорема доказана.

Теорема 8. (теорема о сжатой переменной). Если "x (f1(x) £ j(x) £ f2(x)) и
f1(x) = f2(x) = b, то j (x) существует и равен b.

Доказательство

Пусть f1(x) = f2(x) = b (рис. 1.11).

Покажем, что j(x) = b. Зафиксируем e > 0, тогда найдется такое d1 > 0, что

"xÎ(x0, x0 + d1) |f1(x) – b| < e,

и найдется такое d2 > 0, что

"xÎ(x0, x0 + d2) |f2 (x) – b| < e.

Обозначим через d меньшее из d1, d2, тогда для xÎ(x0, x0 + d) эти неравенства будут выполняться одновременно. Преобразуем их, используя определение модуля:

"xÎ(x0, x0 + d) (b – e < f1(x) < b + e),

"xÎ(x0, x0 + d) (b – e < f2(x) < b + e).

И учтем данное неравенство:

f1(x) £ j(x) £ f2(x).

Тогда из этих неравенств получим: b – e < f1(x) £ j(x) £ f2(x) < b + e, откуда
b – e < j(x) < b + e или "xÎ(x0, x0 + d) (|j(x) – b| < e), по определению это означает, что j(x) = b, что и требовалось доказать.

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Теоретический материал иллюстрируется большим количеством примеров и задач различной трудности

Данное пособие является составной частью учебного комплекса по курсу высшей математики которое может быть полезно для организации учебного процесса... В учебном пособии рассматриваются следующие темы введение в математический... Теоретический материал иллюстрируется большим количеством примеров и задач различной трудности...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Основные теоремы о пределах

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Логическая и математическая символика
В математике употребляются специальные символы, позволяющие сократить запись и точнее выразить утверждение. Математические символы:

Множества
Понятие множества является первоначальным понятием математики, точное определение ему не дается, но его можно пояснить, описать через другие понятия. Можно сказать, что множество

Функции
Пусть x, y – переменные величины. Если каждому значению переменных x из множества A соответствует по определенному закону единственное значение переменной y, то говорят,

Пределы функции на бесконечности
Рассмотрим одно из центральных понятий математического анализа – понятие предела функции. Ввиду сложности для понимания этого понятия сначала дадим его описательное определе

Предел последовательности
Как отмечалось раньше, любая последовательность a1, a2, ..., an , ... есть функция натурального аргумента, an = f(n

Предел функции в точке
Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x0 (возможно, определена на R), но в самой точке x0 функция f(x) м

Левосторонний и правосторонний пределы функции в точке
Переходим к рассмотрению односторонних пределов функции в точке x0, при которых переменная x «движется» к x0 слева (левосторонний предел) или справа (прав

Бесконечно-малые функции и их свойства
Функция a(х) называетсябесконечно малой (сокращенно: б.м.) при х ® а (х

Доказательство
1) Пусть a – положительный острый угол, докажем= 1. Предварительно докажем, что

Второй замечательный предел
Ранее рассматривались понятия последовательности (как функции натурального аргумента), предела последовательности (см. разд. 1.3, 1.4). Рассмотрим возрастающую последовательность:

Теорема 2 (второй замечательный предел)
Существует предел . Доказательство. Рассмотрим последовательность

Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые функции
Пусть a(x) и b(x) – б.м. функции при x ® a (x® + ¥, x ® –¥, x ® x0, ...). Рассмотрим предел их отношения при

Доказательство
Пусть a(x) ~ b(x) при x ® a. Тогда =

Непрерывность функции в точке. Точки разрыва
Пусть функция f(x) определена в точке x0 и некоторой ее окрестности. Если существует и

Свойства функций, непрерывных на отрезке
Определение. Если функция f(x) определена на отрезке [a, b], непрерывна в каждой точке интервала (a, b), в точке a непрерывна справа, в точке

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги