ТИПОВЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗВЕНЬЯ

Звено называют элементарным, если оно не может быть представлено как комбинация двух или более звеньев. Независимо от физической природы протекающих процессов всё многообразие элементарных звеньев по математическому описанию сводится к шести типам. Ниже они будут рассмотрены, и показаны графики переходных процессов в этих звеньях при скачкообразном сигнале на входе.

1.Безинерционное звено:

y = kx

(3.1)

Свойства этого звена таковы, что оно мгновенно, без какого-либо запаздывания передаёт входной сигнал на выход (рис.3.1).Иногда поэтому его называют идеальным по быстродействию.

Рис. 3.1 Безинерционное звено.

Поскольку любое из реально существующих звеньев обладает большей или меньшей инерционностью, такое представление о динамических свойствах звена является определенной идеализацией, допустимой лишь при сравнении двух инерционных звеньев по продолжительности переходных процессов в них. По современному состоянию техники одно звено можно считать безинерционным по сравнению с другим, если постоянная времени первого хотя бы в 50 раз меньше, чем постоянная времени второго. Так, часто в процессах вывода на заданный режим главный судовой двигатель можно считать безинерционным по сравнению с судном.

2.Апериодическое звено первого порядка описывается уравнением вида:

(3.2)

Для нахождения закона изменения регулируемой величины у во времени необходимо решить данное дифференциальное уравнение. Мы имеем дело с линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка. Для всех систем, описывающихся линейными дифференциальными уравнениями, справедлив принцип суперпозиции, согласно которому общий эффект от действия на систему суммы нескольких факторов равен сумме эффектов, вызываемых каждым отдельным фактором. Применительно к нашему объекту это означает, что можно рассмотреть изменение регулируемой величины под влиянием каждого из возмущений раздельно, а затем полученные результаты алгебраически сложить.

Решение данного уравнения ищется в виде

(3.3)

где – общее решение соответствующего однородного уравнения

(3.4)

- частное решение уравнения (3.2).

В качестве частного решения обычно интересуются новым установившимся значением регулируемой величины, то есть тем, которое она примет по окончании переходного процесса, вызванного воздействием в данном случае x. Примем, что закон изменения x – скачкообразный:

t < 0, x = 0, t ³ 0, x = x₀ =const.

В нашем случае это соответствует мгновенному изменению относительного положения рейки топливоподачи на величину x₀. Таким образом, условия нового установившегося режима выглядят так:

x = x₀;

(3.5)

Подставив эти условия в уравнение (3.2), получим

y = kx₀.

Общее решение однородного уравнения ищется в форме

где C – постоянная интегрирования, p – корень характеристического уравнения

Таким образом,

(3.6)

Постоянная интегрирования определяется на основании начальных условий. Обычно в качестве таковых задаются условиями исходного установившегося режима, когда ещё не было изменения регулируемой величины, и они выглядят так:

t = 0, y=0.

Подставив начальные условия в уравнение (3.6), получим

и окончательно

(3.7)

График переходного процесса.

На рис. 3.2 представлена графически зависимость регулируемой величины у во времени, называемая графиком переходного процесса. Здесь ЛНУР – линия нового установившегося режима. Очевидно, что она является асимптотой для кривой - графика переходного процесса. Эта кривая (в математике она имеет специальное название – экспонента) обладает следующим свойством: отрезок, отсекаемый на ЛНУР касательной к экспоненте в какой-либо точке и перпендикуляром из этой точки, численно равен постоянной времени. Тогда можно дать толкование физическому смыслу постоянной времени, если рассмотреть такое построение из начала координат.

Постоянная времени – это время, за которое регулируемая величина достигла бы значения, соответствующего новому установившемуся режиму, если бы она изменялась с постоянной скоростью, равной начальной скорости её изменения.

Рис.3.2. График переходного процесса в объекте регулирования

и постоянная времени.

Продолжительность переходного процесса в объекте регулирования

Теоретически для любого объекта выход регулируемой величины на новое установившееся значение продолжается бесконечно долго. На практике же можно встретить объекты, в которых переходный процесс происходит быстрее или медленнее. В автоматике широко применяется инженерное понятие продолжительности переходного процесса. Это такое время t_пп, за которое регулируемая величина становится достаточно близкой к своему установившемуся значению (рис.3.2):

(3.8)

Здесь величина n близка к единице и характеризует точность приближения к установившемуся режиму.

Подставив (3.8) в (3.7) и выполнив упрощение, получим

После логарифмирования обнаруживается связь между временем переходного процесса и постоянной времени:

(3.9)

Часто считают переходный процесс практически окончившимся, когда регулируемая величина достигает 95% от нового установившегося значения, то есть принимают n = 0, 95. При этом оказывается, что

t_пп @ 3Т.

Приведём практически встречающиеся значения постоянных времени судовых объектов регулирования, которые в первом приближении могут быть описаны дифференциальным уравнением первого порядка.

Судовые главные дизели – около 1 секунды.

Газотурбонагнетатели – несколько секунд.

Дизельгенераторы – 3…4 секунды.

Судовые паровые котлы – 10…15 минут.

Судно относительно изменения его скорости – 1…5 минут.

Различные теплообменные аппараты – минуты.

Электродвигатели – около 1 секунды.

3.Интегрирующее звено:

(3.10)

Прямое интегрирование при нулевых начальных условиях дает

График переходного процесса приведен на рис. 3.3. Примерами таких звеньев являются различные счётчики, многие исполнительные механизмы.

Рис. 3.3 Интегрирующее звено

4.Дифференцируюшее звено:

(3.11)

Это тоже в некотором роде идеализация. При скачкообразном сигнале на входе в моменты времени, не равные нулю, сигнал на выходе равен нулю, а в нулевой момент времени выходной сигнал имеет вид импульса, бесконечно большого по величине и бесконечно малого по продолжительности (рис. 3.4)

Рис. 3.4 Идеальное дифференцирующее звено.

5.Звено с «чистым», или транспортным запаздыванием. В таком звене выходная величина повторяет входную с отставанием на время «чистого» запаздывания t₃ (рис. 3.5):

y(t+t₃) = x(t).

(3.12)

Рис. 3.5 Звено с «чистым» запаздыванием.

6. Звено второго порядка описывается уравнением вида:

(3.13)

Коэффициент k называется коэффициентом усиления, а коэффициенты Т₂² и Т₁ имеют размерности соответственно квадрата и первой степени времени. Такое обозначение логично и удобно.

В результате решения данного диф. уравнения мы получим закон изменения во времени выходной величины у. Примем, как это уже стало привычным, что входная величина изменяется скачкообразно:

t < 0 , х = 0 ; t ³ 0 , х = х₀ = const.

Решение уравнения (3.13) ищется в форме

у = +,

где – общее решение соответствующего однородного уравнения

(3.14)

– частное решение уравнения (3.13).

По аналогии с уравнением первого порядка частное решение как новое установившееся значение выходной величины будет

Общее решение уравнения (3.28) ищется в форме

где C₁ и C₂ – постоянные интегрирования, p₁ и p₂ – корни характеристического уравнения

(3.15)

Таким образом,

(3.16)

Постоянные интегрирования, определим на основании начальных условий. Исходный установившийся режим характеризуется следующими условиями:

t=0; у=0;

(3.17)

Подстановка (3.17) в (3.16) даёт

(3.18)

Отсюда постоянные интегрирования

;

(3.19)

и окончательно

(3.20)

В зависимости от вида корней характеристического уравнения (вещественные, комплексные либо чисто мнимые) имеется три частных случая. Обратим, однако, внимание на то, что решение уравнения (3.13) в форме (3.20) получено для общего случая, независимо от вида корней.

6.А В случае, когда выполняется условие

характеристическое уравнение имеет два вещественных отрицательных корня

и переходный процесс описывается формулой

(3.21)

Соответствующий график переходного процесса показан на рис.3.6. Звено в этом случае называется апериодическим звеном второго порядка, чем подчёркивается факт отсутствия колебаний в переходном процессе.

Рис. 3.6 Переходный процесс апериодического звена 2 порядка

6.Б В случае, когда

корни характеристического уравнения комлексно-сопряжённые с отрицательной вещественной частью:

Подстановка этих значений в выражение (3.21) с учётом того, что, согласно формуле Эйлера,

e^±i^b^t =cosbt ± isinbt ,

после простых преобразований приводит к такому результату:

(3.22)

График переходного процесса для этого случая показан на рис. 3.7. Звено называется колебательным, и период колебаний выражается через частоту свободных колебаний так:

T_кол=2p/b.

(3.23)

Рис. 3.7 Переходный процесс колебательного звена