рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ

ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ - раздел Менеджмент, ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ   Конечной Целью Анализа Сар Является Решение (Если Это Возможн...

 

Конечной целью анализа САР является решение (если это возможно) или исследование дифференциального уравнения системы в целом. Обычно известны уравнения отдельных звеньев, входящих в состав САР, и возникает промежуточная задача получения дифференциального уравнения системы по известным ДУ её звеньев. При классической форме представления ДУ эта задача сопряжена со значительными трудностями. Использование понятия передаточной функции существенно упрощает её.

Пусть некоторая система описывается ДУ вида

.

Введя обозначение =p, где pназывают оператором, или символом, дифференцирования, и обращаясь теперь с этим символом как с обычным алгебраическим числом, после вынесения xвых и xвх за скобки, получают дифференциальное уравнение этой системы в операторной форме:

 

(anpn +an-1pn-1 +…+a1p +a0)xвых = (bmpm +bm-1pm-1 +…+b1p+b0)xвх. (4.1)

 

Многочлен от p, стоящий при выходной величине,

 

D(p)=anpn+an-1pn-1+…+a1p+a0 (4.2)

 

называется собственным оператором, а многочлен при входной величине – оператором воздействия

 

K(p) = bmpm +bm-1pm-1 +…+b1p+b0. (4.3)

 

Передаточной функцией называется отношение оператора воздействия к собственному оператору:

W(p) = K(p)/D(p) = xвых/xвх. (4.4)

 

В дальнейшем мы будем практически всюду использовать именно операторную форму записи дифференциальных уравнений.

 

Виды соединений звеньев и алгебра передаточных функций.

 

Получение передаточной функции САР требует знания правил нахождения передаточных функций групп звеньев, в которых звенья соединены между собой определенным образом. Имеется три типа соединений.

1. Последовательное, при котором выход предыдущего звена является входом для последующего (рис. 4.1):

 
 

 

 


 

Рис. 4.1 Последовательное соединение звеньев

 

Как видно из уравнения (4.4), передаточная функция любой системы с одной стороны, - это отношение оператора воздействия к собственному оператору, а с другой – это отношение выходной величины ко входной. В данном случае передаточная функция соединения имеет вид

 

Wc(p) = xвых/xвх = (xвых/x)(x/xвх) =W1(p)W2(p). (4.5)

 

2. Параллельное, при котором несколько звеньев имеют общий вход, а выходные величины этих звеньев складываются (рис. 4.2):

 
 

 

 

 


Рис. 4.2 Параллельное соединение звеньев

 

Новый значок на этой схеме – сумматор. Если встречается сумматор с закрашенным сектором, это означает, что величина, входящая в этот сектор, изменяет свой знак.

Как и ранее, базируясь на понятии передаточной функции, получаем:

 

Wс(p) = xвых/xвх =x1/x + x2/x =W1(p) + W2(p). (4.6)

 

3. Встречно - параллельное соединение, или охват звена обратной связью (рис. 4.3).

 

 
 

 

 


Рис. 4.3 Встречно – параллельное соединение.

В зависимости от того, складывается сигнал обратной связи х с входным сигналом хвх либо вычитается из него, различают положительные и отрицательные обратные связи.

Попрежнему базируясь на свойстве передаточной функции, можем написать

 

W1(p) =xвых/(xвх±х); W2(p) = x/xвых; Wc =xвых/xвх. (4.7)

 

Исключив из первых двух уравнений внутреннюю координату х, получим передаточную функцию для такого соединения:

 

Wc(p) = W1(p)/[1±W1(p)W2(p)]. (4.8)

 

Следует иметь в виду, что в последнем выражении знак плюс соответствует отрицательной обратной связи.

В том случае, когда какое-нибудь звено имеет несколько входов (как, например, объект регулирования), рассматриваются несколько передаточных функций этого звена, соответствующие каждому из входов, например, если уравнение звена имеет вид

 

D(p)y = Kx(p)x + Kz(p)z, (4.9)

 

где Kx(p) и Kz(p) – операторы воздействий соответственно по входам x и z, то это звено имеет передаточные функции по входам х и z:

 

Wx(p) = Kx(p)/D(p); Wz(p) = Kz(p)/D(p). (4.10)

 

В дальнейшем в целях сокращения записей в выражениях передаточных функций и соответствующих операторов будем опускать аргумент «p».

Из совместного рассмотрения выражений (4.9) и (4.10) следует, что

 

y = Wxx+Wzz, (4.11)

 

то есть в общем случае выходная величина любого звена с несколькими входами равна сумме произведений входных величин на передаточные функции по соответствующим входам.

 

Передаточная функция САР по возмущению.

Обычный вид структуры САР, работающей по отклонению регулируемой величины, таков:

 

 
 

 

 


Рис. 4.4 Замкнутая САР

 

Обратим внимание на то обстоятельство, что регулирующее воздействие поступает на объект с измененным знаком. Связь между выходом объекта и его входом через регулятор называется главной обратной связью (в отличие от возможных дополнительных обратных связей в самом регуляторе). По самому философскому смыслу регулирования действие регулятора направлено на уменьшениеотклонения регулируемой величины, и потому главная обратная связь всегда отрицательна. На рис. 4.4:

Woz - передаточная функция объекта по возмущению;

Wox- передаточная функция объекта по регулирующему воздействию;

Wpy - передаточная функция регулятора по отклонению у.

Дифференциальные уравнения объекта и регулятора выглядят так:

 

 
 


y=Woxx +Wozz

x = - Wpуy. (4.12)

 

Подставив х из второго уравнения в первое и выполнив группировку, получаем уравнение САР:

 

(1+WoxWpу)y = Wozz. (4.13)

 

Отсюда передаточная функция САР по возмущению

 

Wcz= y/z =Woz/(1+WoxWpу). (4.14)

 

Подобным путём можно получить и передаточную функцию САР по управляющему воздействию:

 

Wcu = WoxWpu/(1+WoxWpy ), (4.15)

где Wpu -передаточная функция регулятора по управляющему воздействию.

 

5 Вынужденные колебания и частотные характеристики САР

 

В реальных условиях эксплуатации САР нередко подвергается действию периодических возмущающих сил, что сопровождается периодическими изменениями регулируемых величин и регулирующих воздействий. Таковы, например, колебания судна при ходе на волнении, колебания частоты вращения гребного винта и других величин. В ряде случаев амплитуды колебаний выходных величин системы могут достигать недопустимо больших значений, и это соответствует явлению резонанса. Последствия резонанса часто губительны для испытывающей его системы, например, опрокидывание судна, разрушение двигателя. В системах регулирования такие явления возможны при изменении свойств элементов, вызванном износами, заменой, перенастройкой, отказами. Тогда возникает необходимость либо определения безопасных диапазонов эксплуатационных условий, либо надлежащей настройки САР. Здесь будут рассмотрены эти вопросы в приложении к линейным системам.

Пусть некоторая система имеет нижепоказанную структуру:

 
 

 

 


Рис. 5.1 САР в режиме вынужденных колебаний

 

Если на систему действует периодическое воздействие х с амплитудой Ах и круговой частотой w, то после окончания переходного процесса на выходе установятся колебания той же частоты с амплитудой Ау и смещенные относительно входных колебаний на фазовый угол j. Параметры выходных колебаний (амплитуда и фазовый сдвиг) зависят от частоты вынуждающей силы. Задача заключается в определении параметров выходных колебаний по известным параметрам колебаний на входе.

В соответствии с передаточной функцией САР, показанной на рис. 5.1, дифференциальное уравнение её имеет вид

 

(anpn+an-1pn-1+…+a1p+a0)y=(bmpm+bm-1pm-1+…+b1p+b0)x. (5.1)

 

Подставим в (5.1) выражения для х и у, приведенные на рис. 5.1:

 

(anpn+an-1pn-1+…+a1p+a0)Aysin(wt+j)=

 

=(bmpm+bm-1pm-1+…+b1p+b0)Axsinwt. (5.2)

 

Если рассматривать картину колебаний, смещенную на четверть периода, то в уравнении (5.2) функции синусов сменятся функциями косинусов:

(anpn+an-1pn-1+…+a1p+a0)Aycos(wt+j)=

 

=(bmpm+bm-1pm-1+…+b1p+b0)Axcoswt. (5.3)

 

Умножим уравнение (5.2) на i =и сложим полученное с (5.3):

 

(anpn+an-1pn-1+…+a1p+a0)Ay[cos(wt+j)+isin(wt+j)]=

 

= (bmpm+bm-1pm-1+…+b1p+b0)Ax(coswt+isinwt). (5.4)

 

Применяя формулу Эйлера

 

exp(±ibt)=cosbt ± isinbt,

 

приведём уравнение (5.4) к виду

 

(anpn+an-1pn-1+…+a1p+a0)Ayexp[i(wt+j)]=

 

= (bmpm+bm-1pm-1+…+b1p+b0)Axexp(iwt). (5.5)

 

Выполним операцию дифференцирования по времени, предусмотренную оператором р=d/dt:

 

[an(iw)n+an-1(iw)n-1+…+a1iw+a0]Ayexp[i(wt+j)]=

 

=[bm( iw)m+bm-1( iw)m-1+…+b1iw+b0]Axexp(iwt). (5.6)

 

После простых преобразований, связанных с сокращением на exp(iwt), получаем

 

(5.7)

 

Правая часть выражения (5.7) похожа на выражение передаточной функции САР и может быть получена из него заменой p=iw. По аналогии она называется комплексной передаточной функцией W(iw), или амплитудно - фазовой характеристикой (АФХ). Нередко употребляют также термин частотная характеристика. Понятно, что эта дробь является функцией комплексного аргумента и может быть представлена ещё и в таком виде:

 

W(iw) = M(w) +iN(w), (5.8)

 

где M(w) и N(w) – соответственно вещественная и мнимая частотные характеристики.

Отношение Аух есть модуль АФХ и является функцией частоты:

 

Аух=R(w)

 

и называется амплитудно- частотной характеристикой (АЧХ). Фазовый сдвиг

j =j (w) - также функция частоты и называется фазовой частотной характеристикой (ФЧХ). Вычисляя R(w) и j(w) для диапазона частот (0…¥), можно построить на комплексной плоскости в координатах M(w) и iN(w) график АФХ (рис. 5.2).

 

 

 

Рис. 5.2 График АФХ

 

Очевидны следующие соотношения:

 

M = Rcosj; N = Rsinj;

 

 

; j = arctg(N/M). (5.9)

 

Амплитудно-частотная характеристика.

 

АЧХ любой системы представляет наибольший интерес, поскольку даёт возможность определить амплитуду колебаний выходной величины при известных амплитуде и частоте входной величины. На рис. 5.3 показаны возможные на практике виды АЧХ.

 

 

Рис. 5.3 Амплитудно-частотные характеристики

 

На АЧХ системы 1 виден резонансный пик, соответствующий наибольшей амплитуде вынужденных колебаний. Работа в зоне около резонансной частоты может оказаться губительной и часто вообще недопустима правилами эксплуатации конкретного объекта регулирования. АЧХ вида 2 не имеет резонансного пика и для механических систем более предпочтительна. Видно также, что с увеличением частоты амплитуда выходных колебаний уменьшается. Физически это легко объясняется: любая система в силу присущих ей инерционных свойств легче подчиняется раскачиванию низкими частотами, чем высокими. Начиная с некоторой частоты, колебания на выходе становятся незначительными, и эту частоту называют частотой среза, а диапазон частот ниже частоты среза называют полосой пропускания частот. В теории автоматического регулирования за частоту среза принимают такую, при которой значение АЧХ в 10 раз меньше, чем при нулевой частоте. Свойство системы гасить высокочастотные колебания называется свойством фильтра низких частот.

Рассмотрим методику расчета АЧХ на примере звена второго порядка, дифференциальное уравнение которого

 

(T22p2 + T1p + 1)y = kx. (5.10)

 

В задачах вынужденных колебаний часто используют более наглядную форму уравнения

 

(p2 +2xw0p + w02)y = kw02x, (5.11)

 

где называется собственной частотой колебаний при отсутствии затухания, x =T1w0/2 - коэффициент затухания.

Передаточная функция при этом выглядит так:

(5.12)

 

Заменой p = iw получаем амплитудно-фазовую характеристику

 

(5.13)

 

Используя правило деления комплексных чисел, получаем выражение для АЧХ:

  (5.14)

Определим резонансную частоту, при которой АЧХ имеет максимум. Это соответствует минимуму знаменателя выражения (3.66). Приравнивая нулю производную знаменателя по частоте w, имеем:

 

2(w02 - w2)(-2w) +4x2w02*2w = 0, (5.15)

откуда получаем значение резонансной частоты, не равное нулю:

 

wрез = w0Ö 1 - 2x2. (5.16)

 

Проанализируем это выражение, для чего рассмотрим отдельные случаи, которым соответствуют различные значения коэффициента затухания.

1. x = 0. Резонансная частота равна собственной, и модуль АЧХ при этом обращается в бесконечность. Это случай так называемого математического резонанса.

2. . Поскольку частота выражается положительным числом, а из (5.16) для этого случая получается либо нуль, либо мнимое число, следует вывод, что при таких значениях коэффициента затухания АЧХ не имеет резонансного пика (кривая 2 на рис. 5.3).

3.. АЧХ имеет резонансный пик, причём с уменьшением коэффициента затухания резонансная частота приближается к собственной и резонансный пик становится выше и острее.

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

В П Мальчевский... ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Учебное пособие для студентов...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
    Учебное пособие для студентов направлений подготовки: 6.051201 «Судостроение и океанотехника» 6.070104 «Морской и речной

Управление и регулирование
  Управление – это совокупность действий по переработке информации, ведущая к достижению поставленной цели. Система автоматического управления (САУ) – комплекс технических средств, ре

Состав системы автоматического регулирования.
  Любая система автоматического регулирования (САР) состоит из двух элементов: объекта регулирования (ОР) и автоматического регулятора (Р). К объектам регулирования относятся

Принципы автоматического регулирования
  Принцип регулирования характеризуется родом информации, которая используется регулятором для выработки регулирующего воздействия. Существует два принципа регулирования. Пер

Математический аппарат теории автоматического регулирования
  Основной математический аппарат – это дифференциальные уравнения для непрерывных систем и разностные уравнения для дискретных систем. Для первых в общем случае математическое описан

Режимы работы САР
  Система автоматического регулирования может находиться в одном из двух режимов работы: статическом либо динамическом. Статический, или установившийся, режим имеет место тог

Типовые внешние воздействия
  Выше упоминалось, что динамическая характеристика соответствует определенным образом оговоренной форме воздействия. Если говорить о реальных воздействиях на систему, то они изменяют

ТИПОВЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗВЕНЬЯ
  Звено называют элементарным, если оно не может быть представлено как комбинация двух или более звеньев. Независимо от физической природы протекающих процессов всё многообразие элеме

В В случае
T1=0 корни чисто мнимые p1,2 = ±ib, i = , что можно трактовать как частный случай предыдуще

Устойчивость автоматических систем
  Подобно тому, как употребляется термин «устойчивость» в общераспространенном понимании, в автоматике под этим термином тоже в некоторой степени подразумевается способность какой-либ

Качество процессов регулирования
  Под этим термином понимается точность работы САР. В идеальной системе отклонение регулируемой величины от заданного значения вообще отсутствует. В реальной системе оно есть, и о точ

Взаимодействие объекта и регулятора. Законы регулирования
  В этой части будут рассмотрены поведение неавтоматизированного объекта и объекта с различными типами регуляторов при действии одинаковых возмущений, а также будет проведен сравнител

Противоречие между статической точностью регулирования и устойчивостью
  Рассмотрим систему стабилизации частоты вращения вала двигателя с центробежным регулятором прямого действия, имеющую следующее математическое описание:

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги