Реферат Курсовая Конспект
Свойства преобразования Фурье - Лекция, раздел Менеджмент, ОСНОВЫ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ Результат Прямого Преобразования Фурье Можно Представить В Ви...
|
Результат прямого преобразования Фурье можно представить в виде
F{f(t)} = F(jw) = F1(w) - jF2(w),
¥ ¥
где F1(w) = ò F(t)cos(wt)dt; F2(w) = ò F(t)sin(wt)dt.
-¥ -¥
Если функция f(t) определена только при t > 0, т.е. f(t) = 0 при t < 0, рассмотренные функции F1(w) и F2(w) имеют самостоятельное название и значение:
¥
F1(w) = ò f(t)cos(wt)dt > 0 - косинус преобразование Фурье;
0
¥
F2(w) = ò f(t)sin(wt)dt > 0 - синус преобразование Фурье.
0
Пример 1
Преобразование Фурье применяется при исследовании частотных характеристик САУ и ее элементов. Для САУ с весовой функцией
0 при t < 0
F(t) = {
e-bt при t > 0
преобразование Фурье имеет вид
¥
F(jw) = ò e-bt e-jwt dt = 1/(b + jw) = (b - jw)/(b2 + w2) = b/( b2 + w2) - jw/( b2 + w2).
0
Здесь функция F(jw) является амплитудно-фазо-частотной характеристикой (АФЧХ) системы автоматического управления (САУ).
Такой же результат может быть достигнут, если воспользоваться синус и косинус преобразование Фурье
¥
F(jw) = ò e-bt[cos(wt) - jsin(wt)] dt = F1(w) - jF2(w), где
0
¥
F1(w) = ò e-bt cos(wt)dt = b/( b2+w2) - вещественная часть АФЧХ;
0
¥
F2(w) = ò e-bt sin(wt)dt = jw/( b2+w2) - мнимая часть АФЧХ.
0
Рассмотренные зависимости справедливы в тех случаях, когда F(t) = 0 при t < 0.
В противном случае, если при t < 0 F(t) ¹ 0, то имеет место равенство
¥ ¥ ¥
F(jw) = ò F(t)e-jwt dt = ò f(t)e-jwt dt + ò f(-t)ejwt dt = F1(jw) + F2(jw),
-¥ 0 0
что существенно затрудняет аналитическое исследование рассматриваемой функции. Для выхода из этого положения пользуются преобразованием Лапласа, которое будет рассмотрено далее.
Кроме того, следует заметить, что для многих функций интеграл при преобразовании Фурье расходится. Например, ebt = ¥ при b > 0 и t = ¥.
В таких случаях вместо функции f(t) рассматривают функцию e-xtf(t), где х = const, то интеграл преобразования Фурье сходится для большинства аналитических функций. Например, если x > b, то e-xtebt = e(b-x)t = 0 при t = ¥.
Следовательно, если ввести нормирующую функцию e-xt, то интеграл Фурье практически всегда сходится при t ® ¥.
¥
Fx(jw) = ò e-jwt[e-xt f(t)] dt.
0
Поскольку обратное преобразование Фурье имеет вид
¥
F(t) = [ ò e jwt F(jw) dw]/[2p ],
-¥
прямое и обратное преобразование функций представляется следующим образом
¥
Fx(jw) = ò e-(x+jw) t f(t) dt;
0
¥
F(t) = [ò e-(x+jw) t Fx(jw)dw]/[ 2p ] = F(t) при t > 0
-¥ 0 при t < 0 .
Если ввести обозначение s = x + jw , то
Fx(jw) = F(x + jw) = F(s).
Поскольку x = const, a -¥ < w < ¥, x - j¥ < s < x + j¥, то есть изменению переменной s соответствует перемещение F(s) по мнимой оси комплексной плоскости.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
ОСНОВЫ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ... Лекция...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Свойства преобразования Фурье
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов