По предмету основам теории управления

Министерство образования и науки РФ

Государственное бюджетное федеральное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Московский авиационный институт

(национальный исследовательский университет)

 

 

Кафедра 301

Пояснительная записка

По предмету «основам теории управления»

Вариант №13

(б, з, и, м, а, о5,13)

 

Выполнил:

Теняков А.С.

Группа: 3O-209Б

 

Проверил:

Боголюбов А.А

 

Москва 2013

Оглавление

Постановка задач. 3

Задание №1. 3

Задание №2. 3

Задание №3. 3

Задание №4. 3

Задания №5. 3

Задание №6. 4

Задание №7. 4

Задание №8. 4

Теоретическая часть. 5

Задание №1. 5

Задание №2. 5

Задание №3. 5

Задание №4. 6

Задание №5. 6

Задание №6. 8

Задание №7. 10

Расчетная часть. 11

Задание №1. 11

Задание №2. 11

Задание №3. 12

Задание №4: 15

Задания №5. 21

Задание №6. 24

Задание №7. 30

Задание №8. 34

Литература: 37

 

 

 

Постановка задач.

Задание №1.

Записать передаточные функции нескорректированной системы в разомкнутом W(S) и замкнутом Ф(S) ,(по ошибки и управляющему воздействию) состояниях для системы виды:

Риссунок 1.1.1 - Cистема для иследования

.

Задание №2.

Определить требуемый коэффициент усиления при из условия заданной точности () отработки управляющего сигнала вида.

Задание №3.

Исследовать устойчивость нескорректированной системы при и определить критическое значения коэффициента усиленияиспользуя для решения задачи метод Д-разбиений.

Задание №4.

Построить частные характеристики замкнутой системы А(ὼ) и φ(ὼ) при . Построить ЛАЧХ и ЛФХ для разомкнутой системы при и определить запас устойчивости.

Задания №5.

Выбрать структурную схему скорректированной системы и параметры корректирующих устройств из условия обеспечения заданных показателей качества (Т.Т.Т): пп0,36 и Ϭ29 аналитических методом синтеза.

Задание №6.

Построить переходный процесс для скорректированной системы при , сделать вывод о динамических свойствах скорректированной системы методом трапеций.

Задание №7.

Провести методом гармонического баланса анализ динамических свойств системы при наличии в исполнительном устройстве нелинейности типа релейной C=20.

Рисунок 1.7.1 - Вид нелинейности

Задание №8.

Самостоятельно составить задачи и вопросы на каждый раздел задания.

 

Теоретическая часть.

Задание №1.

Рис 2.1.1 - Вид системы

1. W(S) - (2.1.1) - передаточная функция в разомкнутом состояние.

2. Ф(S) (2.1.2) - передаточная функция по управляющему воздействию.

3. (2.1.3) - передаточная функция по ошибке.

Задание №2.

При задающем воздействии с постоянной скоростью не будет нарастающей ошибки. Это постоянное значение ошибки называется скоростной ошибкой.

; (2.2.1) [1]

Задание №3.

Одним из условий применимости метода Д-разбиений является условие линейности вхождения параметров, относительно которых проходит исследования. Если эти параметры входят как линейно так и не линейно, то введением новых параметров добиваемся выполнения этого условия и тогда исследования проводим в плоскости новых введённых параметров. Если параметры входят линейно в коэффициенты характеристического уравнения, то этот полином представим в виде Q(S)=A₁*N(S)+A₂*R(S)+P(S) (2.3.1)

Сделав подстановку S=j ὼ ,получим систему:

(2.3.2)

Решив систему методом Крамера получим A₁(и А₂.Построение кривой Д-разбиения производить в плоскости A_{1 ,}А_2. Причем по оси абсцисс откладывают параметр, который стоял на первом месте систему уравнений. Кривая Д-разбиения штрихуется два раза слева при увеличения ,если Δ(и справа, если Δ(.Если при переходи через _{0 ,}Δ(меняет знак, то и меняться направления штриховки Д-разбиения и Δ₀₎=0. Если в одно из уравнений систему 2.3.2 подставить ₀ то получим уравнения особой прямой. Особая прямая штрихуется так же как кривая Д-разбиения и их штриховки направленны друг к другу. Если при переходе через ₀ определитель Δ₀) меняет знак то изменяться направления штриховки, а если не меняет, то соответствующая особая прямая не штрихуется.

Задание №4.

По логарифмической характеристике разомкнутой системы можно определить запасы устойчивости:

 

Рисунок 2.4.1- Пример определения запаса устойчивости по ЛАЧХ и ЛФХ.
h= (2.4.1).

Задание №5.

Аналитический метод синтеза включает в себя 3 этапа:

-Выбор структурной схемы;

-Выбор желаемой передаточной функции;

-Определение параметров корректирующих устройств.

В систему предпочтительно вводить корректирующие устройства в обратную связь. Коэффициенты функции необходимых одно типовых элементов так же имеют некоторый разброс, поэтому корректирующие устройства в обратной связи должны охватывать как можно больше функционально необходимых элементов. В результате структурная схема примет вид:

Рисунок 5.1.1 - Вид выбранной структурной схемы

Передаточная функция корректирующего устройства имеет вид:

. (2.5.1)

Параметры функции необходимых элементов корректирующих устройств приравниваются к желаемым параметрам, которые находятся по формулам:

; . (2.5.2)

; (2.5.3)

И значения в числители .

Пусть вид желаемой передаточной функцией имеет вид:

.

Получим систему вида:

a₄=1;

a₃=a₃^ж;

a₂=a₂^ж; (3.5.1)

a₁=a₁^ж;

а₀=a₀^ж.

 

Задание №6.

Кривая переходного процесса может быть построена по ВЧХ. В передаточную функцию W(S) подставляем j ὼ, получаем W(j ὼ) выделяем мнимую и действительную часть W(j ὼ) = P(ὼ)+jQ(ὼ). Построим P(ὼ).

Рисунок 2.6.1(Вещественно частотная характеристика).

Заменяем построенную P(ὼ)(рисунок 2.6.1) функцией ее аппроксимирующей функцией с помощью линий.

Рисунок 2.6.2 - Функция аппроксимирующая ВЧХ

Спроектируем точки излома этой ломаной линии на ось ординат. Получим трапеции, одна из сторон которой лежит на оси ординат. (рис. 6.3).

Рис 2.6.3 - Разбиение на трапеции для построения п.п.

Каждая трапеция характеризуется тремя параметрами:

Рисунок 2.6.4 - Общий вид трапеции

ϗ (2.6.1) - коэффициент наклона.

Что бы построить h(t) надо построить h_i(t) для каждой трапеции и сложить их.

h(t)=.6.2).

Для вычисления h_i(t) вводиться единичные трапеции, у которых oi =1.Для различных коэффициентов наклонов для единичной трапеции вычислены различные значения и сведены в таблицы. Найдя для советующих коэффициентов наклоны значения единичной трапеции, вычислим

hi(t)= hi(τ/)*Poi (2.6.3).

Задание №7.

Пусть мы имеем автономную нелинейную систему из последовательно включенного нелинейного звена и устойчивой или нейтральной линейно части, вида:

Рисунок 2.7.1- Вид структурной схемы

Построим АФЧХ линейно части и на том же графики построим нелинейной части. Значения в этих точка будет являть _0. Затем решив уравнения получим значения a_0. Проверив гипотезу фильтра, которая заключается в (7.2) k=2,3,4,5…. Если гипотеза фильтра выполнять найденные периодические решения нужно проверить на устойчивость. Для устойчивости периодических решений годограф при положительном приращении амплитуд не должен охватываться W_лч (а при отрицательном приращение амплитуд должен охватываться, если все наоборот, то периодические решения не устойчивы.

 

 

Расчетная часть.

Задание №1.

Для системы (см. рисунок 2.1.1) составим передаточную функцию в разомкнутом состоянии, из рисунка 2.1.1 и формул (2.1) получим что:

W(S) = W_y(S)*W_иу(S)*W_оу(S)

Передаточная функция по управляющему воздействию, из формулы (2.1.2) будет иметь вид:

Ф(S) =

=.

Передаточная функция по ошибки, из формулы (2.1.3) будет иметь вид:= .

Задание №2.

Так как управляющий сигнал в заданной системе имеет вид:то есть является воздействием с постоянной скоростью, что дает нам право воспользоваться формулой (2.1) с помощью которой мы можем выразить

с учетом ().

, ,

Задание №3.

Построения областей устойчивости системы (см. рисунок 2.1.1) методом D-разбиений будем проводить по параметрам Киу*Ку и Тиу. Для исследования системы нужно получить передаточную функцию.

W(S),

Ф(S) .

Получим характеристический полином.

В(S). (3.3.1)

Пусть А₂=Тиу, А₁=Киу*Коу и приведём к виду (2.3.1) .

Q(S)=, (3.3.2)

Для получения системы (2.3.2) сделаем подстановку S=jи выделим действительную и мнимую часть.

Q(j)==

=; (3.3.4)

Получим систему:

Для решения системы методом составим определители Δ(, ΔА₁(, ΔА₂(.

Δ(;

ΔА₁(

;

ΔА₂(

Так как А₁(, А₂(, то получим:

А₁(=0.54*²+7.4074074;

А₂(.

В данном случае особая точка ₀=0 так как именно в ней Δ(=0.Подставив ее в одно из уравнений системы(3.3) получим особую прямую А₁=0 . Так как сводный член уравнения (3.2) зависит от А_{2 ,}то прировняв его к нулю получим концевую прямую А₂=0.Построим на одном графике А₁(, А₂(, А₁=0, А₂=0.

Таблица 3.3.1 - Построение А₁(, А₂(

ώ	A2(ώ)	A1(ώ)
0,15	164,6091	7,419557
0,3	41,15226	7,456007
0,45	18,28989	7,516757
0,6	10,28807	7,601807
0,75	6,584362	7,711157
0,9	4,572474	7,844807
1,05	3,359368	8,002757
1,2	2,572016	8,185007
1,35	2,032211	8,391557
1,5	1,646091	8,622407
1,65	1,360405	8,877557
1,8	1,143118	9,157007
1,95	0,974018	9,460757
2,1	0,839842	9,788807
2,25	0,731596	10,14116
2,4	0,643004	10,51781
2,55	0,569581	10,91876
2,7	0,508053	11,34401
2,85	0,455981	11,79356
	0,411523	12,26741
3,15	0,373263	12,76556
3,3	0,340101	13,28801
3,45	0,31117	13,83476
3,6	0,28578	14,40581
3,75	0,263374	15,00116
3,9	0,243505	15,62081
4,05	0,225801	16,26476
4,2	0,209961	16,93301
4,35	0,19573	17,62556
4,5	0,182899	18,34241
4,65	0,171289	19,08356
4,8	0,160751	19,84901
4,95	0,151156	20,63876
5,1	0,142395	21,45281
5,25	0,134375	22,29116
5,4	0,127013	23,15381
5,55	0,12024	24,04076
5,7	0,113995	24,95201
5,85	0,108224	25,88756

 

На основе таблицы 3.3.1 построим график:

 

Рисунок 3.3.1 - Плоскость D-разбиений

Из таблицы видно что Δ(0, соответственно кривая D - разбиения штрихуется двойной штриховкой справа, особая и концевая прямая штрихуются один раз и в данном случае их штриховки направлены к штриховке D-разбиения. Так как А₂=0.13 , нарисуем соответствующую прямую.

А₂(,

,

А₁(= 22.792.

Данное значения будет являться критической колебательной границей устойчивости (Ку*Киу)кр=22.792, а (Ку*Киу)кр=0 критической апериодической границей устойчивости.

Точка с (Ку*Киу)тр=7142.8571 находится вне области устойчивости, следовательно система с коэффициентом усиления (Ку*Киу)тр – неустойчивая.

Задание №4:

Используя критическое значение из задания 3 и передаточные функции из задания 1 получим:

W(S)

Ф(S)=.

Подставив в передаточную функцию замкнутой системы вместо s=jώ, и выделив мнимую и действительную часть получим:

Re[Ф(jώ )]=,

Im[Ф(jώ )]=,

Φ(ώ)= ,

A(ώ)= .

 

 

Таблица 3.4.1 - Значения , lg, P, Q, A, 20lg A, φ.

 

В соответствие с таблицей построим АЧХ и ФЧХ.

 

Рисунок 3.4.1 - АЧХ замкнутой системы

Рисунок 3.4.2 - ФЧХ замкнутой системы

Также поступим и с передаточной функцией разомкнутой системы:

Re[Ф(jώ )]=;

Im[Ф(jώ )]=;

Φ(ώ)= ,

A(ώ)= .

L(ώ)=20*lgA(ώ).

 

 

Таблица 3.4.2 - Значения P,Q,A,φ, lgώ, lgA

В соответствие с таблицей построим ЛАЧХ и ЛФХ.

Рисунок 3.4.3 - ЛАХ и ЛФХ разомкнутой системы

 

Из рисунка видно, что ϒ=27.4 градусов =0.4779 радиан, а Н=8,33 градус =0.1454 радиан. Из формулы (1.4.1) получим h=1.016.

Задания №5.

В соответствие с теоретической частью задания выбираем вид структурной схемы типа рисунок 3.5.1.

Рисунок 3.5.1 - Вид выбранной структурной схемы

W_ку0 = , W_ку1 = , W_ку2 = , W_ку3 = .

Запишем предаточную функцию системы:

Ф(S)=

. (3.5.1)

Подставим соответствующие передаточные функции в формулу (5.10) и получим коэффициенты знаменателя при степенях.

а₄=Tiy*Toy+Ky*Tiy*Toy*κ11,

a₃ =,

a₂=

a₁=,

a₀=,

Так как a₄=1, то . Из условия астатизма 1-ого порядка . Зададимся некоторыми параметрами для совместности системы. Приняв ,мы упростим нашу систему.

Для определения коэффициентов желаемой передаточной функции, найдём на основе ОМК значения δ_1, δ_2,δ_3, z=. И из формул 1.5.2 найдем, желаемые коэффициенты.

Получим на основе четырех графиков ОМК 4 различных значения δ_1, δ_2,δ_3, z и занесём в таблицу.

Таблица 3.5.1 – Значения δ_1, δ_2,δ_3, z.

	I	II	III	IV
δ1		2,8	2,1
δ2	1,4
δ3	1,6	1,4	1,2
tнн	1,5	2,15	1,55	1,55
z	0,24	0,1674419	0,2322581	0,2322581

 

Для каждого из случаев рассчитаем значения желаемых коэффициентов:

Таблица 3.5.2 – Значения а3ж, а2ж, а1ж, а0ж.

	I	II	III	IV
a3ж	18,666667	46,822222	21,7	17,222222
a2ж	217,77778	1565,9432	392,40833	296,60494
a1ж	1814,8148	26186,05	3548,0253	2554,0981
a0ж	7561,7284	156388,91	15276,22	10996,811

 

Взяв значения из задания №1 и №2 , приняв α=5 составим матрицу коэффициентов СЛАУ:

			54945,08		81400,11	7142,86		5,826211
11,39601			203500,3	54945,08	203500,3	81400,11		268,1149
28,49003	101750,1			203500,3		203500,3		2554,098
		101750,1					101750,1	10996,81
							101750,1	10996,81

(3.5.2)

Подставив получение значения в систему (3.5.2), получим 4 системы уравнений, решив которые найдём значения коэффициентов корректирующих устройств, занесем решения в таблицу.

 

Таблица 3.5.2 – Значения коэффициентов корректирующих устройств

	I	II	III	IV
α
k31	0,0119261	0,2061691	0,0230125	0,0161277
k30
k21	4,133E-05	0,0005538	9,653E-05	1,504E-05
k20	0,0022549	0,0248936	0,0052287	0,003787
k11
k10
k00	0,0743166	1,5369896	0,1501346	0,1080766

Выбрав из четырех случаев наименьшие значения коэффициентов корректирующих устройств, получим передаточные функции корректирующих устройств:

,

,

,

.

Точный переходный процесс имеет вид:

Рисунок 3.5.2 - Переходный процесс скорректированной системы

Из рисунка 3.5.2 видно, что точное время переходного процесса составляет 1.8086 с., а Ϭ=24.83%.

Задание №6.

После введения корректирующих устройств получим систему вида:

Рисунок 3.6.1 - Вид скорректированной системы

Передаточная функция данной системы будет иметь вид:

Ф(S)=.

Составим таблицу, по которой построим ВЧХ:

Таблица 3.6.1 - Значения P,Q,A,20lgA,Fi

 

Построим на основе таблицы 3.6.1 ВЧХ.

Рисунок 3.6.2 – Вещественная частотная характеристика

С аппроксимируем полученную кривую.

Рисунок 3.6.3 - Трапеции для построения переходного процесса

Получим три трапеции. В соответствие с теоретической частью задания №6 (рис 2.6.4) определяем все необходимые коэффициенты.

Для 1 трапеции:

P₀₁=1.127, ώ_d1=0.588, ώ_o1=6,47, ϰ₁=0.091.

Для 2 трапеции:

P₀₂=2.1773; ώ_d2=8.7647, ώ_o2=10.735, ϰ₂=0.81643.

Для 3 трапеции:

P₀₃=0.7943; ώ_d3=10.735; ώ_o3=14.794; ϰ₃=0.7256.

В соответствие с коэффициентом наклона каждой трапеции определим переходной процесс соответствующих единичных трапеций, и из формулы (6.2) рассчитаем таблицы переходных процессов каждой трапеции:

Для первой трапеции:

Таблица 3.6.2 - П.п первой трапеции.

t	h(t)
0,0772798	0,198352
0,1545595	0,3638
0,2318393	0,556738
0,309119	0,707756
0,3863988	0,832853
0,4636785	0,933156
0,5409583	1,005284
0,618238	1,055999
0,6955178	1,08192
0,7727975	1,101079
0,8500773	1,111222
0,927357	1,105587
1,0046368	1,10446
1,0819165	1,102206
1,1591963	1,10446
1,236476	1,107841
1,3137558	1,114603
1,3910355	1,122492
1,4683153	1,131508
1,5455951	1,137143
1,6228748	1,141651
1,7001546	1,143905
1,7774343	1,145032
1,8547141	1,143905
1,9319938	1,141651
2,0092736	1,140524
2,0865533	1,139397
2,1638331	1,13827
2,2411128	1,139397
2,3183926	1,140524
2,3956723	1,141651
2,4729521	1,143905

 

Для второй трапеции:

Таблица 3.6.2 - П.п второй трапеции

t	h(t)
0,229642	0,317814
0,459284	0,616469
0,688927	0,874552
0,918569	1,078539
1,148211	1,221668
1,377853	1,300558
1,607496	1,323098
1,837138	1,302812
2,06678	1,252097
2,296422	1,186731
2,526064	1,120238
2,755707	1,069523
2,985349	1,03684
3,214991	1,026697
3,444633	1,03684
3,674275	1,063888
3,903918	1,097698
4,13356	1,133762
4,363202	1,164191
4,592844	1,182223
4,822487	1,187858
5,052129	1,181096
5,281771	1,165318
5,511413	1,143905
5,741055	1,121365
5,970698	1,10446
6,20034	1,090936
6,429982	1,087555
6,659624	1,092063
6,889267	1,102206
7,118909	1,116857
7,348551	1,130381

Для третей трапеции:

Таблица 3.6.3 - П.п третей трапеции.

t	h(t)
0,629485	0,309925
1,25897	0,601818
1,888455	0,854266
2,51794	1,057126
3,147425	1,202509
3,77691	1,288161
4,406396	1,31859
5,035881	1,308447
5,665366	1,270129
6,294851	1,204763
6,924336	1,145032
7,553821	1,077412
8,183306	1,054872
8,812791	1,033459
9,442276	1,035713
10,07176	1,054872
10,70125	1,079666
11,33073	1,11573
11,96022	1,143905
12,5897	1,167572
13,21919	1,178842
13,84867	1,179969
14,47816	1,170953
15,10764	1,155175
15,73713	1,13827
16,36661	1,119111
16,9961	1,106714
17,62558	1,098825
18,25507	1,09319
18,88455	1,101079
19,51404	1,108968
20,14352	1,119111

 

 

Построив переходные процессы по таблицам 2,3,4 ,и сложив их (следует из формулы (6.3)) получим результирующий переходной процесс.

 

Рисунок 3.6.5 - Переходный процесс построенный методом трапеций

Из рисунка 3.6.5 видно что h_уст=1 ,соответственно έ_уст=0,h_max=1.24, t_пп=t_н=9 c. ,Ϭ==24%.

Задание №7.

После введение нелинейного звена структурна схема примет вид:

Рисунок 3.7.1 - Вид системы с нелинейным звеном

Выделим нелинейную и линейную части:

Рисунок 3.7.2 - Преобразованная система

Передаточная функция линейной части в общем виде запишется так:

W_лч(S)=Wиу(S)*(W_оу(S)*(W_ky0(S)+W_ky3(S))+W_ky2(S))*W_y(S));

,

,

,

Подставив значения передаточных функций

(значения Ку*Киу =(Ку*Киу)тр из задания №2)получим:

W_лч(S)=;

Построим годограф Wлч(S) и на одном графике:

Таблица 3.7.1 - Значения для построения АФЧХ

 

Рисунок 3.7.1 - Годограф Wлч и -1/R(a)

Из рисунка 3.7.1 видно, что пересечений Wлч(S) c -1/R(a) нет, соответственно периодические решения отсутствуют.

 

 

Задание №8.

Вопросы к заданию №1:

1. Запишите значения передаточных функция для схемы

Рис3.8.1 - Вид системы

Ответ: W(S)=W1*W4*W2/(1-W2*W1)

Вопросы к заданию №2

1. Запишите выражения которое будет математически выражать έ(t) по скорости.

Ответ:

Вопросы к заданию №3

1. Как штрихуется кривая Д-разбиения?

2. Как находится концевая прямая?

Ответ:

1. Кривая Д-разбиения штрихуется 2 раза: слева, если Δ(w)>0 и справа, если меньше.

2. Если старший коэффициент полинома зависит от одного из параметров, то приравняв к 0 получаем уравнение концевой прямой

Вопросы к заданию №4

1. Определите запас устойчивости системы по амплитуде и фазе.

Рисунок 3.8.2 – Логарифмические характеристики

Ответ: ϒ=27.4 градусов =0.4779 радиан, а Н=8,33 градус =0.1454 радиан.

Вопросы к заданию №5

1. Какие основные этапы включаются в аналитический метод синтеза?

Ответ:

-Выбор структурной схемы;

-Выбор желаемой передаточной функции;

-Определение параметров корректирующих устройств.

Вопросы к заданию №6

1. Постройте переходной процесс трапеции изображенной на рисунке 3.8.3 (методом трапеций).

Рисунок 3.8.3 - Трапеция

Вопросы и задания к заданию №7

1. Как определяться устойчивость периодических решений?

2. Определить устойчивость решений на рисунке 24.

Рисунок 3.8.4 - Годограф Wлч и -1/R(a)

Ответ: Для того, чтобы решение было устойчивым при положительном приращении амплитуды годограф -1/N(а) не должен охватываться годографом линейной части. Левое – устойчивое, правое - неустойчивое

 

Литература:

1. Попов Е.П. «Теория линейных систем автоматического регулирования и управления», Москва «Наука», 1978.

2. Воронов А.А. «Основы теории автоматического регулирования и управления», 1977.

3. Воронов А.А. «Теория автоматического управления. Часть I. Теория линейных систем автоматического управления», 1986.