Модели эпизоотий на базе уравнения диффузии. В природе существует множество процессов, интенсивность протекания которых определяется их собственным состоянием в данный момент времени. • Если интенсивность падает с ростом количественных показателей процесса, то течение такого процесса довольно тривиально - он просто затухет с течением времени. • В противном случае процесс является самоподдерживающимся и он может довольно сложным образом развиваться во времени.
К процессам второго типа относятся процессы распространения эпидемий (чем больше больных, тем больше число заражаемых ими). Подобный характер имеют также процессы горения и взрыва, при которых рост температуры среды приводит к росту интенсивности горения.
Получить уравнение подобного процесса можно на основании известного уравнения теплопроводности: Tt = kTxx ( 1 ), где o T(x, t) - температура в точке х в момент времени t; o k - коэффициент теплопроводности, который обычно считается постоянным (параметр уравнения); Теперь учтем влияние среды, в которой происходит процесс горения.
Будем считать, что интенсивность горения прямо пропорциональна температуре, тогда уравнение (1) можно переписать в виде Tt = kTxx + qT ( 2 ), o где q - параметр функции источника. Эти уравнения описывают линейную модель процесса горения в некоторой среде с линейным источником энергии. Однако, процессы с линейным источником также могут дать сравнительно небольшое разнообразие видов решений уравнения модели.
Более приближенной к реальным процессам является модель с нелинейным источником, например, с кубической зависимостью qT –aT3 . Тогда уравнение модели будет иметь вид: Tt = kTxx + qT –αT3 ( 3 ), где q и α-параметры функции источника. Но и модель с нелинейным источником можно улучшить. Модель должна учитывать, что при больших температурах в рельных системах горение прекращается.
Это может быть связано с выгоранием топлива или с тем, что с ростом T большую роль начинают играть эндотермические реакции (идущие с поглощением тепла). Требуемые свойства источника можно учесть введением уравнения для источника вида Q(T) = q0Tβ. Для учета свойств модели при сравнительно низких температурах желательно сохранить линейную часть уравнения источника. В результате получаем усовершенствованную модель вида : Tt = (k(T)Tx)x + Q(T), k(T) = k0Tσ, β > σ + 1, k0, q0 > 0 ( 4 ) Подобные уравнения рассматривалось в большом количестве научных работ.
Оказалось, что уравнение (4) применимо не только в теории горения. С его помощью можно также моделировать распространение эпидемии, прохождение импульса по нервному волокну и некоторые другие явления. В работе А.Н. Колмогорова, И.Г. Петровского, Н.С. Пискунова (1937 г.) такие уравнения рассматривались как модель распространения гена. Математические модели распределенных экосистем позволяют исследовать влияние пространственной неоднородности среды на динамику компонент.
Эти модели дают также возможность описать и объяснить неоднородные распределения в однородной окружающей среде.