рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Свойства преобразования Фурье

Свойства преобразования Фурье - Лекция, раздел Менеджмент, ОСНОВЫ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ   Результат Прямого Преобразования Фурье Можно Представить В Ви...

 

Результат прямого преобразования Фурье можно представить в виде

 

F{f(t)} = F(jw) = F1(w) - jF2(w),

¥ ¥

где F1(w) = ò F(t)cos(wt)dt; F2(w) = ò F(t)sin(wt)dt.

-¥ -¥

Если функция f(t) определена только при t > 0, т.е. f(t) = 0 при t < 0, рассмотренные функции F1(w) и F2(w) имеют самостоятельное наз­вание и значение:

¥

F1(w) = ò f(t)cos(wt)dt > 0 - косинус преобразование Фурье;

0

 

¥

F2(w) = ò f(t)sin(wt)dt > 0 - синус преобразование Фурье.

0

 

Пример 1

 

Преобразование Фурье применяется при исследовании частотных ха­рактеристик САУ и ее элементов. Для САУ с весовой функцией

 

0 при t < 0

F(t) = {

e-bt при t > 0

 

преобразование Фурье имеет вид

 

 

¥

F(jw) = ò e-bt e-jwt dt = 1/(b + jw) = (b - jw)/(b2 + w2) = b/( b2 + w2) - jw/( b2 + w2).

0

Здесь функция F(jw) является амплитудно-фазо-частотной характе­ристикой (АФЧХ) системы автоматического управления (САУ).

Такой же результат может быть достигнут, если воспользоваться си­нус и косинус преобразование Фурье

¥

F(jw) = ò e-bt[cos(wt) - jsin(wt)] dt = F1(w) - jF2(w), где

0

¥

F1(w) = ò e-bt cos(wt)dt = b/( b2+w2) - вещественная часть АФЧХ;

0

¥

F2(w) = ò e-bt sin(wt)dt = jw/( b2+w2) - мнимая часть АФЧХ.

0

Рассмотренные зависимости справедливы в тех случаях, когда F(t) = 0 при t < 0.

 

В противном случае, если при t < 0 F(t) ¹ 0, то имеет место равенство

 

¥ ¥ ¥

F(jw) = ò F(t)e-jwt dt = ò f(t)e-jwt dt + ò f(-t)ejwt dt = F1(jw) + F2(jw),

-¥ 0 0

что существенно затрудняет аналитическое исследование рассматриваемой функции. Для выхода из этого положения пользуются преобразованием Лапласа, которое будет рассмотрено далее.

Кроме того, следует заметить, что для многих функций интеграл при преобразовании Фурье расходится. Например, ebt = ¥ при b > 0 и t = ¥.

В таких случаях вместо функции f(t) рассматривают функцию e-xtf(t), где х = const, то интеграл преобразования Фурье сходится для большинства аналитических функций. Например, если x > b, то e-xtebt = e(b-x)t = 0 при t = ¥.

Следовательно, если ввести нормирующую функцию e-xt, то интеграл Фурье практически всегда сходится при t ® ¥.

¥

Fx(jw) = ò e-jwt[e-xt f(t)] dt.

0

Поскольку обратное преобразование Фурье имеет вид

¥

F(t) = [ ò e jwt F(jw) dw]/[2p ],

-¥

прямое и обратное преобразование функций представляется следующим об­разом

¥

Fx(jw) = ò e-(x+jw) t f(t) dt;

0

¥

F(t) = [ò e-(x+jw) t Fx(jw)dw]/[ 2p ] = F(t) при t > 0

-¥ 0 при t < 0 .

 

Если ввести обозначение s = x + jw , то

 

Fx(jw) = F(x + jw) = F(s).

 

Поскольку x = const, a -¥ < w < ¥, x - j¥ < s < x + j¥, то есть изменению переменной s соответствует перемещение F(s) по мнимой оси комплексной плоскости.

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

ОСНОВЫ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ

ОСНОВЫ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ... Лекция...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Свойства преобразования Фурье

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ
Курс лекций     Москва - 2011     СОДЕРЖАНИЕ Лекция № 1 Осно

Математические модели и характеристики САУ и ее элементов
  В практике проектирования САУ пользуются их физическими, аналоговыми или математическими моделями. Всякая модель реального объекта управления должна отображать часть его св

Постановка задач анализа и синтеза САУ
  При настройке действующих и проектирования новых САУ приходится решать задачи анализа и синтеза. Понятия анализа и синтеза трактуют следующим образом. АНАЛИЗ - процедура мы

Свойства непрерывного преобразования Лапласа
  В основе операционного исчисления лежит интегральное преобразование Лапласа, которое является развитием преобразования Фурье. В общем виде оно может быть представлено в вид

С помощью преобразования Лапласа
  Диф. уравнение ® Диф. исчисление ® Оригинал решения ¯ (Мат. аппарат) ­ Преобр. Лапласа Обратное преобр. Лапласа ¯ ­ Алгебр. уравнение ®

Z-преобразование и его применение при анализе дискретных САУ
  Преобразование Лапласа, применяемое для отображения непрерывных функций в частотном пространстве, позволяет преобразовать дифференци­альные уравнения в алгебраические, чем существен

Матричная передаточная функция
  При описании многомерных систем управления пользуются также понятием матричной передаточной функции. Матричная передаточная функция предс­тавляет собой таблицу, элементами которой я

Математическое описание случайных процессов в САУ
  Всякая реальная система управления подвержена воздействию внешних помех. Множество физических процессов, протекающих в окружающей среде, накладываются друг на друга и образуют измен

Библиографический список
  1) Юревич Е.И. Теория автоматического управления. – Л.: Энергия, 1975. - 416 с. 2) Клюев А.С. наладка средств автоматизации и автоматических систем регулирования. Справочно

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги