Дуговая и точечная эластичность.

Рассмотрим два метода определения ценовой эластичности спроса.

1. Дуговой метод. Обратимся к кривой спроса на рис. 2.11.

Рис. 2.11. Определение ценовой эластичности спроса.

 

Ценовая эластичность спроса будет различной на различных ее участках. Так, на участке abспрос будет неэластичным, а на участке cd– эластичным. Измеренная на этих участках эластичность называется дуговой эластичностью.[8]

Дуговая эластичность – это эластичность, измеренная между двумя точками кривой.

Фактически приведенная нами выше формула 2.8 была формулой дуговой эластичности. В числителе в ней фигурировало изменение количества блага в процентном выражении. Если мы отвлечемся от процентного выражения этого изменения и посмотрим, что есть относительное изменение Q, то нетрудно определить его как DQ/Q.[9] Аналогичным образом относительное изменение цены можно представить как DР/Р. Тогда ценовая эластичность спроса может быть представлена:

 

E_D = (2.9)

 

В качестве DQ берется разность между двумя значениями спроса на благо. Например, применительно к рис. 2.11 это могут быть разности (Q_a-Q_b) или (Q_c-Q_d). В качестве DР берется разность между двумя значениями цены, допустим (P_a-P_b) или (P_c-P_d). Проблема заключается в том, какое из двух значений количества блага и цены использовать в формуле 2.9 в качестве значений Q и Р. Понятно, что при разных значениях получается разный результат. Решение проблемы заключается в том, чтобы использовать среднее арифметическое двух значений. В таком случае мы измеряем некую среднюю эластичность на спрямляющих дуги отрезках abи cd, и формула дуговой эластичности принимает вид:

 

E_D= ,

 

где = (P_a + P_b)/2 или = (P_с + P_d)/2, а = (Q_a + Q_b)/2 или = (Q_с + Q_d)/2 (опять же нижние индексы отвечают обозначениям из рис. 2.11). Если же мы рассмотрим некий общий случай и обозначим значения количеств блага и цены как Q₁, Q₂ и P₁, P₂, соответственно, то окончательно формулу дуговой эластичности после некоторых элементарных алгебраических преобразований можно представить как:

 

E_D =

 

Именно этой формулой удобнее всего пользоваться при реальных вычислениях дуговой эластичности. Конечно, для этого необходимо знать числовые значения Q₁, Q₂ и P₁, P₂.

Дуговая эластичность может рассчитываться и для случая линейной функции спроса для любых ее отрезков.

2. Точечный метод. Представим теперь, что нам нужно определить эластичность не на отрезках abи cd, а в некоторой произвольно взятой точке fна кривой спроса (рис. 2.11). В этом случае можно воспользоваться формулой 2.9, но заменив DQ и DР бесконечно малыми величинами. Тогда эластичность можно определить как:

 

E_D = (2.10)

 

Формула 2.10 показывает точечную эластичность спроса.

Точечная эластичность – это эластичность, измеренная в некоторой точке кривой.

dQ/dP – показывает изменение спроса в ответ на изменение цены. На рис. 2.11 – это тангенс угла, образуемый касательной к кривой спроса в точке fи осью ординат (tga). Он равен –70/50 = - 1,44 (знак минус обусловлен отрицательным наклоном кривой спроса и, соответственно, касательной к ней). Относительно точки fP_f = 25, а Q_f = 35. Подставляем эти значения в формулу 2.10 и получаем, что E_D = - 1,44 × (25/35) = - 1,0. Следовательно, выше этой точки по кривой спроса спрос неэластичен, ниже – эластичен.

При изучении эластичности необходимо особо обратить внимание на то, что она лишь частично определяется наклоном кривой спроса. Это можно легко заметить на примере линейной функции спроса. С этой целью выберем знакомую нам функцию спроса Q_D = 60 - 4P и изобразим ее на рис. 2.12.

Рис. 2.12. Различные эластичности линейных функций спроса.

 

 

 

Очевидно, что у линейной функции угол наклона во всех ее точках одинаков. В нашем случае dQ/dP = tga = - 4 на всем ее протяжении. Однако в разных ее точках значение ценовой эластичности будет различным в зависимости от выбранных значений Ри Q. Так, например, в точке k эластичность равна 2, а в точке lуже только 0,5. В точке u, которая делитлинию спроса mn ровно пополам, эластичность составляет 1.

Теперь предположим, что спрос возрос так, что линия спроса сместилась в положение m¢n. Она теперь описывается функцией Q_D = 60 - 1,5P. Хорошо видно, что угол ее наклона существенно изменился. Здесь dQ/dP = tgb = - 1,5. Однако, например, в точке u¢ эластичность спроса равна - 1, как и в точке u на линии спроса mn.

Заметим, что в точке, которая делит прямую линию спроса пополам, эластичность всегда равна – 1. На отрезке выше этой точки спрос в любой точке эластичный, ниже - неэластичный в любой точке. Эти утверждения можно легко доказать, зная формулу определения эластичности и элементарную геометрию.

До сих пор мы стремились показать, что значения ценовой эластичности спроса различны для различных участков и точек линии, представляющих одну и ту же функцию спроса. Однако можно указать на три исключения, когда эластичность одинакова для всей кривой спроса. Во-первых, нетрудно заметить, что когда последняя представлена вертикальной прямой линией (рис. 2.13, график А), то эластичность спроса равна 0 (т.к. dQ/dP = 0). Такой спрос называют абсолютно неэластичным.

Рис. 2.13. Графики функций спроса с постоянными эластичностями.

 

Во-вторых, если кривая спроса представлена горизонтальной прямой линией (рис. 2.13, график Б), то эластичность спроса равна бесконечности (т.к. dQ/dP = ). Такой спрос называют абсолютно эластичным.

И, наконец, в-третьих, когда кривая спроса представлена правильной гиперболой (рис. 2.13, график В), т.е. Q_D = 1/P. Используя формулу 2.10 можно установить, что ее эластичность постоянна и равна - 1, т.е. |E_D| = 1.[10]