Решить графическим методом типовую задачу оптимизации.

 

1.1. Инвестор, располагающий суммой в 300 тыс. ден. ед., может вложить свой капитал в акции автомобильного концерна А и строительного предприятия В. Чтобы уменьшить риск, акций А должно быть приобретено по крайней мере в два раза больше, чем акций В, причем последних можно купить не более чем на 100 тыс. ден. ед.

Дивиденды по акциям А составляют 8% в год, по акциям В – 10%. Какую максимальную прибыль можно получить в первый год?

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум и почему?

 

1.2. Совхоз для кормления животных использует два вида корма. В дневном рационе животного должно содержаться не менее 6 единиц питательного вещества А и не менее 12 единиц питательного вещества В. Какое количество корма надо расходовать ежедневно на одного животного, чтобы затраты были минимальными? Использовать данные таблицы:

Корма   Питат. вещества	Количество питательных веществ в 1 кг корма
А В
Цена 1 кг корма, т.руб.	0,2	0,3

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум и почему?

 

1.3.Некоторая фирма выпускает два набора удобрений для газонов: обычный и улучшенный. В обычный набор входит 3 кг азотных, 4 кг фосфорных и 1 кг калийных удобрений, а в улучшенный – 2 кг азотных, 6 кг фосфорных и 3 кг калийных удобрений. Известно, что для некоторого газона требуется по меньшей мере 10 кг азотных, 20 кг фосфорных и 7 кг калийных удобрений. Обычный набор стоит 3 ден. ед., а улучшенный – 4 ден. ед. Какие и сколько наборов удобрений нужно купить, чтобы обеспечить эффективное питание почвы и минимизировать стоимость?

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум и почему?

 

1.4. На имеющихся у фермера 400 гектарах земли он планирует посеять кукурузу и сою. Сев и уборка кукурузы требует на каждый гектар 200 ден. ед. затрат, а сои – 100 ден. ед. На покрытие расходов, связанных с севом и уборкой, фермер получил ссуду в 60 тыс. ден. ед.. Каждый гектар, засеянный кукурузой, принесет 30 центнеров, а каждый гектар, засеянный соей – 60 центнеров. Фермер заключил договор на продажу, по которому каждый центнер кукурузы принесет ему 3 ден. ед., а каждый центнер сои – 6 ден. ед. Однако, согласно этому договору, фермер обязан хранить убранное зерно в течение нескольких месяцев на складе, максимальная вместимость которого равна 21 тыс. центнеров.

Фермеру хотелось бы знать, сколько гектар нужно засеять каждой из этих культур, чтобы получить максимальную прибыль.

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум и почему?

 

1.5. Продукция двух видов (краска для внутренних (I) и наружных (Е) работ) поступает в оптовую продажу. Для производства красок используются два исходных продукта А и В. Максимально возможные суточные запасы этих продуктов составляют 6 и 8 тонн, соответственно. Расходы продуктов А и В на 1 т соответствующих красок приведены в таблице.

 

Исходный продукт	Расход исходных продуктов на тонну краски, т	Максимально возможный запас, т
Краска Е	Краска I
А В

Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску I никогда не превышает спроса на краску Е более чем на 1 т. Кроме того, установлено, что спрос на краску I никогда не превышает 2 т в сутки. Оптовые цены одной тонны красок равны: 3000 ден. ед. для краски Е и 2000 ден. ед. для краски I. Какое количество краски каждого вида должна производить фабрика, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум и почему?

 

1.6. Финансовый консультант фирмы «АВС» консультирует клиента по оптимальному инвестиционному портфелю. Клиент хочет вложить средства (не более 25000$) в два наименования акций крупных предприятий в составе холдинга «Дикси».

Анализируются акции «Дикси –Е» и «Дикси –В». Цены на акции: «Дикси –Е» - 5$ за акцию; «Дикси –В» - 3$ за акцию.

Клиент уточнил, что он хочет приобрести максимум 6000 акций обоих наименований, при этом акций одного из наименований должно быть не более 5000 штук.

По оценкам «АВС» прибыль от инвестиций в эти две акции в следующем году составит: «Дикси –Е» - 1,1$; «Дикси –В» - 0,9$.

Задача консультанта состоит в том, чтобы выдать клиенту рекомендации по оптимизации прибыли от инвестиций.

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум и почему?

 

1.7. Завод-производитель высокоточных элементов для автомобилей выпускает два различных типа деталей Х и Y. Завод располагает фондом рабочего времени в 4000 чел.-ч в неделю. Для производства одной детали типа Х требуется 1 чел.-ч, а для производства одной детали типа Y – 2 чел.-ч. Производственные мощности завода позволяют выпускать максимум 2250 деталей типа Х и 1750 деталей типа Y в неделю. Каждая деталь типа Х требует 2 кг металлических стержней и 5 кг листового металла, а для производства одной детали типа Y необходимо 5 кг металлических стержней и 2 кг листового металла. Уровень запасов каждого вида металла составляет 10000 кг в неделю. Кроме того, еженедельно завод поставляет 600 деталей типа Х своему постоянному заказчику. Существует также профсоюзное соглашение, в соответствии с которым общее число производимых в течение одной недели деталей должно составлять не менее 1500 штук.

Сколько деталей каждого типа следует производить, чтобы максимизировать общий доход за неделю, если доход от производства одной детали типа Х составляет 30 ден. ед., а от производства одной детали типа Y – 40 ден. ед.?

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум и почему?

 

1.8. Имеется два вида корма I и II, содержащие питательные вещества (витамины) S₁ S₂ и S₃. Содержание числа единиц питательных веществ в 1 кг каждого вида корма и необходимый минимум питательных веществ приведены в таблице

 

Питательное вещество (витамин)	Необходимый минимум питательных веществ	Число единиц питательных веществ в 1 кг корма
I	II
S1 S2 S3

 

Стоимость 1 кг корма I и II соответственно равна 4 и 6 ден. ед.

Необходимо составить дневной рацион, имеющий минимальную стоимость, в котором содержание питательных веществ каждого вида было бы не менее установленного предела.

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум и почему?

 

1.9. При производстве двух видов продукции используется 4 типа ресурсов. Норма расхода ресурсов на производство единицы продукции, общий объем каждого ресурса заданы в таблице

 

Ресурсы	Норма затрат ресурсов на товары	Общее количество ресурсов
1-го вида	2-го вида

Прибыль от реализации одной единицы продукции первого вида составляет 2 ден. ед., второго вида – 3 ден. ед.

Задача состоит в формировании производственной программы выпуска продукции, обеспечивающей максимальную прибыль от ее реализации.

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум и почему?

 

1.10. Фирма производит два широко популярных безалкогольных напитка – «Лимонад» и «Тоник». Фирма может продать всю продукцию, которая будет произведена. Однако объем производства ограничен количеством основного ингредиента и производственной мощностью имеющегося оборудования. Для производства 1 л «Лимонада» требуется 0,02 ч работы оборудования, а для производства 1 л «Тоника» – 0,04 ч. Расход специального ингредиента составляет 0,01 кг и 0,04 кг на 1 л «Лимонада» и «Тоника» соответственно. Ежедневно и распоряжении фирмы имеется 24 ч времени работы оборудования и 16 кг специального ингредиента. Прибыль фирмы составляет 0,10 ден. ед. за 1 л «Лимонада» и 0,30 ден. ед. за 1 л «Тоника». Сколько продукции каждого вида следует производить ежедневно, если цель фирмы состоит в максимизации ежедневной прибыли?

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум и почему?

 

Задача 2. Использовать аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования[1].

 

2.1. Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

 

Тип сырья	Нормы расхода сырья на одно изделие	Запасы сырья
А	Б	В	Г
I II III
Цена изделия

Требуется:

1) Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

2) Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

3) Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

4) На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

- проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

- определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья I и II вида на 4 и 3 единицы соответственно и уменьшении на 3 единицы сырья III вида;

- оценить целесообразность включения в план изделий "Д" ценой 10 ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.

 

2.2. Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

 

Тип сырья	Нормы расхода сырья на одно изделие	Запасы сырья
А	Б	В	Г
I II III
Цена изделия

 

Требуется:

1) Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

2) Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

3) Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

4) На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

- проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

- определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья II и III вида на 120 и 160 единиц соответственно и уменьшении на 60 единиц запасов сырья I вида;

- оценить целесообразность включения в план изделия "Д" ценой 12 ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.

 

 

2.3. Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

 

 

Тип сырья	Нормы расхода сырья на одно изделие	Запасы сырья
А	Б	В	Г
I II III
Цена изделия

Требуется:

1) Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

2) Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

3) Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

4) На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

- проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

- определить, как изменятся выручка от реализации продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья I и II вида на 8 и 10 единиц соответственно и уменьшении на 5 единиц запасов сырья III вида;

- оценить целесообразность включения в план изделия "Д" ценой 10 ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.

2.4. Для изготовления трех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

 

 

Тип сырья	Нормы расхода сырья на одно изделие	Запасы сырья
А	Б	В
I II III
Цена изделия

Требуется:

1) Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

2) Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

3) Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

4) На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

- проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

- определить, как изменятся выручка от реализации продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья I и III вида на 4 единиц каждого;

- оценить целесообразность включения в план изделия "Г" ценой 13 ед., на изготовление которого расходуется соответственно 1, 3 и 2ед. каждого вида сырья и изделия "Д" ценой 12ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.

 

 

2.5. На основании информации, приведенной в таблице, решается задача оптимального использования ресурсов на максимум выручки от реализации готовой продукции.

 

Вид ресурсов	Нормы расхода ресурсов на ед. продукции	Запасы ресурсов
I вид	II вид	III вид
Труд Сырье Оборудование
Цена изделия

Требуется:

1) Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции

2) Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

3) Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

4) На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

- проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

- определить, как изменятся выручка от реализации продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья на 18 единиц;

- оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 70ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида ресурсов.

 

2.6. На основании информации, приведенной в таблице, решается задача оптимального использования ресурсов на максимум выручки от реализации готовой продукции.

 

 

Вид сырья	Нормы расхода сырья на ед. продукции	Запасы сырья
А	Б	В
I II III
Цена изделия

 

Требуется:

1) Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

2) Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

3) Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

4) На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

- проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

- определить, как изменятся выручка от реализации продукции и план ее выпуска, если запас сырья I вида увеличить на 45кг, а II - уменьшить на 9кг;

- оценить целесообразность включения в план изделия "Г" ценой 11ед., на изготовление которого расходуется 9, 4 и 6кг соответствующего вида сырья.

 

2.7. Предприятие выпускает четыре вида продукции и использует три вида оборудования: токарное, фрезерное, шлифовальное. Общий фонд рабочего времени оборудования каждого вида, нормы расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

 

Тип оборудо -вания	Нормы расхода ресурса на одно изделие	Фонд раб. времени,ч
А	Б	В	Г
Токарное Фрезерное Шлифовальное
Цена изделия

Требуется:

1) Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

2) Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

3) Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

4) На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

- проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

- определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции, если фонд рабочего времени шлифовального оборудования увеличить на 24 часа;

- оценить целесообразность включения в план изделия "Д" ценой 11ед., если нормы затрат оборудования 8,2 и 2ед. соответственно.

 

2.8. На основании информации, приведенной в таблице, решается задача оптимального использования ресурсов на максимум выручки от реализации готовой продукции.

 

Тип сырья	Нормы расхода сырья на ед. продукции	Запасы сырья
I вид	II вид	III вид
I II III
Цена изделия

 

Требуется:

1) Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

2) Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

3) Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

4) На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

- проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

- определить, как изменятся выручка от реализации продукции и план ее выпуска, если запас сырья I вида увеличить на 10ед., а II - уменьшить на 80ед;

- оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 7у.е., если нормы затрат сырья 2, 4 и 3ед.

 

2.9. Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

 

Тип сырья	Нормы расхода сырья на одно изделие	Запасы сырья
А	Б	В	Г
I II III			0,5
Цена изделия	7,5

Требуется:

1) Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

2) Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

3) Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

4) На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

- проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

- определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья I вида на 100ед. и уменьшении на 150ед. запасов сырья II вида;

- оценить целесообразность включения в план изделия "Д" ценой 10ед., если нормы затрат сырья 2, 4 и 3ед.

 

2.10. Для изготовления трех видов продукции используют четыре вида ресурсов. Запасы ресурсов, нормы расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

 

Вид ресурсов	Нормы расхода ресурсов на ед. продукции	Запасы ресурсов
I вид	II вид	III вид
Труд Сырье 1 Сырье 2 Оборудование
Цена изделия

Требуется:

1) Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

2) Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

3) Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

4) На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

- проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

- определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запаса ресурса первого вида на 24ед.;

- оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 11ед., если нормы затрат ресурсов 8, 4, 20 и 6ед.

Задача 3. Используя балансовый метод планирования и модель Леонтьева построить баланс производства и распределения продукции предприятий[2].

 

Задачи 3.1-3.10. Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию трех видов, при этом каждое из трех предприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции первого вида, второе предприятие - продукции второго вида; третье предприятие - продукции третьего вида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутреннее потребление), остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечным продуктом). Специалистами управляющей компании получены экономические оценки а_ij (i=1,2,3; j=1,2,3) элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов y_i вектора конечной продукции Y.

Требуется:

1) Проверить продуктивность технологической матрицы A=(а_ij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).

2) Построить баланс (заполнить таблицу) производства и распределения продукции предприятий холдинга.

В соответствии с номером Вашего варианта ниже в таблице 1 выберите числовые значения для таблицы 2.

 

Таблица 1

Вариант	Для первой строки	Для второй строки	Для третьей строки
№	1А	2А	3А	4А	1Б	2Б	3Б	4Б	1В	2В	3В	4В
	0,1	0,2	0,1		0,2	0,1	0,0		0,0	0,2	0,1
	0,0	0,1	0,2		0,1	0,2	0,1		0,2	0,1	0,2
	0,2	0,1	0,2		0,0	0,1	0,2		0,1	0,0	0,1
	0,1	0,0	0,1		0,1	0,0	0,2		0,2	0,1	0,0
	0,2	0,3	0,0		0,3	0,1	0,2		0,1	0,0	0,3
	0,3	0,4	0,1		0,1	0,2	0,4		0,3	0,4	0,1
	0,1	0,2	0,4		0,0	0,4	0,1		0,1	0,3	0,4
	0,0	0,4	0,1		0,4	0,1	0,0		0,3	0,0	0,1
	0,4	0,2	0,3		0,2	0,1	0,0		0,2	0,1	0,0
	0,1	0,1	0,2		0,1	0,2	0,3		0,1	0,2	0,3

 

 

Таблица 2

Предприятия (виды продукции)	Коэффициенты прямых затрат аi j	Конечный продукт Y
	1А 1Б 1В	2А 2Б 2В	3А 3Б 3В	4А 4Б 4В

Задача 4. Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда[3].

 

Задачи 4.1-4.10. В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. р.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя (повариантно) приведен ниже в таблице

 

Номер варианта	Номер наблюдения ( t = 1,2,…,9)

 

 

Требуется:

1) Проверить наличие аномальных наблюдений.

2) Построить линейную модель , параметры которой оценить МНК (- расчетные, смоделированные значения временного ряда).

4) Построить адаптивную модель Брауна[4] с параметром сглаживания a= 0,4 и a= 0,7; выбрать лучшее значение параметра сглаживания α.

5) Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7—3,7).

6) Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

7) По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%).

8) Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

Вычисления провести с одним знаком в дробной части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использовании компьютера представить соответствующие листинги с комментариями).