Реферат Курсовая Конспект
Z-преобразование и его применение при анализе дискретных САУ - Лекция, раздел Менеджмент, ОСНОВЫ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ Преобразование Лапласа, Применяемое Для Отображения Непрерывн...
|
Преобразование Лапласа, применяемое для отображения непрерывных функций в частотном пространстве, позволяет преобразовать дифференциальные уравнения в алгебраические, чем существенно облегчается исследование линейных стационарных систем управления.
Дискретное преобразование Лапласа и Z-преобразование позволяют представить разностные уравнения и дискретные функции в алгебраических выражений и упростить исследование импульсных и цифровых систем управления. Дискретное преобразование Лапласа осуществляется по формуле
¥
Fd(s) = S f(nT)×e -nTs , где
n = 0
f(nT) - дискретная (решетчатая) функция; nT - аргумент дискретной функции;
n = 0, 1, 2, ..., ¥ - ряд целых чисел; Т - период повторения импульсов; s - оператор Лапласа.
Если принять обозначения: Т=1; eTs= z,
то можно перейти к Z-преобразованию
¥
F(z) = S f(n)z-n.
n = o
Переменную z можно представить как оператор задержки на nT единиц времени.
Z-преобразование обозначается следующим образом
¥
F(z) = Z[f(n)] = S f(n)z-n.
n = o
Оно обладает следующими свойствами:
1. Линейность
N N
Z[S cvfv(n)] = S cvFv(z);
v=1 v=1
2. Запаздывание (сдвиг функции вправо)
m
Z[f(n – m)] = z-m[F(z) + S f(r)zr], r = n – m;
r = 1
Если исходная решетчатая функция f(n) равна нулю при отрицательных значениях аргумента, то Z-преобразование производится по формуле
Z[f(n – m)] = z-mF(z);
3. Опережение (упреждение – сдвиг функции влево)
m - 1
Z[f(n + m)] = zm[F(z) – S f(k)z-k];
k = 0
Если исходная решетчатая функция f(n) равна нулю при значениях аргумента n от 0 до m – 1, то Z-преобразование производится по формуле
Z[f(n + m)] = zmF(z);
4. Изображение разностей:
а) обратная разность
Z[DO f(n)] = Z[f(n) – f(n – 1)] = [(z – 1)/z]×F(z) + z -1f(-1).
Если исходная решетчатая функция f(n) равна нулю при отрицательных значениях аргумента, то Z-преобразование производится по формуле
Z[DOf(n)] = [(z – 1)/z]×F(z),
а для k-той разности по формуле
Z[DOf(n)] = [(z – 1)/z]k ×F(z);
б) прямая разность
Z[DPf(n)] = (z – 1)k ×F(z);
5. Изображение сумм:
a) неполная сумма
Z[бk(n)] = F(z)/( z – 1)k;
б) полная сумма
Z[б0k(n)] = [z/(z – 1)]k×F(z);
6. Изображение суммы ординат решетчатой функции
¥
S f(n) = lim F(z) = F(1);
n = o z ® 1
7. Начальное и конечное значение функций
а) конечное значение
¥
lim f(n) = S Dp f(n) = lim [(z – 1)/z]×F(z);
n ® ¥ n = o z ® 1
б) начальное значение
f(0) = lim [(z – 1)/z]×F(z).
z ® ¥
Решение разностных уравнений при нулевых начальных условиях
Общий вид разностного уравнения можно представить следующим образом
a0y(n) + a1y(n – 1) + ... + amy(n – m) =
= b0u(n) + b1u(n – 1) + ... + bku(n – k).
Переход к изображениям дает следующий результат
a0y(z) + a1z-1y(z) + ... + amz-my(z) =
= b0u(z) + b1z-1u(z) + ... + bkz-ku(z);
(a0 + a1z-1 + ... + amz-m)Y(z) =
= (b0 + b1z-1 + ... + bkz-k)U(z). (11.1)
Уравнение (11.1) является алгебраическим и имеет решение вида
Y(z) = (b0 + b1z-1 + ... + bkz-k)U(z)/(a0 + a1z-1 + ... + amz-m) = W(z)U(z). (11.2)
В уравнении (11.2) W(z) - дискретная передаточная функция, которая представляет собой отношение выходной переменной Y(z) к входной U(z) преобразованными с помощью Z-преобразования при нулевых начальных условиях.
Оригинал решения (11.2) уравнения (11.1) находится путем обратного
Z-преобразования
y(n) = Z-1[W(z)U(z)].
Пример
Непрерывное дифференциальное уравнение:
dX(t)/dt + X(t) = 1 (t); X(0) = 0.
Решение: X(t) = 1 – e-t.
Дискретный аналог:
Примем dt = 0.068 , тогда DX(i) + 0.068X(i) = 0.068;
X(i+1)-X(i) + 0.068X(i) = 0.068;
X(i+1) = 0.932X(i) + 0.068.
Z-преобразование:
zx(z) – 0.932x(z) = 0.068z/(z – 1);
(z – 0.932)X(z) = 0.068z/(z – 1);
X(z) = 0.068z/[(z – 1)(z – 0.932)];
дискретное решение:
x(n) = Z-1{0.068z/[(z – 1)(z – 0.932)]} = 1 – e -an0.068,
где a = - ln(0.932)/0.068;
непрерывное решение:
x(t) = 1 – e-at, где a = - ln(0.932)/0.068 » 1.
Для решения разностных уравнений с помощью Z-преобразования целесообразно пользоваться соответствующей таблицей.
Таблица Z-преобразований
N | G(t) | G(z) |
b[1 – e-atsec(f)cos(w0t+f)], где f = arctg[(a2 + w02 – ab)/(bw0)] | bz/(z – 1) – – b[z2 – ze-aTsec(f)cos(w0T+f)]/ /[z2-2ze-aTcos(w0T)+e-2aT] | |
1 – e-atsec(f)cos(w0t + f), где f = arctg(a/w0) | z/(z – 1) – – [z2 – e-aTsec(f)cos(w0T + f)]/ /[z – 2ze-aTcos(w0T) + e-2aT | |
e-bt – e-atsec(f)cos(w0t+f), где f = arctg[(b – a)/w0] | z/(z – e-bT) – – [z2 – ze-aTsec(f)cos(w0T + f)]/ /[z2 – 2ze-aTcos(w0T) + e-2aT] | |
e-atcos(w0t) | [z2 – ze-aTcos(w0T)]/[z2 – 2ze-aTcos(w0T) + e-2aT] | |
e-atcos(w0t) | ze-aTsin(w0T)/[z2-2ze-aTcos(w0T) + e-2aT] | |
a[1 – sec(f)cos(w0t+f)], где f = arctg(w0/a) | az/(z – 1) – – az[z – sec(f)cos(w0T + f)]/[z2 – 2z cos(w0T) + 1] | |
1 – cos(w0t) | z/(z – 1) – z[z – cos(w0T)]/[z2 – 2z cos(w0T) + 1] | |
cos(w0t) | z[z – cos(w0T)]/[z2 – 2zcos(w0T) + 1] | |
sin(w0t) | z sin(w0T )/[z2 – 2zcos(w0T) + 1] | |
c + [a2(b – c)/(a – b)2]e-bt + + {[ab(c-a)+bc(a-b)]/[(a-b)2]}e-at + + [ab(c - a)/(a - b)]te-at | cz/(z - 1) + a2(b - c)z/[(a - b)2(z - e-bT)] + + [ab(c - a) + bc(a - b)]z/[(a - b)2(z - e-aT)] + + [ab(c - a)Te-aTz]/[(a-b)(z-e-aT)2] | |
1 – [a2/(a - b)2]e-bt + + {[ab + b(a - b)]/(a - b)2}e-at + + [ab/(a – b)]te-at | z/(z - 1) – az/[(a - b)2(z - e-bT)] + + z[ab + b(a - b)]/[(a - b)2(z - e-aT)] + + abTe-aTz/[(a-b)(z-e-aT)2] | |
e-bt – e-at + (a - b)te-at | z/[z - e-bt] – z[z - e-aT] + (a - b)Te-aTz/[(z - e-aT)2] | |
1 – (1 + at)e-at | z/(z - 1) – z/(z - e-aT) – aTe-aTz/(z - e-aT)2 | |
d – {bc(d - a)/[(b - a)(c - a)]}e-at – – {ca(d - b)/[(c - b)(a - b)]}e-bt – – {ab(d - c)/[(a - c)(b - c)]}e-ct | dz/(z - 1) – bc(d - a)z/[(b - a)(c - a)(z - e-at)] – – ac(d - b)z/[(c - b)(a - b)(z - e-bt) – – ab(d - c)z/[(a - c)(b - c)(z - e-ct)] | |
1 – {bc/[(b - a)(c - a)]}e-at – – {ca/[(c - b)(a - b)]e-bt – – {ab/[(a - c)(b - c)]e-ct | z/[z – 1] – bcz/[(b - a)(c - a)(z - e-at)] – – acz/[(c - b)(a - b)(z - e-bt) – – abz/[(a - c)(b - c)(z - e-ct) | |
{(d - a)/[(b - a)(c - a)]e-at + + {(d - b)/[(c - b)(a - b)]e-bt + + {(d - c)/[(a - c)(b - c)]}e-ct | (d - a)z/[(b - a)(c - a)(z - e-at)] + + ac(d - b)z/[(c - b)(a - b)(z - e-bt)] + + ab(d - c)z/[(a - c)(b - c)(z - e-ct)] | |
e-at/[(b - a)(c - a)] + + e-bt/[(c - b)(a - b)] + + e-ct[(a - c)(b - c)] | z/[(b - a)(c - a)(z - e-at)] + + z/[(c - b)(a - b)(z - e-bt)] + + z/[(a - c)(b - c)(z - e-ct)] | |
c + [b(c - a)/(a - b)]e-at + + [a(b-c)/(a - b)]e-bt | cz/(z - 1) + b(c - a)z/[(a - b)(z - e-aT)] + + a(b - c)z/[(a - b)(z - e-bT)] | |
1 – [b/(a - b)]e-at – [a/(a - b)]e-bt | z/(z - 1) + bz/[(a - b)(z - e-aT)] – az/[(a - b)(z - e-bT)] | |
(c - a)e-at + (b - c)e-bt | (c - a)z/(z - e-aT) + (b - c)z/(z - e-bT) | |
e-at+ e-bt | z/(z - e-aT) – z/(z - e-bT) | |
t – (1 - e-at)/a | Tz/(z - 1) – (1 - e-aT)z/[a(z - 1)(z - e-aT)] | |
1 – e-at | [(1 - e-aT)z]/[(z - 1)(z - e-aT)] | |
t×e-at | Tze-aT/(z - e-aT)2 | |
e-at | z/(z - e-aT) | |
t | Tz/(z - 1)2 | |
1(t) | z/(z - 1) | |
б(t) | ||
б(t - kT) | z-k |
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
ОСНОВЫ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ... Лекция...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Z-преобразование и его применение при анализе дискретных САУ
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов