рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Z-преобразование и его применение при анализе дискретных САУ

Z-преобразование и его применение при анализе дискретных САУ - Лекция, раздел Менеджмент, ОСНОВЫ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ   Преобразование Лапласа, Применяемое Для Отображения Непрерывн...

 

Преобразование Лапласа, применяемое для отображения непрерывных функций в частотном пространстве, позволяет преобразовать дифференци­альные уравнения в алгебраические, чем существенно облегчается иссле­дование линейных стационарных систем управления.

Дискретное преобразование Лапласа и Z-преобразование позволяют представить разностные уравнения и дискретные функции в алгебраических выражений и упростить исследование импульсных и цифровых систем управ­ления. Дискретное преобразование Лапласа осуществляется по формуле

¥

Fd(s) = S f(nT)×e -nTs , где

n = 0

f(nT) - дискретная (решетчатая) функция; nT - аргумент дискретной функции;

n = 0, 1, 2, ..., ¥ - ряд целых чисел; Т - период повторения им­пульсов; s - оператор Лапласа.

Если принять обозначения: Т=1; eTs= z,

то можно перейти к Z-преобразованию

¥

F(z) = S f(n)z-n.

n = o

Переменную z можно представить как оператор задержки на nT единиц времени.

Z-преобразование обозначается следующим образом

¥

F(z) = Z[f(n)] = S f(n)z-n.

n = o

Оно обладает следующими свойствами:

 

1. Линейность

N N

Z[S cvfv(n)] = S cvFv(z);

v=1 v=1

2. Запаздывание (сдвиг функции вправо)

m

Z[f(n – m)] = z-m[F(z) + S f(r)zr], r = n – m;

r = 1

Если исходная решетчатая функция f(n) равна нулю при отрицательных значениях аргумента, то Z-преобразование производится по формуле

 

Z[f(n – m)] = z-mF(z);

 

3. Опережение (упреждение – сдвиг функции влево)

m - 1

Z[f(n + m)] = zm[F(z) – S f(k)z-k];

k = 0

Если исходная решетчатая функция f(n) равна нулю при значениях аргумента n от 0 до m – 1, то Z-преобразование производится по формуле

 

Z[f(n + m)] = zmF(z);

 

4. Изображение разностей:

 

а) обратная разность

 

Z[DO f(n)] = Z[f(n) – f(n – 1)] = [(z – 1)/z]×F(z) + z -1f(-1).

 

Если исходная решетчатая функция f(n) равна нулю при отрицатель­ных значениях аргумента, то Z-преобразование производится по формуле

Z[DOf(n)] = [(z – 1)/z]×F(z),

 

а для k-той разности по формуле

 

Z[DOf(n)] = [(z – 1)/z]k ×F(z);

 

б) прямая разность

 

Z[DPf(n)] = (z – 1)k ×F(z);

 

5. Изображение сумм:

 

a) неполная сумма

 

Z[бk(n)] = F(z)/( z – 1)k;

 

б) полная сумма

 

Z[б0k(n)] = [z/(z – 1)]k×F(z);

 

6. Изображение суммы ординат решетчатой функции

¥

S f(n) = lim F(z) = F(1);

n = o z ® 1

 

7. Начальное и конечное значение функций

 

а) конечное значение

¥

lim f(n) = S Dp f(n) = lim [(z – 1)/z]×F(z);

n ® ¥ n = o z ® 1

 

б) начальное значение

 

f(0) = lim [(z – 1)/z]×F(z).

z ® ¥

 

Решение разностных уравнений при нулевых начальных условиях

 

Общий вид разностного уравнения можно представить следующим обра­зом

 

a0y(n) + a1y(n – 1) + ... + amy(n – m) =

 

= b0u(n) + b1u(n – 1) + ... + bku(n – k).

 

Переход к изображениям дает следующий результат

 

a0y(z) + a1z-1y(z) + ... + amz-my(z) =

 

= b0u(z) + b1z-1u(z) + ... + bkz-ku(z);

 

(a0 + a1z-1 + ... + amz-m)Y(z) =

 

= (b0 + b1z-1 + ... + bkz-k)U(z). (11.1)

 

Уравнение (11.1) является алгебраическим и имеет решение вида

 

Y(z) = (b0 + b1z-1 + ... + bkz-k)U(z)/(a0 + a1z-1 + ... + amz-m) = W(z)U(z). (11.2)

 

В уравнении (11.2) W(z) - дискретная передаточная функция, которая представляет собой отношение выходной переменной Y(z) к входной U(z) преобразованными с помощью Z-преобразования при нулевых начальных ус­ловиях.

Оригинал решения (11.2) уравнения (11.1) находится путем обратного

Z-преобразования

 

y(n) = Z-1[W(z)U(z)].

 

Пример

 

Непрерывное дифференциальное уравнение:

 

dX(t)/dt + X(t) = 1 (t); X(0) = 0.

 

Решение: X(t) = 1 – e-t.

 

Дискретный аналог:

 

Примем dt = 0.068 , тогда DX(i) + 0.068X(i) = 0.068;

 

X(i+1)-X(i) + 0.068X(i) = 0.068;

 

X(i+1) = 0.932X(i) + 0.068.

 

Z-преобразование:

 

zx(z) – 0.932x(z) = 0.068z/(z – 1);

 

(z – 0.932)X(z) = 0.068z/(z – 1);

 

X(z) = 0.068z/[(z – 1)(z – 0.932)];

 

дискретное решение:

 

x(n) = Z-1{0.068z/[(z – 1)(z – 0.932)]} = 1 – e -an0.068,

где a = - ln(0.932)/0.068;

 

непрерывное решение:

 

x(t) = 1 – e-at, где a = - ln(0.932)/0.068 » 1.

Для решения разностных уравнений с помощью Z-преобразования целесообразно пользоваться соответствующей таблицей.

 

Таблица Z-преобразований

N G(t) G(z)
    b[1 – e-atsec(f)cos(w0t+f)], где f = arctg[(a2 + w02 – ab)/(bw0)] bz/(z – 1) – – b[z2 – ze-aTsec(f)cos(w0T+f)]/ /[z2-2ze-aTcos(w0T)+e-2aT]
    1 – e-atsec(f)cos(w0t + f), где f = arctg(a/w0) z/(z – 1) – – [z2 – e-aTsec(f)cos(w0T + f)]/ /[z – 2ze-aTcos(w0T) + e-2aT
    e-bt – e-atsec(f)cos(w0t+f), где f = arctg[(b – a)/w0] z/(z – e-bT) – – [z2 – ze-aTsec(f)cos(w0T + f)]/ /[z2 – 2ze-aTcos(w0T) + e-2aT]
e-atcos(w0t) [z2 – ze-aTcos(w0T)]/[z2 – 2ze-aTcos(w0T) + e-2aT]
e-atcos(w0t) ze-aTsin(w0T)/[z2-2ze-aTcos(w0T) + e-2aT]
  a[1 – sec(f)cos(w0t+f)], где f = arctg(w0/a) az/(z – 1) – – az[z – sec(f)cos(w0T + f)]/[z2 – 2z cos(w0T) + 1]
  1 – cos(w0t) z/(z – 1) – z[z – cos(w0T)]/[z2 – 2z cos(w0T) + 1]
cos(w0t) z[z – cos(w0T)]/[z2 – 2zcos(w0T) + 1]
sin(w0t) z sin(w0T )/[z2 – 2zcos(w0T) + 1]
c + [a2(b – c)/(a – b)2]e-bt + + {[ab(c-a)+bc(a-b)]/[(a-b)2]}e-at + + [ab(c - a)/(a - b)]te-at cz/(z - 1) + a2(b - c)z/[(a - b)2(z - e-bT)] + + [ab(c - a) + bc(a - b)]z/[(a - b)2(z - e-aT)] + + [ab(c - a)Te-aTz]/[(a-b)(z-e-aT)2]
1 – [a2/(a - b)2]e-bt + + {[ab + b(a - b)]/(a - b)2}e-at + + [ab/(a – b)]te-at z/(z - 1) – az/[(a - b)2(z - e-bT)] + + z[ab + b(a - b)]/[(a - b)2(z - e-aT)] + + abTe-aTz/[(a-b)(z-e-aT)2]
e-bt – e-at + (a - b)te-at z/[z - e-bt] – z[z - e-aT] + (a - b)Te-aTz/[(z - e-aT)2]
1 – (1 + at)e-at z/(z - 1) – z/(z - e-aT) – aTe-aTz/(z - e-aT)2
  d – {bc(d - a)/[(b - a)(c - a)]}e-at – – {ca(d - b)/[(c - b)(a - b)]}e-bt – – {ab(d - c)/[(a - c)(b - c)]}e-ct dz/(z - 1) – bc(d - a)z/[(b - a)(c - a)(z - e-at)] – – ac(d - b)z/[(c - b)(a - b)(z - e-bt) – – ab(d - c)z/[(a - c)(b - c)(z - e-ct)]
  1 – {bc/[(b - a)(c - a)]}e-at – – {ca/[(c - b)(a - b)]e-bt – – {ab/[(a - c)(b - c)]e-ct z/[z – 1] – bcz/[(b - a)(c - a)(z - e-at)] – – acz/[(c - b)(a - b)(z - e-bt) – – abz/[(a - c)(b - c)(z - e-ct)
  {(d - a)/[(b - a)(c - a)]e-at + + {(d - b)/[(c - b)(a - b)]e-bt + + {(d - c)/[(a - c)(b - c)]}e-ct (d - a)z/[(b - a)(c - a)(z - e-at)] + + ac(d - b)z/[(c - b)(a - b)(z - e-bt)] + + ab(d - c)z/[(a - c)(b - c)(z - e-ct)]
  e-at/[(b - a)(c - a)] + + e-bt/[(c - b)(a - b)] + + e-ct[(a - c)(b - c)] z/[(b - a)(c - a)(z - e-at)] + + z/[(c - b)(a - b)(z - e-bt)] + + z/[(a - c)(b - c)(z - e-ct)]
  c + [b(c - a)/(a - b)]e-at + + [a(b-c)/(a - b)]e-bt cz/(z - 1) + b(c - a)z/[(a - b)(z - e-aT)] + + a(b - c)z/[(a - b)(z - e-bT)]
1 – [b/(a - b)]e-at – [a/(a - b)]e-bt z/(z - 1) + bz/[(a - b)(z - e-aT)] – az/[(a - b)(z - e-bT)]
(c - a)e-at + (b - c)e-bt (c - a)z/(z - e-aT) + (b - c)z/(z - e-bT)
e-at+ e-bt z/(z - e-aT) – z/(z - e-bT)
t – (1 - e-at)/a Tz/(z - 1) – (1 - e-aT)z/[a(z - 1)(z - e-aT)]
1 – e-at [(1 - e-aT)z]/[(z - 1)(z - e-aT)]
t×e-at Tze-aT/(z - e-aT)2
e-at z/(z - e-aT)
t Tz/(z - 1)2
1(t) z/(z - 1)
б(t)
б(t - kT) z-k

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

ОСНОВЫ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ

ОСНОВЫ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ... Лекция...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Z-преобразование и его применение при анализе дискретных САУ

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ
Курс лекций     Москва - 2011     СОДЕРЖАНИЕ Лекция № 1 Осно

Математические модели и характеристики САУ и ее элементов
  В практике проектирования САУ пользуются их физическими, аналоговыми или математическими моделями. Всякая модель реального объекта управления должна отображать часть его св

Постановка задач анализа и синтеза САУ
  При настройке действующих и проектирования новых САУ приходится решать задачи анализа и синтеза. Понятия анализа и синтеза трактуют следующим образом. АНАЛИЗ - процедура мы

Свойства преобразования Фурье
  Результат прямого преобразования Фурье можно представить в виде   F{f(t)} = F(jw) = F1(w) - jF2(w), ¥ ¥

Свойства непрерывного преобразования Лапласа
  В основе операционного исчисления лежит интегральное преобразование Лапласа, которое является развитием преобразования Фурье. В общем виде оно может быть представлено в вид

С помощью преобразования Лапласа
  Диф. уравнение ® Диф. исчисление ® Оригинал решения ¯ (Мат. аппарат) ­ Преобр. Лапласа Обратное преобр. Лапласа ¯ ­ Алгебр. уравнение ®

Матричная передаточная функция
  При описании многомерных систем управления пользуются также понятием матричной передаточной функции. Матричная передаточная функция предс­тавляет собой таблицу, элементами которой я

Математическое описание случайных процессов в САУ
  Всякая реальная система управления подвержена воздействию внешних помех. Множество физических процессов, протекающих в окружающей среде, накладываются друг на друга и образуют измен

Библиографический список
  1) Юревич Е.И. Теория автоматического управления. – Л.: Энергия, 1975. - 416 с. 2) Клюев А.С. наладка средств автоматизации и автоматических систем регулирования. Справочно

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги