рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

ОСНОВЫ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ

ОСНОВЫ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ - Лекция, раздел Менеджмент, Завьялов В. А.   Основы...

Завьялов В. А.

 

ОСНОВЫ

ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ

    Москва - 2011

Лекция № 1

 

Основные понятия и определения теории автоматического управления

 

ТАУ как наука была определена лишь в 40-х годах нашего столетия. Отдельные разделы ТАУ, такие как теория устойчивости технических систем и качество регулирования отдельных параметров технологических процессов были разработаны во многих странах еще в середине прошлого века.

Первые автоматы использовались человеком на заре своего существования. Например, капкан для охоты на диких животных является механическим самодействующим устройством и может быть отнесен к классу автоматов.

Автоматы в начальной производственной деятельности человека применялись при переработке добытых плодов природы, например, при стабилизации скорости вращения мельничных колес. Из-за колебаний уровня в реке количество падающей на мельничное колесо воды изменялось, что приводило к нежелательной неравномерности скорости вращения колеса. Для того чтобы стабилизировать скорость вращения колеса, на водоводных лотках устанавливали заслонки, соединенные с поплавками. При подъеме уровня воды в реке поплавки всплывали и прикрывали заслонки, которые ограничивали поток воды, падающей на мельничное колесо, и скорость вращения колеса практически не изменялась.

В данном случае применен принцип отрицательной обратной связи, которая компенсирует возникающие в процессе нормальной работы мельницы нежелательные возмущающие воздействия. Этот принцип используется во всех современных системах управления и обеспечивает успех функционирования автомата без непосредственного участия человека в его нормальной работе.

В настоящее время теория автоматического управления (ТАУ) представляет собой раздел технической кибернетики, которая входит в состав обобщающей науки КИБЕРНЕТИКИ.

Как самостоятельная наука КИБЕРНЕТИКА была сформулирована в 1948 году Нобертом Винером в книге "Кибернетика или наука об общих законах управления в живых организмах и машинах".

Задачами ТАУ являются анализ и синтез СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ (САУ) с заданными пользователем свойствами.

К основным понятиям ТАУ относят такие как СИСТЕМА, ОБЪЕКТ УПРАВ­ЛЕНИЯ, УПРАВЛЯЮЩЕЕ УСТРОЙСТВО, ЗАКОН УПРАВЛЕНИЯ.

Под СИСТЕМОЙ УПРАВЛЕНИЯ в ТАУ понимают совокупность объекта управления и управляющего устройства, взаимодействующих между собой для достижения поставленной проектировщиком цели.

ОБЪЕКТ УПРАВЛЕНИЯ - это элемент системы управления, на который оказывается управляющее воздействие. В качестве объекта в САУ может быть машина, технологический процесс, производственный комплекс и т.п.

УПРАВЛЯЮЩЕЕ УСТРОЙСТВО - это элемент САУ, который на основе анализа складывающейся ситуации и желательного ее состояния формирует закон управления и осуществляет управляющее воздействие. В качестве управляющего устройства может служить реле, электронный усилитель, вычислительное устройство или ЦВМ.

ЗАКОН УПРАВЛЕНИЯ - это алгоритм, характеризующий последовательность целесообразных управляющих воздействий на объект управления.

Под УПРАВЛЯЮЩИМ ВОЗДЕЙСТВИЕМ понимают целесообразную подачу на объект управления информации, энергии или вещества.

В процессе нормального функционирования САУ ее элементы должны выполнять следующие функции:

1. ОУ - объект управления преобразует поступающий на его вход поток информации, энергии или вещества в изменение своего состояния, которое характеризуется одним или несколькими физическими величинами;

2. Д - датчик преобразует физическую величину, характеризующую состояние объекта управления, в сигнал, удобный для дальнейшего использования;

3. З - задатчик генерирует сигнал, пропорциональный желаемому состоянию объекта управления;

4. И - измеритель осуществляет сравнение сигнала о действительном состоянии объекта управления с принятой для этого единицей измерения. Этот элемент необходим только для контроля работы системы и непосредственно в процессе управления не участвует;

5. ЭС - Элемент сравнения производит алгебраическое сложение сигналов о действительном и желаемом состояниях объекта управления;

 
 

6. УУ - управляющее устройство формирует сигнал, отображающий закон управления.

7. ИМ - исполнительный механизм усиливает сигнал о законе управления до величины, достаточной для воздействия на поток информации, энергии или вещества к объекту управления;

8. РО - регулирующий орган изменяет поток информации, энергии или вещества к объекту управления в соответствии с законом управления.

Схематично выполнение перечисленных функций можно представить следующим образом.

 

Рис. 1.1. Функциональная схема системы автоматического управления

 

1 – управляемая часть САУ;

2 – управляющая часть САУ;

X - физическая величина, характеризующая состояние ОУ;

Xs - сигнал пропорциональный состоянию ОУ;

Xi - сигнал оценки состояния ОУ;

Xg - сигнал желаемого состояния ОУ;

dX = Xg - Xi - разность сигналов пропорциональных желаемому и

действительному состояниям ОУ (рассогласование);

Uz - сигнал пропорциональный закону управления;

N - усиленный сигнал закона управления;

U - управляемый поток информации, энергии или вещества к ОУ.

 
 

Рис. 1.2. Пример реальной САУ температуры

 

Р - реостат; Ус - усилитель; РЭ - релейный элемент; КР - контакты релейного элемента; нагр. - нагреватель; ТР - терморезистор; (Х) - мостовая схема сравнения сопротивлений задающего реостата и терморезистора - датчика температуры; tg - сопротивление реостата; ts - сопротивление терморезистора; t - температура нагревателя; dt - разность сопротивлений Р и ТР; Uz - напряжение пропорциональное разности сопротивлений; N - усилие развиваемое катушкой релейного элемента; U - напряжение, подаваемое на нагреватель для увеличения его температуры.

 

Лекция № 2

Классификация САУ. Примеры реальных САУ

 

Все разнообразие систем автоматического управления можно отнести к нескольким группам в соответствии с их отличительными особенностями.

В каждом конкретном случае с учетом особенностей объекта управления подбирается система управления из множества разновидностей систем, показанных на рис. 2.1.

Системы стабилизации применяют для поддержания управляемые параметры технологического процесса постоянными во времени.

Системы программного управления используют для изменения управляемых параметров технологического процесса по заданному во времени или пространстве закону (программе).

Следящие системы служат для отображения отслеживаемых параметров технологического процесса, изменяющихся по неизвестному заранее закону.

Разомкнутые системы не имеют обратной связи и используются в тех случаях, когда помехи работе системы пренебрежимо малы.

Замкнутые системы имеют обратную связь и обеспечивают более точ­ное выполнение поставленных перед ними задач в условиях существенных возмущающих воздействий.

Комбинированные системы формируют свое управляющее воздействие с учетом сигналов обратной связи и информации о возмущающих воздействиях, что позволяет более эффективно решать поставленные перед ними за­дачи.

 

 
 

Рис. 2.1. Классификация систем автоматического Управления

Настраиваемые системы настраиваются перед их включением в нормальную работу и не изменяют алгоритма своего функционирования и характеристик до возникновения неисправности или осуществления настройки.

Адаптивные (самонастраивающиеся) системы обладают способностью изменять свои характеристики или алгоритм функционирования в зависимости от условий функционирования с целью улучшения качества управления.

Игровые системы сами строят свою стратегию поведения в зависимости от собственной цели и поведения противодействующей системы (стороны).

Стационарные системы не изменяют своих характеристик в процессе нормального функционирования.

Нестационарные системы включают в свой состав хотя бы один элемент, характеристики которого изменяются во времени.

Системы с распределенными параметрами включают в свой состав хотя бы один элемент, характеристики которого зависят от пространственных координат.

Системы непрерывного действия характеризуются тем, что информация в контуре управления циркулирует непрерывно во времени.

В системах с гармоническим модулированным сигналом передача информации осуществляется путем модуляции переменного гармонического сигнала относительно высокой частоты, называемой несущей, сигналом бо­лее низкой частоты, несущем информацию.

Дискретные системы включают в свой состав хотя бы один элемент, который передает информацию с перерывами во времени.

Одномерные системы служат для управления лишь одним параметром технологического процесса и имеют в своем составе элементы только с одним входом и одним выходом.

Многомерные системы предназначены для управления несколькими параметрами технологического процесса и или включают в свой состав элементы с несколькими входами и или выходами.

Линейные системы состоят из элементов, которые могут быть описаны линейными математическими зависимостями.

Нелинейная система обладает хотя бы одним элементом, который может быть описан только нелинейной зависимостью.

В самом общем виде любая СИСТЕМА схематично может быть представлена следующим образом (рис. 2.2).

 

 
 

Рис. 2.2. Структура Системы Автоматического Управления

 

ПРЯМАЯ СВЯЗЬ - это информационный канал, по которому сигнал передается от входа к выходу СИСТЕМЫ;

ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ - это информационный канал, по которому выходной сигнал СИСТЕМЫ передается на вход.

Задачами ТАУ являются анализ, изучение и синтез СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ (САУ) с заданными свойствами.

С учетом требований технологии и эффективности производства выби­рается вариант реализации САУ.

 

 
 

Рис. 2.3. Разомкнутая система управления

 

В состав разомкнутой системы входят только элементы, находящиеся в прямой связи: задатчик (кнопка), управляющее устройство (программно-временное устройство), исполнительный механизм (двигатели), регулирующий орган (движители) и объект управления (транспортное средство). Датчик, измеритель и элемент сравнения в разомкнутых системах отсутствуют. Такие системы целесообразно применять лишь в тех случаях, когда команды программно-временного устройства выполняются с достаточ­ной точностью и отсутствуют чувствительные помехи выполнению этих команд.

 
 

Рис. 2.4. Замкнутая система управления

РП1, РП2 - датчики поло­жения транспортного средства; ОС1, ОС2 - каналы обратной связи, по ко­торым информация о выполнении команд управляющего устройства передает­ся на элементы сравнения ЭС1, ЭС2.

 

Если нет уверенности в том, что команды управляющего устройства будут выполнены точно, то разомкнутую систему дополняют обратной связью и образуется замкнутый контур (Рис. 2.4.).

Работу замкнутой системы можно представить следующим образом. После нажатия кнопки программное устройство выдает команды на

двигатели с таким расчетом, чтобы транспортное средство (например, те­лежка) переместилось из одного пункта в другой, положение которых определяется координатами на плоскости. Датчики положения регуляторов РП1 и РП2 передают сигналы, характеризующие положение транспортного средства в пространстве в свое управляющее устройство.

Если положение транспортного средства не соответствует заданному, то управляющее устройство подает дополнительные сигналы до того момен­та, когда заданные координаты положения будут достигнуты.

При разомкнутой системе управления транспортное средство остановится в том месте, где закончится время действия команды программного устройства.

 

Лекция № 3

Математические модели и характеристики САУ и ее элементов

В практике проектирования САУ пользуются их физическими, аналоговыми или математическими моделями. Всякая модель реального объекта управления должна отображать часть его… В тех случаях, когда свойства объекта не удается описать математически или найти его аналог, прибегают к физическому…

Лекция № 4

Аналитическое описание реальных элементов САУ

 

Для того чтобы создать систему управления с заданными свойствами необходимо точно знать свойства элементов, из которых она будет построена. С этой целью следует найти или построить математические модели всех элементов, входящих в состав создаваемой САУ.

Рис. 4.1. Гидравлический объект

 

 

Построение моделей САУ базируется на законе сохранения энергии или вещества путем составления материальных или энергетических балан­сов рассматриваемых элементов.

В качестве примера рассмотрим гидравлический объект управления.

На рис. 4.1: Q1 - приток жидкости в емкость; Q2 - сток жидкости из емкости; М - запас жидкости в емкости; h - уровень жидкости в емкости; S - площадь сечения емкости. Материальный баланс можно отобразить следующим уравнением

 

dM(t) = Q1(t)×dt - Q2×dt, (4.1)

 

где Q2(t) = k×h(t); M(t) = S×h(t); k - коэффициент пропорциональности, определяющий зависимость стока жид­кости от ее уровня в емкости.

После алгебраических преобразований из уравнения (4.1) можно получить математическую модель гидравлического объекта в виде дифференциального уравнения первого порядка

 

(4.2)

 

После преобразования уравнения (4.2) по Лапласу получается математическая модель гидравлического объекта в виде алгебраического уравнения в операторной форме

 

(4.3)

 

Решение уравнения (4.3) относительно выходной переменной h(p) позволяет определить передаточную функцию

 

 

- называют передаточной функцией;

- канонический вид передаточной функции, (4.4)

где K = 1/k - коэффициент передачи;

T = S/k - постоянная времени;

p = jw - оператор Лапласа;

- комплексная частотная передаточная функция

 

Аналогично можно описать тепловой объект(нагреватель).

 

Рис. 4.2. Тепловой объект

 

Тепловой баланс для нагревателя в данном случае имеет вид

dM = (Q1 - Q2)dt; dM/dt = Q1 - Q2;

c×m×dq/dt = N - FAq + F×A×qo,

где Q1 - приток электрической энергии к нагревателю; Q2 - сток тепловой энергии в окружающую среду; М - запас тепловой энергии в нагревателе;

N - подводимая электрическая мощность; F - площадь теплообмена; А - коэффициент теплоотдачи; q - температура нагревателя; qo- температура окружающей среды; с - удельная теплоемкость; m - масса нагревателя; t - текущее время.

Приняв qo = 0, можно получить модель в виде дифференциального уравнения в форме Коши:

dq/dt = - [FA/cm]×q + [1/cm]×N.

После преобразования по Лапласу получим модель в виде алгебраического уравнения в операторной форме:

pq(p) = - [FA/cm]×q(p) + [1/cm]×N(p).

Решение этого уравнения имеет вид:

q(p) = [1/cm]×N(p)/{p + [FA/cm]} .

Здесь передаточная функция имеет вид W(p)=1/cm/ p + [FA/cm] или

 

W(p)=[1/FA]/{[cm/FA]p + 1} = K/(Tp + 1), (4.5)

где К = 1/FA; T = cm/FA.

 

Таким же образом можно описать механический объект

 

Рис. 4.3. Механический объект

 

m d2x/dt2 + f dx/dt + c x = F,

где m - масса движимого тела; f - коэффициент трения движения; c - жесткость пружины; x - перемещение движимого тела; F - движущая сила (сила, действующая на тело).

 

Если считать, что в исходном положении тело находилось в покое [(dx/dt)o = 0] в начале координат (x0 = 0), то в операторной форме уравнение движения тела принимает вид:

m p2X(p) + f pX(p) + c X(p) = F(p).

Решение этого уравнения можно представить следующим образом

X(p) = F(p)/[m p2 + f p + c],

а передаточную функцию так:

W(p) = [X(p)/F(p)] = [1/c]/[(m/c) p2 + (f/c) p + 1]. (4.6)

 

Постановка задач анализа и синтеза САУ

При настройке действующих и проектирования новых САУ приходится решать задачи анализа и синтеза. Понятия анализа и синтеза трактуют следующим… АНАЛИЗ - процедура мысленного или реального разделения предмета, явления или… СИНТЕЗ - (процедура обратная анализу), соединение отдельных элементов в целое (систему) с целью получения новых…

Лекция № 5

Комплексные числа и функции в исследовании частотных свойств САУ

 

При исследовании систем управления по их математическим моделям встречаются решения, которые невозможно отобразить вещественными чис­лами (например, уравнение Х2 = - 9 не имеет решения отображаемого вещест­венным числом). Здесь пользуются понятием мнимого числа (jb, где j - квадратный корень из -1, а b - вещественное число).

Комплексным называют число, представляет собой алгебраическую сумму вещественного и мнимого чисел вида

A = (a + jb), где a - действительное число; jb - мнимое число.

 

Рис. 5.1. Отображение комплексного числа на комплексной плоскости

 

Действительные числа - это рациональные (записываемые с абсолютной точностью) и иррациональные (записываемые только с погрешностью округления) величины, отображаемые на действительной числовой оси - Re.

Мнимые числа - это величины пропорциональные мнимой единице

j = (-1)1/2, где b - действительное число. Мнимые числа отображают на мнимой числовой оси - Im.

Комплексное число A = (a + jb) может быть отображено только на плоскости, где координатами являются взаимно перпендикулярные действительная и мнимая числовые оси. Эту плоскость называют комплексной.

В полярных координатах комплексное число может быть представлено на плоскости с помощью полярного радиуса R и полярного угла f

A(R,f) = R×[cos(f) + j×sin(f)].

В показательной форме А(R,f) = R×е(j×f) или с учетом формулы Эйлера

е(j×f) = cos(f) + j×sin(f)).

 

 

Рис. 5.2. Отображение комплексного числа в полярных координатах

 

Соотношения между координатами имеют вид:

R = (a2 + b2)1/2 - модуль комплексного числа; f = arctg(b/a) - аргумент комплексного числа. С учетом сказанного можно записать следующие равенства.

A = a + j×b = R[cos(f) + j×sin(f)] = R×е(jf).

Числа симметрично расположенные относительно оси абсцисс называют комплексно сопряженными:

A1 = a + jb и A2 = a - jb - сопряженные числа.

Арифметические действия над комплексными числами осуществляются следующим образом:

A1 + A2 = (a1 + jb1) + (a2 + jb2) = (a1 + a2) + j(b1 + b2);

A1 × A2 = R1e(jf1) ×R2e(jf2) = R1R2e j(f1+f2);

An = Rne(jnf) = Rn[cos(f) + jsin(f)]n.

Если a и b - переменные величины, то A = a + jb - комплексная переменная, а F(A) - называют функцией комплексного переменного.

Функция F(A) - является непрерывной, если в любой точке Ао имеют место равенства:

;

 

Если последний предел существует, то F(A) - аналитическая функция. Пусть F(A) = P(a,b) + jQ(a,b), тогда аналитичность функции F(A)

определяется по условиям Коши-Римана

 

 

Примером аналитической функции комплексного переменного может служить частотная передаточная функция (амплитудно-фазо-частотная ха­рактеристика).

 

Пример 1

 

, где

 

;

 

A(w) = [U2(w) + V2(w)]1/2;

f(w) = arctg[V(w)/U(w)].

 

Пример 2

 

Рис. 5.3. Последовательное соединений динамических звеньев

 

W1(p) = 1/p; W2 = 1/(p+1).

 

W1(jw) = 1/(jw) = -j/w; U1(w) = 0; V1(w) = -1/w; A1(w) = 1/w; f1(w) = -p/2;

 

W2(jw) = 1/(jw+1) = (1-jw)/(1+w2) = [1/(1+w2)] - j[w/(1+w2)];

 

U2(w) = [1/(1+w2)]; V2(w) = [-w/(1+w2)]; A2(w) = 1/[(1+w2)1/2]; f2(w) = arctg(-w).

,

где

R(w) = 1/{w[(1+w2)1/2]; f(w) = arctg(-w) - p/2;

 

U(w)=R(w)cos[f(w)]=1/(1+w2); V(w)=R(w)sin[f(w)]=-1/[w (1+w2)].

 

Пример 3

 

Критерий устойчивости Михайлова

 

 

Характеристическое уравнение

 

D(p) = p3 + p2 + p + 1;

 

D(jw) = (jw)3 + (jw)2 + jw + 1 = (1 - w2) + j(w - w3);

 

U(w) = 1 - w2; V(w) = w(1 - w2).

 

w 0.5 1.0 2.0 ¥
U(w) 0.75 -3
V(w) 0.375 -6

 

Рис. 5.4. Годограф характеристического уравнения

 

Лекция № 6

Ряд и интеграл Фурье в анализе нелинейных САУ

 

Функции вида

 

Рис. 6.1. Нелинейная функция

 

-1 при - ¥ < t < 0

F(t) =

1 при 0 < t < ¥

 

неудобны при аналитических исследованиях нелинейных систем управ­ления.

 

Для облегчения исследовательских задач Фурье предложил такие функции раскладывать в ряд

 

n

Fn(t) = a0 + S [akcos(kwt) + bksin(kwt)], где

k=1

n = 1,2,3,... выбирается в зависимости от желаемой точности апп­роксимации исходной функции F(t);

;

;

;

здесь - частота имеющая размерность - [рад/сек].

 

Следует заметить, что при n ® ¥ Fn(t) ® F(t), то есть

 

¥

Fn(t) = a0 + S [akwcos(kwt) + bkwsin(kwt)]

k = 1

или в комплексной форме

¥

Fn(t) = S cke (jkwt),

k = -¥

T

где ck = [ò F(t)e(jkwt)dt]/T.

0

Пример 1

 

-1 при - p < wt < 0

F(t) ={

1 при 0 < wt < p

Рис. 6.2. Нелинейная функция с ограничением по времени

 

Здесь T = 2p, a w = 2p/T = 1 и

0 p

a0 = [ò (-1)dt + ò (1)dt]/T = 0;

-p 0

0 p

ak = [ò (-1)×cos(kt)dt + ò (1)×cos(kt)dt]/p =

-p 0

ê0 êp

= {-[sin(kt)/k] + [sin(kt)/k]}/p = 0;

ê-p ê0

 

0 p

bk = [ò (-1)sin(kt)dt + ò (1)sin(kt)dt]/p =

-p 0

 

ê0 êp

= {-[-cos(kt)/k] + [-cos(kt)/k]}/p =

ê-p ê0

 

= -[-cos(k×0)/k + cos(-k×p)/k] + [-cos(k×p)/k + cos(k×0)/k]/p =

 

= 1/k - cos(k×p)/k - cos(k×p)/k + 1/k =

 

= 2[1 - cos(k×p)]/[k×p]. При k=1 b1=4/p.

 

Из последнего выражения следует, что все коэффициенты bk с четными индексами равны нулю, а с нечетными - 4/[k×p]. Тогда для k = 1, 2, 3, ...

 

Fn(t) = 4{sin(1×t)/1 + sin(3×t)/3 + ... + sin[(2×n + 1) ×t]/[2×n + 1],

где n = 0,1,2,3,...,k.

 

Функцию Fn(t) можно считать аналитической приближенно отражающей функцию F(t).

Более точное приближение получается, если дискретность частот гармонических составляющих стремится к нулю, а число гармоник к бесконеч­ности.

 

¥

Fn(t) = F(t) = ò [a(w)cos(wt) + b(w)sin(wt)]dw, (6.1)

0

¥

где a(w) = [ò F(t)cos(wt)dt]/p;

-¥

¥

b(w) = [ò F(t)sin(wt)dt]/p.

-¥

Поскольку, F(t), как следует из выражения (6.1), представляет со­бой сумму бесконечного числа колебаний с амплитудами, зависящими от частоты

 

A(w) = [a2(w) + b2(w)]1/2

 

и фазами

 

f(w) = arctg[b(w)/a(w)].

 

Выражение (6.1) можно представить следующим образом

¥

F(t) = ò A(w)cos[wt - f(w)]dw/p.

0

При рассмотрении функции F(t) в пределах от - ¥ до ¥ в силу сим­метрии косинуса выражение (6.1) принимает вид

 

¥ ¥

F(t) = [ò { ò F(q)cos[w (t - q)]dq}dw]/[2p]

-¥ -¥

или в комплексной форме

¥

F(t) = ò A(w)e j[wt-Q(w)]dw/2p;

-¥

¥ ¥

F(t) = [ò { ò F(q)e w (t - q) dq}dw]/[2p]

-¥ -¥

Интеграл Фурье дает разложение временной функции F(t) в непрерыв­ный спектр, тогда как ряды Фурье - в дискретный с частотами w = 2p, 4p, 6p и т.д.

Плотность спектра (спектральная плотность) характеризуется зави­симостью

¥

S(w) = [ò F(t)e -jwt dt]/[2p].

-¥

Тогда с учетом этого интеграл фурье можно записать в виде

¥

F(t) = ò S(w)e jwt dw.

-¥

Пример 2

 

0 при t < 0

F(t) =

e-bt при t > 0

 

¥ ¥

S(w) = [ò e-bt e-jwt dt ]/[2p] = [ ò e-(b+jw)t dt ]/[ 2p] =

-¥ -¥

 

ç ¥

= -e-t/[2p (b+jw)] = -[0 - 1]/[2p(b+jw)] =

ç-¥

 

= 1/[2p(b + jw)] = [b - jw]/[2p(b2 + w2)].

¥

F(t) = ò [b - jw]e-jwt/[2p(b2 + w2)]dw =

-¥

¥ ¥

= [ò [bcos(wt)]/[b2 + w2]dw - j ò [wsin(wt)]/[b2 + w2]dw]/[2p]. (6.2)

-¥ -¥

 

Пример 3

 

0 при t £ 0

F(t) = {

1 при t > 0

 

При b ® 0 в примере 2 F(t) ® 1 при t > 0.

 

Тогда в соответствии с выражением (6.2) можно записать выражение

¥

1(t) = 1/2 + ò [sin(wt)/ w]dw/p.

0

Исходя их рассмотренных зависимостей Фурье предложено интеграль­ное преобразование

¥

F(jw) = ò F(t)e-jwt dt - прямое преобразование Фурье;

-¥

¥

F(t) = [ò F(jw)ejwt dw ] - обратное преобразование Фурье.

-¥

В соответствии с формулой Эйлера можно прямое преобразование Фурье представить в виде

¥

F(jw) = ò F(t)[cos(wt) - jsin(wt)] dt.

-¥

Лекция № 7

Свойства преобразования Фурье

Результат прямого преобразования Фурье можно представить в виде   F{f(t)} = F(jw) = F1(w) - jF2(w),

Рис. 7.1. Отображение переменной s на комплексной плоскости

 

С учетом введенного обозначения прямое и обратное преобразование Фурье принимает вид

¥

Fx(s) = ò e-st f(t) dt; (7.1)

0

x + jw

F(t) = [ò est Fx(s)ds]/[2pj] = F(t) при t > 0

x - jw 0 при t < 0 ,

где Im (s) = w - частота гармоники разложения f(t) в спектр;

Re (s) = x - декремент затухания гармоники разложения f(t) в спектр;

выражение (7.1) - интеграл Лапласа.

 

Пример 2

 

Преобразование функции F(t) принимает вид

 

0 при t < 0

F(t) =

e-bt при t > 0

¥ ¥

F(s) = ò e-st e-bt dt = ò e-(s+b)t dt =

0 0

¥

= - [ò e-(s+b) t dt ]/[s+b] = - [0-1]/[s+b] = 1/[s+b].

0

Приведенное в примере 1 преобразование называют интегральным преобразованием Лапласа, названное по интегралу

¥

Fx(s) = ò e-st f(t) dt.

0

Лекция № 8

Свойства непрерывного преобразования Лапласа

В основе операционного исчисления лежит интегральное преобразование Лапласа, которое является развитием преобразования Фурье. В общем виде оно может быть представлено в виде выражения ¥

Лекция № 9

Операционное исчисление в исследовании переходных процессов

 

Исследование переходных процессов в САУ обычно связано с решением дифференциальных уравнений, что значительно упрощается при использова­нии операционного исчисления.

Схема решения дифференциальных уравнений

С помощью преобразования Лапласа

Диф. уравнение ® Диф. исчисление ® Оригинал решения ¯ (Мат. аппарат) ­ Преобр. Лапласа Обратное преобр. Лапласа

Лекция № 10

Дискретные функции в исследовании микропроцессорных САУ

 

При исследовании цифровых и других "прерывистых" систем автоматического управления пользуются математическим аппаратом дискретных функций. Дискретные функции применяются для описания импульсных сигналов различной амплитуды и длительности.

 

Рис. 9.1. Выходные импульсные сигналы широтно-импульсного модулятора

A - амплитуда импульса; TП - период повторения импульсов;

ТИ - длительность импульса; w = 1/TП - частота повторения импульсов;

S = TПИ - скважность импульсов.

 

Прерывистые сигналы действуют в САУ, в состав которой входит импульсный элемент. В качестве импульсного элемента могут быть прерыватели или переключатели. Эти элементы преобразуют непрерывный сигнал в последовательность импульсов. Поскольку последовательность импульсов невозможно описать непрерывными функциями, было введено понятие решетчатой (дискретной) функции.

Решетчатой называют такую функцию, значения которой определены только лишь в дискретные (отдельные) равноотстоящие моменты времени. В отличие от непрерывной функции X(t) решетчатая функция в качестве аргумента имеет набор чисел (nTП) и набор своих значений

 

X(nTП) = X(t) при t = nTП,

где ТП - период повторения импульсов бесконечно малой длительнос­ти, амплитуда которых равна X(nTП); n - любое целое число. Обычно пери­од повторения (TП) импульсов принимается равным 1 и тогда решетчатая функция записывается в виде X(n).

С решетчатыми функциями можно производить все известные математические операции:

 

1. Сложение - вычитание

 

X(n) = x(n) + y(n),

X(n) = x(n) – y(n);

 

2. Умножение - деление

 

X(n) = x(n)×y(n),

X(n) = x(n)/y(n);

Рис. 10.1. Амплитудно-импульсная модуляция непрерывного сигнала

3. Дифференцирование равносильно разности соседних дискрет

(различают прямую и обратную разности)

 

DP X(i) = x(i + 1) – x(i) - прямая разность,

DO X(i) = x(i) – x(i – 1) - обратная разность;

 

4. Интегрирование равносильно сложению дискрет

(различают полную и неполную сумму)

N

s0[X(n)] = S x(i) - полная сумма,

i = 0

N-1

s[X(n)] = S x(i) - неполная сумма.

i = 0

При решении разностных уравнений могут встретиться разности более высокого порядка, чем первый. Многократные разности вычисляются следующим образом

 

DP2[X(i)] = DP[X(i + 1)] – DP[X(i)] =

 

= X(i + 2) – X(i + 1) – X(i + 1) + X(i) = X(i + 2) – 2X(i + 1) + X(i);

k

DPk[X(i)] = S (-1)k×X(i + k – v)×k!/[v!(k – v)!].

v=0

Пример

 

Непрерывное дифференциальное уравнение:

 

dX(t)/dt + X(t) = 1 (t); X(0) = 0.

 

Решение: X(t) = 1 – e-t.

 

Дискретный аналог непрерывного дифференциального уравнения можно получить следующим образом:

 

DX(t)/ Dt + X(t) = 1(t) ® DX(t) + Dt×X(t) = Dt×1(t)

 

После принятия Dt = 0.068 дифференциальное уравнение записать так:

 

DX(i) + 0.068X(i) = 0.068;

 

X(i+1) – X(i) + 0.068X(i) = 0.068;

 

Решение (выражение позволяющее вычислить все значения X(i) при i от 0 до N)

 

X(i + 1) = 0.932X(i) + 0.068.

 

Лекция № 11

Z-преобразование и его применение при анализе дискретных САУ

Преобразование Лапласа, применяемое для отображения непрерывных функций в частотном пространстве, позволяет преобразовать дифференци­альные… Дискретное преобразование Лапласа и Z-преобразование позволяют представить… ¥

Лекция № 12

Связь методов исследования непрерывных и дискретных САУ

(w- преобразование)

 

Устойчивость дискретных САУ, как и непрерывных, можно оценить по ее передаточной функции. По виду корней характеристического уравнения можно определить устойчивость системы, а также колебательность переходной функции. Устойчивость непрерывной САУ определяется по расположению корней характеристического уравнения на комплексной плоскости. Корни характеристического уравнения устойчивой непрерывной системы расположены в левой части комплексной плоскости (рис. 12.1).

 

 

Рис. 12.1. Область устойчивости непрерывной САУ

 

Поскольку аргументом дискретной передаточной функции является оператор z = e pTп , где «p = jw», левая полуплоскость комплексной плоскости «сворачивается» в круг единичного радиуса (рис. 12.2), поскольку оператор «z» можно записать в следующем виде.

 

z = e jwTп = cos(wTП) + j×sin(wTП) = cos(v) + j×sin(v), (12.1)

где w – физическая частота; v = wTП – безразмерная частота.

 

Условием устойчивости дискретной САУ является тот факт, что все корни ее характеристического уравнения должны лежать внутри единичного круга, т.е. |zi| < 1. Если хотя бы один корень расположен за пределами единичного круга, то система неустойчива. Если же хотя бы один корень равен нулю, то система находится на границе устойчивости.

 

Рис. 12.2. Область устойчивости дискретной САУ

 

Пример

 

Пусть дискретная САУ характеризуется передаточной функцией вида:

W(z) = 0,09/(z2 – z + 0,09).

 

Тогда характеристическое уравнение можно записать следующим образом:

 

D(z) = z2 – z + 0,09 = 0.

 

Корни характеристического уравнения можно найти по теореме Виетта

 

z = 0,5 ± [(1/2)2 – 0,09]1/2 = 0,5 ± [0,16]1/2 = 0,5 ± 0,4 < 1. (12.2)

На основании выражения (12.2) можно утверждать, что исследуемая система устойчива |z| < 1.

К сожалению, использование других известных критериев (алгебраический, Михайлова, Найквиста и т.д.) для оценки устойчивости дискретной САУ невозможно из-за искажения комплексной плоскости.

Однако преобразование комплексной переменной «z» к другой комплексной переменной «w» позволяет вновь «развернуть» внутреннюю область круга (рис. 4.5.2) в левую полуплоскость (аналогичную показанной на рис. 4.5.1), что дает возможность применять критерии устойчивости непрерывных САУ для оценки устойчивости дискретных САУ.

Прямое и обратное преобразование комплексных переменных производится по формулам:

 

z = (1 + w)/(1 – w); (12.3)

 

w = (z – 1)/(z + 1). (12.4)

 

Пример

Пусть дискретная САУ характеризуется передаточной функцией вида:

W(z) = 0,09/(z2 – z + 0,09).

 

Тогда характеристическое уравнение можно записать следующим образом:

D(z) = z2 – z + 0,09 = 0.

 

После преобразования характеристического уравнения по формуле (12.3) оно принимает вид:

 

D(w) = [(1 + w)/(1 – w)]2 – (1 + w)/(1 – w) + 0,09 = 0. (12.5)

 

Уравнение (12.5) можно преобразовать к квадратному уравнению, умножив левую и правую части этого уравнения на (1 – w)2.

 

D(w) = (1 + w)2 – (1 + w)(1 – w) + 0,09(1 – w)2 =

= w2 + 2w + 1 – 1 + w2 + 0,09 – 0,18w + 0,09w2 =

= 2,09 w2 + 1,82w + 0,09 = 0. (12.6)

 

Преобразованное характеристическое уравнение (12.6) позволяет оценивать устойчивость дискретной САУ с помощью критериев применяемых к линейным САУ.

 

1. Корневой критерий устойчивости требует, чтобы все корни характеристического уравнения были отрицательны.

 

D(w) = 2,09 w2 + 1,82w + 0,09 = 0. (12.7)

 

w1 = - 0,053; w2 = - 0,818, т.е. w1,2 < 0. Следовательно, система устойчива.

2. Алгебраический критерий устойчивости требует, чтобы: а) выполнялось необходимое условие (все коэффициенты характеристического уравнения были бы положительны); б) выполнялось достаточное условие (все диагональные миноры определителя Рауса – Гурвица также были бы положительны).

a) 2,09 > 0; 1,82 > 0; 0,09 > 0;

|1,82 0,00|

б) M = | |; D1 = 1,82 > 0; D2 = 1,82×0,09 – 0,00×2,09 = 0,1638 > 0.

|2,09 0,09|

 

3. Критерий А.В. Михайлова формулируется так: если годограф характеристического многочлена (12.7) начинаясь на положительной части вещественной оси проходит последовательно против часовой стрелки число квадрантов равное порядку передаточной функции системы, то она устойчива. При нарушении хотя бы одного из перечисленных условий система неустойчива. При прохождении годографа через начало координат система находится на границе устойчивости.

В приведенном примере характеристический многочлен представлен в следующем виде:

 

D(w) = 2,09 w2 + 1,82w + 0,09.

 

Поскольку в соответствии с формулой (12.4) оператор «w» является мнимой частотой характеристический много записать в виде

 

D(jl) = 2,09 (jl)2 + 1,82(jl) + 0,09.

или

D(jl) = (0.09 – 2,09)l2 + 1,82jl = U(l) + jV(l). (12.8)

 

Изменяя l от нуля до ¥, можно построить годограф характеристического многочлена (12.8).

 

l ¥
U(l) 0,09 -2,00
V(l) 1,82 ¥

Из таблицы видно, что годограф, начинаясь на положительной ветви действительной оси, проходит последовательно против часовой стрелки два квадранта, следовательно, система устойчива.

 

Критерий Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по ее передаточной функции в разомкнутом состоянии.

 

Wp(z) = W3(z)/[1 – W3(z)] = 0,09/(z2 - z).

 

Wp(w) = [0,09(1 – w)2]/[(1 + w)2 – (1 – w2)] =

= (0,09 – 0,18w + 0,09w2)/(2w + 2w2).

 

Wp(jl) = (0,09 – 0,18jl – 0,09l2)/(2jl – 2l2) =

= (0,09l2 + 0,18jl – 0,09)/[2(l2 – jl)] =

= [(0,09l2 + 0,18jl – 0,09)(l2 + jl)]/[2l2(l2 + 1)] =

= [0,045(l2 – 3)]/[l2 + 1] + j[0,045(3l2 – 1)]/[l(l2 + 1)] = U(l) + jV(l).

 

l 1/Ö3 ¥
U(l) -0,135 -0,09 -0,9975 0,045
V(l) ¥ 0,045

 

Как видно из таблицы при пересечении вещественной оси А(l) = U(l) < -1, т.е. годограф не охватывает точку с координатами (-1, j0), следовательно система устойчива.

 

Лекция № 13

Векторы и операции над векторами

 

В теории автоматического управления и инженерной практике приходится иметь дело с величинами, которые характеризуются не только числом, но и направлением. К таким величинам относятся сила, скорость, ускорение и т.п.

Для характеристики этих величин пользуются понятием - ВЕКТОР.

Вектор - это величина, которая характеризуется числом и направлением. Для сравнения здесь следует отметить, что для описания физических величин, не имеющих направления в выбранной системе координат, пользуются понятием - СКАЛЯР. Скаляр - это величина, которая пос­ле выбора соответствующей единицы измерения полностью характеризуется только числом (например, длина, масса и т.п.). Следует различать чистые скаляры и псевдоскаляры. Псевдоскаляры также определяются числом, абсолютное значение которого не зависит от выбора осей координат, однако знак этого числа зависит от выбора направлений осей координат. Примерами псевдоскаляров могут служить угол, статический момент, напряжение и т.п.

В евклидовом пространстве рассматривают также скалярные функции векторного аргумента, векторные функции векторного аргумента и векторные функции скалярного аргумента.

Примером векторной функции скалярного аргумента может служить ГРАДИЕНТ скалярного поля ( например, температурного ).

 

grad t(r) = iDx[t(r)] + jDy[t(r)] + kDz[t(r)],

где t(r) = t(x,y,z) - скалярная функция характеризующая (например, температурное) поле; r - радиус-вектор; Dx - частная производная по координате х; Dy - частная производная по координате y; Dz - частная производная по координате z,

или

 

G[t(r)] = iDx[t(r)] + jDy[t(r)] + kDz[t(r)],

где G = iDx + jDy + kDz - оператор Гамильтона.

 

Поток энергии или вещества, кроме ГРАДИЕНТА может характеризоваться ДИВЕРГЕНЦИЕЙ, которая является скалярной функцией векторного аргумента, и РОТОРОМ, который представляет собой векторную функцию векторного аргумента.

ДИВЕРГЕНЦИЯ характеризует работу по перемещению объекта в потоке энергии или вещества под действием определенной силы

DF(r) = div F(r) = i×DxF(r) + j×DyF(r) + k×DzF(r),

где i×DxF(r), j×DyF(r), k×DzF(r) - скалярные произведения соответствующих векторов, которые характеризуют выполняемую работу перемещения объекта по соответствующим координатам.

РОТОР характеризует момент силы, действующей на объект, помещенный в силовое поле (например, поток жидкости)

RF(r) = rot F(r) = i ´ DxF(r) + j ´ DyF(r) + k ´ DzF(r),

где i ´ DxF(r), j ´ DyF(r), k ´ DzF(r) - векторные произведения соответствующих векторов, которые характеризуют моменты силы по соответствующим координатам.

Операции над векторами и векторными функциями

1.Сложение

 

А + В = С.

 

2.Вычитание

 

А – В = А + (-В) = D.

 

3.Произведение:

 

а) скалярное

 

А×В = A'×B = [ax ay az]×[bx by bz]' = ax×bx + ay×by + az×bz

 

свойства:

 

A×B = ABcos(A,B); A(B+C) = AB + AC; AB = BA; (kA)B = k(AB); AA = A2 = A2>=0;

 

б) векторное

A ´ B = A × B × sin(A,B) =

= (ax×bz - az×by)×i+(az×bx - ax×bz)×j+(ax×by - ay×bx)×k

 

свойства:

 

A ´ B = -B ´ A; A ´ (B+C) = A ´ B+A ´ C; (kA) ´ B = k(A ´ B); A ´ A = 0;

 

A(A ´ B) = B(A ´ A) = 0;

 

| i j k |

A ´ B =| ax ay az | - определитель;

| bx by bz |

 

в) смешанное произведение (скалярно-векторное)

 

| ax ay az |

A(B ´ C) = | bx by bz |.

| cx cy cz |

 

Векторный анализ

 

Пусть имеется вектор, который является функцией скалярной величины

A(w) = iax(w) + jay(w) + kaz(w).

Если при различных значениях w откладывать вектор A(w) от общего начала, то конец вектора опишет некоторую кривую, которая называется ГОДОГРАФОМ вектора A(w).

Производная вектор-функции определяется выражением

 

dA(w)/dw = lim [A(w + Dw) – A(w)]/Dw

Dw ® 0

и представляет собой новую векторную функцию от w, направление которой совпадает с направлением касательной к годографу вектора A(w) в соответствующей точке.

 

Правила дифференцирования:

 

1. Суммы

 

d[A(w) + B(w) + C(w) + ...]/dw = dA(w)/dw + dB(w)/dw + dC(w)/dw + ... ;

 

2. Произведения

 

d[f(w)A(w)]/dw = [df(w)/dw]A(w) + f(w)[dA(w)/dw],

где f(w) - скалярная функция от w;

 

d[cA(w)]/dw = c[dA(w)/dw],

где с - постоянная величина;

 

d[A(w)×B(w)]/dw = [dA(w)/dw]×B(w) + [dB(w)/dw]×A(w);

 

d[A(w)´B(w)]/dw = [dA(w)/dw]´B(w) + A(w)´[dB(w)/dw].

 

Дифференцирование по времени:

 

а) скалярной функции векторного аргумента

 

df(X,U,t)/dt = [Dx'f(X,U,t)][dX/dt] + [Du'f(X,U,t)][dU/dt] + Dtf(X,U,t);

 

б)векторной функции векторного аргумента

 

dF(X,U,t) = [Dx'f(X,U,t)][dX/dt] + [Du'f(X,U,t)][dU/dt] + Dtf(X,U,t);

здесь

Dx' = [Dx1, Dx2, ... , Dxn] и Du' = [Du1, Du2, ... , Dun] - частные про­изводные по векторному аргументу.

 

Определенный интеграл вектор-функции может быть выражен через ко­ординаты

w2 w2 w2 w2

ò A(w)dw = i ò ax(w)dw + j ò ay(w)dw + k ò az(w)dw.

w1 w1 w1 w1

 

Лекция № 14

Матрицы и операции с матрицами

 

Исторически понятие матрицы и матричного исчисления возникло в связи с изучением систем линейных уравнений. Система уравнений

 

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1;

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2;

.................................……….;

an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn.

 

может быть представлена в компактной форме AX = B, где А - квадратная матрица

 

| a11 a12 ... a1n |

| a21 a22 ... a2n |

А = | .............…...|;

| an1 an2 ... ann |

B = | b1 b2 ... bn |’ – матрица столбец;

X = | x1 x2 ... xn |’ – n-мерный вектор (который имеет вид матри­цы столбца).

 

Вектор Х называют n-мерным по числу его координат х1, х2, ..., хn. Используя понятия вектора и матрицы, решение систем уравнений можно формально трактовать как преобразования векторов и матриц.

Пример решение системы уравнений

 

| a11x1 + a12x2 | | b1 |;

| | = | | или AX = B, (14.1)

| a21x1 + a22x2 | | b2 |,

 

здесь

 

| a11 a12 | | b1 | | x1 |

A = | |; B = | |; X = | |.

| a21 a22 | | b2 | | x2 |

 

Для решения системы (14.1) необходимо найти обратную матрицу А-1 и умножить слева на эту матрицу обе части уравнения (14.1)

| 1 0 |

А-1AX = А-1B; X = А-1B, так как А-1А = I = | | – единичная матрица.

| 0 1|

 

Таким образом, для решения систем линейных уравнений целесообраз­но воспользоваться математическим аппаратом алгебры матриц.

 

Алгебра матриц

 

Матрицей размером m ´ n называют таблицу вида

 

| a11 a12 ... a1n |

| a21 a22 ... a2n |

A = | a31 a32 ... a3n |,

|.........…….….|

| am1 am2 ... amn |

где m = 1, 2, 3, ..., i, ...,; – номер строки;

n = 1, 2 , 3, ..., j, ...,. – номер столбца;

aij – элемент матрицы, находящийся в i-той строке и j-том столбце.

 

При m = n матрицу А называют квадратной;

при m = 1 матрицу А называют матрицей строкой;

при n = 1 матрицу А называют матрицей столбцом;

при m = n = 1 матрицу А называют скалярной величиной;

в других случаях матрицу А называют прямоугольной.

 

Элементы a11, a22,..., amn – расположены на главной диагонали.

Транспонированной к матрице А называют матрицу A', столбцы которой совпадают со строками матрицы А (и наоборот)

 

| a11 a21 ... an1 |

| a12 a22 ... an2 |

A’ = | a13 a23 ... an3 |.

| ............……. |

| am1 am2 ... amn |

 

Если А' = A, то А – симметрическая матрица;

если А' = -А, то А – кососимметрическая матрица.

 

Применительно к системе линейных уравнений матрица представляет собой таблицу коэффициентов при переменных

 

а11x1+a12x2+...+a1nxn = b11u1+b12u2+...+b1kuk;

a21x1+a22x2+...+a2nxn = b21u1+b22u2+...+b2kuk;

...........................................…………………;

am1x1+am2x2+...+amnxn = bm1u1+bm2u2+...+bmkuk

 

или

 

| а11 а12 ... a1n | | x1 | | b11 b12 ... b1k | | u1 |;

| a21 a22 ... а2n | | x2 | | b21 b22 ... b2k | | u2 |;

| .............…….| × |… | = | .............……..| × | … |;

| am1 am2 ... аmn | | xn | | bm1 bm2 ... bmk | | uk |

 

или

 

AX = BU,

где

| а11 а12 ... a1n | | b11 b12 ... b1k |

| a21 a22 ... а2n | | b21 b22 ... b2k |;

A = | .............…….|; B = | .............……..|;

| am1 am2 ... аmn | | bm1 bm2 ... bmk |

 

| x1 | | u1 |;

| x2 | | u2 |;

X = |….|; = | x1 x2 … xn |’; U = | ... | = | u1 u2 … uk |.

| xn | | uk |

 

 

При решении систем линейных уравнений пользуются понятием обрат­ной матрицы, которая определяется из соотношения

 

AA-1 = I,

где

| 1 0 ... 0 |

| 0 1 ... 0 |

I = | .......…..| – единичная матрица (квадратная).

| 0 0 ... 1 |

 

A-1 = Adj A / | A |,

где

| A | – определитель матрицы А;

Adj A – присоединенная матрица получаемая транспонированием матрицы, составленной из миноров каждого элемента матрицы А, взятых со знаком (-1)(i+j) (минор элемента составляют из элементов матрицы А после вычеркивания i-той строки и j-того столбца).

Следует заметить, что обратная матрица существует, если A ¹ 0. Для прямоугольных матриц (m ¹ n) существуют псевдообратные матрицы

 

B = (A'A)-1A' – левосторонняя обратная матрица, т.е.

BA = I (здесь А – матрица столбец);

С = A'(AA')-1 – правосторонняя обратная матрица, т.е.

АС = I (здесь А – матрица строка).

 

Действия над матрицами

 

1.Сложение

 

| a11 a12 a13 | | b11 b12 b13 | | a11+b11 a12+b12 a13+b13 |

A + B = | a21 a22 a23 | + | b21 b22 b23 | = | a21+b21 a22+b22 a23+b23 |

| a31 a32 a33 | | b31 b32 b33 | | a31+b31 a32+b32 a33+b33 |

 

2. Умножение

 

| a11 a12 | | b11 b12 | | a11b11+a12b21 a11b12+a12b22 |

A × B = | | × | | = | |;

| a21 a22 | | b21 b22 | | a21b11+a22b21 a21b12+a22b22 |

 

3.Транспонирование

 

(AB)' = B'A';

 

4. Разложение

 

A = [ A + A' ]/2 + [ A - A' ]/2;

 

5.Умножение на скаляр

 

| a11 a12 a13 | | ka11 ka12 ka13 |

 

k×A = k×| a21 a22 a23 | = | ka21 ka22 ka23 |;

 

| a31 a32 a33 | | ka31 ka32 ka33 |

 

6.Обращение произведения

 

[AB]-1 = B-1A-1;

 

7.Вычисление определителя матрицы

 

| a11 a12 |

A = | | = a11a22 - a12a21.

| a21 a22 |

 

Решение систем линейных уравнений по правилу Крамера

 

Рассмотрим систему уравнений, у которой число неизвестных совпа­дает с числом уравнений

 

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1;

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2;

.................................……….;

an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn.

 

В матричной форме система имеет вид АХ = В, где

 

| a11 a12 ... a1n | | b1 | | x1 |

| a21 a22 ... a2n | | b2 | | x2 |

А = | ….................. |; В = | ... |; X = | ... |.

| an1 an2 ... ann | | bn | | xn |

 

Пусть определитель матрицы А представлен выражением

 

 

 

 

Для решения системы вводятся определители Dj(j = 1,2,...,n), полу­чаемые путем замены в определителе D столбца при неизвестных xj столб­цом матрицы В:

 

 

Теорема Крамера утверждает, что система n линейных уравнений с n неизвестными при D ¹ 0 всегда совместна и имеет единственное решение, вычисляемое по формуле

 

xj = Dj/D, j = 1,2,...,n.

 

Пример:

Система АX = B, где

| 1 2 | | 4 |

A = | 2 -3 |; B = | 1 |.

 

| 4 2 |

Тогда D = 1×(-3) – 2×2 = -7; D1 = det | 1 -3 | = 4×(-3) – 1×2=-14;

| 1 4 |

D2 = det | 2 1 | = 1×1 – 2×4 = -7; x1 = (-14)/(-7) = 2; x2 = (-7)/(-7) = 1.

 

Лекция № 15

Векторно-матричные математические модели САУ

 

Применительно к системам управления n-мерный вектор можно рассматривать как совокупность входных, выходных или промежуточных переменных, характеризующих конкретную систему. Размерность вектора в этом случае определяется числом переменных, характеризующих состояния, уп­равления или возмущения, действующих в системе.

 

Рис. 15.1. Многомерная САУ

 

Исследование системы, представленной на рис. 15.1. и характеризуемой дифференциальным векторно-матричным уравнением

 

dX/dt = AX + BU + CF, (15.1)

 

сводится к решению этого уравнения при различных управлениях U и воз­мущениях F.

Определение временных характеристик многомерной системы также сводится к решению системы нескольких (n) дифференциальных уравнений первого порядка или одного дифференциального уравнения n-го порядка. Решение дифференциальных уравнений, как указывалось выше, можно осуществлять аналитическими, графоаналитическими или вычислительными методами.

Широкое распространение получил метод, использующий преобразование Лапласа. В этом случае исходное векторно-матричное уравнение приводится к следующему виду.

 

pX(p) = AX(p) + BU(p) + CF(p) (15.2)

 

Поскольку уравнение (15.2) является алгебраическим, его решение осуществляется по законам алгебры, но при этом учитывается, что переменные X(p), U(p) и F(p) представляют собой матрицы-столбцы, а коэффициенты А, В, С – прямоугольные или квадратные матрицы.

 

[Ip - A]×X(p) = BU(p) + CF(p);

 

X(p) = [Ip - A]-1BU(p) + [Ip - A]-1CF(p);

 

X(t) = L-1{[Ip - A]-1BU(p) + [Ip - A]-1CF(p)}. (15.3)

 

В выражениях (15.3) I – представляет собой единичную матрицу (иногда единичная матрица обозначается буквой «Е»).

 

Матричная передаточная функция

При описании многомерных систем управления пользуются также понятием матричной передаточной функции. Матричная передаточная функция предс­тавляет… Например, уравнение системы управления имеет вид  

Лекция № 16

Математическое описание случайных процессов в САУ

Всякая реальная система управления подвержена воздействию внешних помех. Множество физических процессов, протекающих в окружающей среде,… Такого рода возмущениями могут быть, например, произвольное изменение нагрузки… В тех случаях, когда пренебрежение перечисленными воздействиями недопустимо, систему управления следует рассматривать…

Рис. 16.1. прохождение «белого шума» через динамическое звено

 

Решение

 

Sx(w) = A(w)2×Sf; A(w) = K/[1 + T2w2]1/2; A(w)2 = K2/[1 + T2w2];

¥ ¥

Dx = x2(t) = [ò Sx(w)dw]/p = [K2Sf /p]×ò{dw/[1 + T2w2]} = K2Sf /2T.

0 0

Библиографический список

1) Юревич Е.И. Теория автоматического управления. – Л.: Энергия, 1975. - 416 с. 2) Клюев А.С. наладка средств автоматизации и автоматических систем… 3) Сборник задач по теории автоматического регулирования и управ­ления. Под ред. В.А. Бесекерского. – М.: наука, 1969.…

– Конец работы –

Используемые теги: основы, Теории, управления0.062

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: ОСНОВЫ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Еще рефераты, курсовые, дипломные работы на эту тему:

Понятие управления. Виды управления. Управленческий труд и его особенности. МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ. ПОДХОДЫ К УПРАВЛЕНИЮ
Основатель Ф У Тейлор В г выпустил первую печатную работу которая... Основная идея используя замеры и наблюдения за работой исполнителей можно оптимизировать технологию выполнения работ...

Основы планирования. Теоретические основы управления проектами. Основы планирования. Планирование проекта в MS Project 7
Использованная литература В В Богданов Управление проектами в Microsoft Project Учебный курс Санкт Петербург Питер г...

Имеется 4 основные задачи управления: стабилизация; программное управление; слежение; оптимальное управление
Управление это такое входное воздействие или сигнал в результате которого система ведет себя заданным образом... Различают способа управления в зав сти от того на основе какой информации...

Организационно-методические указания: Основы управления организацией: СУЩНОСТЬ МЕНЕДЖМЕНТА И УПРАВЛЕНИЯ ОРГАНИЗАЦИЕЙ
РАЗДЕЛ I... Основы управления организацией... ТЕМА СУЩНОСТЬ МЕНЕДЖМЕНТА И УПРАВЛЕНИЯ ОРГАНИЗАЦИЕЙ...

Ведение в курс "Основы экономической теории" (Введення в курс "Основи економiчної теорiї)
В працях Ксенофонта 430 355 рр. до н. е Платона 427 347 рр. .о н. Аристотеля 384 322 рр. до н. е а також мислителв стародавнього Риму, нд, Китаю… Але не кожна економчна думка розвиваться у систему поглядв ста економчним… Н в рабовласницькому, н у феодальному суспльств ще не снувало струнко системи економчних поглядв на економчн процеси.…

Курсовая работа по дисциплине «Основы менеджмента» на тему: «Роль управления в системе управления предприятием на примере салона красоты «Бабочка»
Филиал ГОУ ВПО Костромской государственный университет им Н А Некрасова в г Кировске Мурманской области... Кафедра Менеджмента... Специальность Менеджмент организации...

Направления повышения эффективности коммерческой деятельности на основе теоретических основ управления целями и анализа управления целями
При этом неблагоприятные внешние факторы и сложное финансовое положение углубляется и тем, что отечественные товаропроизводители медленно переходят… В данном случае управление целями коммерческой деятельности осуществляется… Это комплекс предметов и методов, обеспечивающих максимальную выгодность любой торговой операции для каждого из…

РАЗДЕЛ I. ОБЩИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ И МЕТОДИКИ ФИЗИЧЕСКОЙ КУЛЬТУРЫ ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ И МЕТОДИКУ ФИЗИЧЕСКОЙ КУЛЬТУРЫ Основные понятия теории и методики физической культуры
РАЗДЕЛ I ОБЩИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ И МЕТОДИКИ... ФИЗИЧЕСКОЙ КУЛЬТУРЫ... ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ И МЕТОДИКУ ФИЗИЧЕСКОЙ КУЛЬТУРЫ...

Лекция 1. Предмет и методология теории государства и права. 1. Предмет и объект изучения теории государства и права. 2. Место теории государства и права в системе общественных и юридических наук
Лекция Предмет и методология теории государства и права... Предмет и объект изучения теории государства и права... Место теории государства и права в системе общественных и юридических наук...

К ОСНОВЫ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ: учебно-методическое пособие / О. В. Полянок. - Екате­ринбург: Изд-во УГГУ
Рецензент В П Беляев доцент канд филос наук начальник управления международной деятельности УГГУ... Учебно методическое пособие рассмотрены на заседании кафед ры Управления... Полянок О В...

0.04
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • По категориям
  • По работам