Аналитический подход в моделировании демографических процессов.
Наиболее фундаментальными работами в области глобальной демографии, описывающими демографические процессы и дающими ответы на оба поставленных вопроса, по праву считаются работы С.П. Капицы. В отличие от демографических моделей, строящихся на биологических предположениях типа, что рост населения пропорционален самому населению, то есть, по сути, в предположении, что рождаемость и смертность мало меняются со временем: , (6) где a – константа, Капица предлагает использовать квадратичную зависимость для скорости роста: , (7) где C – константа.
Уравнения вида (7) хорошо изучены [10] и их решения известны как режимы с обострением. Характерная черта таких уравнений состоит в том, что в некоторый конечный момент времени t0 решение уходит в бесконечность. Что же касается самого уравнения (7), то его решением как раз и будет полученная эмпирически формула (5), где t0 зависит от начальных условий. Таким образом, уравнение (7) удовлетворительно описывает эмпирическую зависимость (5) и может выступать в роли модели демографического процесса.
Однако если трактовка линейного уравнения (6) достаточно прозрачна и вытекает из усреднения биологических процессов, то квадратичный рост (7) требует своего объяснения и обоснования. С.П. Капица видит причину квадратичной зависимости в том, что человечество представляло собой единую систему, внутри которой происходят парные взаимодействия по обмену информацией и скорость роста отдельных частей существенно зависит от общего размера всей системы. Именно информационные взаимодействия, по мнению С.П. Капицы, являются основным механизмом, отличающим человека от остальных животных, для которых характерен линейный закон (6). Таким образом, С.П. Капица дает объяснение квадратичному росту населения Земли. Что касается второй загадки – демографического перехода, то для описания этого явления С.П. Капица модифицирует модель следующим образом. Поскольку рост человечества, согласно уравнению (7), зависит исключительно от размера популяции и не зависит ни от каких внешних условий и ресурсных ограничений, то логика диктует искать причину демографического перехода также внутри человека, поскольку никакие ресурсные ограничения не могли на протяжении тысячелетий остановить процесс роста, да и в нынешнее время переход происходит не из-за ресурсного кризиса, так как подушевой доход постоянно растет.
Для Капицы особо важным параметром видится характерное время жизни человека τ = 42 года, определяемое «внутренней предельной способностью системы человечества и человека к развитию». Этот параметр появляется в различных статистических оценках, в частности, Капица отмечает, что демографический переход происходит за характерное время, равное удвоенному τ. Если подставить в квадратичное уравнение роста (7) решение (5), то его можно записать в виде . (8) В свою очередь, для того чтобы описать демографический переход, Капица вводит в это уравнение параметр τ: . (9) Полученное уравнение уже не дает обострения – ухода решения в бесконечность.
Напротив, при такой модификации численность населения стабилизируется на уровне 10 12 миллиардов человек, что согласуется с прогнозами демографов.
Более того, уравнение (9) позволяет получить аналитическую формулу для численности населения: , (10) где t1 – параметр, равный 2000 году нашей эры – середине демографического перехода.
Работы Капицы убедительно показали, что рост населения Земли можно описать математически, фактически не вводя никаких дополнительных переменных, то есть, по сути, не привлекая никаких дополнительных факторов.
Этот эффект дает основания для провозглашения «демографического императива» – признания первостепенной и самодостаточной роли демографии в истории развития человеческого общества. Тем не менее ни основное уравнение (7), ни его модификация (9), описывающая эффект демографического перехода, не раскрывают сути действующих законов, оставаясь на феноменологическом уровне констатацией обнаруженной эмпирической закономерности.
Изящность демографического императива делает привлекательным подобный подход, но она же и невольно мистифицирует полученные результаты. С математической точки зрения имеющиеся демографические данные – это реализация некоторого процесса, интегральная кривая, а уравнения (7) и (5) эквивалентны, поскольку одно является дифференциальной формой записи другого. 16.