Стандартные формы записи дифференциальных уравнений.

 

Применив к дифференциальному уравнению преобразование Лапласа, получим: D(S)X(S) = N(S)X(S)+M(S)F(S), где S – оператор Лапласа.

Y(S); X(S); F(S) – изображение по Лапласу.

Ы – оператор Лапласа, представляет собой комплексную величину s=c+jώ, где s – корень характеристического уравнения (полином); с – вещественная часть комплексного числа или абсцисса абсолютной сходимости; ώ – угловая частота, разрядность [рад/с]

Для перехода от реальной функции времени, то есть от их оригиналов к их изображениям по Лапласу и наоборот вводят прямое интегрируемое преобразование:

Обратное интегральное преобразование:

 

В результате преобразований Лапласа мы получаем алгебраическое уравнение изображающее функцию времени по Лапласу.

Введем обозначения:

 

Это выражение называют передаточным по входному сигналу X или F.

То есть передаточная функция – отношение изображения выходного сигнала к входному.

D(s)X(s) = N(s)X(s)

Если индексов у передаточной функции нет, предполагается только один входной сигнал x. Выход один, то, следовательно, и знаменатель будет один. Так как входной сигнал, как правило, известен, либо мы его можем задать в виде входного типового воздействия свойства системы также известны и представляются в виде передаточной функции, то всегда стоит вопрос по нахождению изображения выходного сигнала, то есть

, где Y(s) – реакция системы.

Данную форму записи можно представить в виде структурной схемы:

Для того чтобы применить преобразование Лапласа удобнее всего пользоваться специальными таблицами. Данные таблицы применяются для причинных систем.

Причинная система – это динамическая система, для которой выполняется принцип личности, то есть вход такой системы y(t) в какой-то момент времени зависит только от значений входного сигнала x(t) в момент времени t меньше или равное t₀. Таким образом в реальном мире все системы – причинные, так как невозможно получить отклик системы на еще не приложенное воздействие.