Метод расширенных частотных характеристик

 

Методом расширенных частотных характеристик (РЧХ) при синтезе САУ удовлетворяют требование к степени затухания Y переходного процесса системы. Считают, что оптимальная степень затухания заключена в пределах Y = 0,75 ¸ 0,90. Более интенсивное затухание при Y > 0,90 неприемлемо, поскольку сопровождается значительным перерегулированием. Слабое затухание при Y < 0,75 затягивает переходный процесс. Опыт эксплуатации САУ свидетельствует о том, что Y = 0,75 удовлетворяет многим требованиям техники автоматического регулирования. Однако степень затухания Y не является однозначным показателем качества регулирования, так как одно и то же значение Y может быть достигнуто различным сочетанием параметров АР. При этом быстродействие САУ также будет различным. Поэтому при параметризации АР стремятся обеспечить кроме заданной степени затухания Y минимальное время регулирования tрили минимум интегральной оценки J20.

При синтезе САУ необходимо ее структурную схему привести к типовому виду (рисунок 2.14). Предполагается, что ПФ объекта регулирования WОР(s) известна, включая коэффициент передачи и постоянные времени. Выбран также закон регулирования, т.е. определена в общем виде (3.8) – (3.12) ПФ регулятора WАР(s). Таким образом, искомыми являются параметры АР.

Рассматриваемый метод базируется на понятии расширенных амплитудно-фазовых частотных характеристик объекта и регулятора . Их получают из ПФ WОР(s) и WАР(s) заменой оператора Лапласа s оператором (j – m)w, где m – степень колебательности, см. формулу (2.131). Связь между степенью затухания Y и степенью колебательности m вытекает из (2.125) и (2.130)

 

.

 

В основу метода положено условие нахождения замкнутой САУ на границе устойчивости (m = 0):

 

 

Записав расширенные АФЧХ и в показательном виде (2.52), последнее соотношение представляют в виде двух равенств

 

 

где и – модули расширенных АФЧХ регулятора и объекта соответственно;

и – фазы расширенных АФЧХ.

Полученные уравнения решают относительно искомых настроечных параметров АР

 

 

Эти уравнения описывают границу области заданной степени затухания Y в параметрической форме (w – параметр), которую называют линией равной степени затухания KI = f(KP). Ее используют для отыскания параметров АР KI, KPи KD. Линию строят в плоскости параметров регулятора (рисунок 3.30) с помощью названных уравнений, предварительно задавшись диапазоном частот w и степенью затухания Yзад. Линия равной степени затухания, изображенная на рисунке 3.30, имеет типичный вид. Точка экстремума кривой KI = f(KP) определяет искомые настроечные параметры АР.

Сущность рассматриваемого метода раскрывается на примере синтеза астатической САР, структурная схема которой изображена на рисунке 3.20. В данном случае необходимо определить параметры настройки ПИ-регулятора KPи KI, которые обеспечат процесс регулирования со степенью затухания Y = 0,75. ПФ объекта регулирования

 

 

Первоначально получают расширенную АФЧХ объекта регулирования

 

Во-вторых, записывают инверсную (обратную) расширенную АФЧХ объекта регулирования

 

В-третьих, записывают инверсную (обратную) расширенную АФЧХ объекта регулирования в алгебраическом виде

 

 

где R(m, w) – инверсная расширенная вещественная ЧХ объекта регули­рования;

J(m, w) – инверсная расширенная мнимая ЧХ объекта регули­рования

В-четвертых, задаваясь различными значениями частоты w, на плоскости параметров настройки АР строят линию равной степени затухания Y = 0,75 по параметрическим уравнениям /44/:

 

 

Очевидно, что линия равной степени затухания Y = const представляет собой годограф (рисунок 3.30).

В-пятых, определяют искомые параметры ПИ-регулятора как координаты точки экстремума линии равной степени затухания KP = 5,5 и KI = 0,32. Считают, что оптимальные значения параметров настройки ПИ-регулятора находятся несколько правее точки экстремума.

В-шестых, получают переход­ную характеристику САУ h(t), по которой непосредственно рассчиты­вают степень затухания Y и сравнивают с заданной Yзад = 0,75. На рисунке 3.31 показана переход­ная характеристика h(t), рассчитан­ная при параметрах настройки АР KP = 5,5 и KI = 0,32. Степень затухания в данном случае равна заданной Yзад = 0,75; действительно

 

 

При таком результате параметризацию ПИ-регулятора считают законченной.

Последовательность параметризации П-регулятора статической САР (рисунок 3.19) ничем не отличается от только что рассмотренной процедуры. Более того, для определения единственного параметра настройки П-регулятора необходим тот же годограф (рисунок 3.30). Коэффициент передачи регулятора KPопределяется координатами точки пересечения годографа и оси абсцисс. В рассматриваемом примере KP = 10,7. При этом KI = 0.

Последовательность параметризации ПИД-регулятора с тремя настроечными параметрами KI, KPи KDотличается от рассмотренной операциями по определению коэффициента KD. В этом случае линию равной степени затухания Y = const описывают следующими параметрическими уравнениями /44/:

 

 

Поскольку двух уравнений для определения трех неизвестных параметров регулятора недостаточно, строят несколько графических зависимостей KI = f(KP) для различных значений KD, начиная с KD = 0. В каждом случае параметры KPи KIопределяют так, как при параметризации ПИ-регулятора. Затем полученные сочетания параметров KI, KPи KDанализируют и выбирают наилучший вариант, сравнивая переходные характеристики по минимуму времени регулирования или минимуму интегральной оценки J20.

Рассматриваемый метод предстает как графоаналитический в случае построения линии равной степени затухания, экстремум которой служит для определения параметров настройки АР. Названные параметры можно рассчитать чисто аналитически без каких-либо графических построений. Особенность расчета заключается в исследовании на экстремум функции, заданной параметрически.

В приведенном примере параметризации ПИ-регулятора инверсная расширенная АФЧХ имеет вид

 

 

Линия равной степени затухания описывается параметрическими уравнениями

 

 

Дифференцируя каждое из этих уравнений по частоте w, получают следующие выражения

 

 

В свою очередь, первая производная функции KI = f(KP)

 

 

Для нахождения экстремума этой функции приравнивают ее первую производную к нулю и рассчитывают значение частоты, при котором он достигается

 

Подставив найденное значение частоты в параметрические уравнения, рассчитывают параметры настройки ПИ-регулятора:

 

 

Таким образом, аналитический и графоаналитический способы параметризации приводят к одинаковым результатам. Оба способа реализации метода РЧХ легко автоматизируются с помощью ПК.