рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Математическое описание случайных процессов в САУ

Математическое описание случайных процессов в САУ - Лекция, раздел Менеджмент, ОСНОВЫ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ   Всякая Реальная Система Управления Подвержена Воздействию Вне...

 

Всякая реальная система управления подвержена воздействию внешних помех. Множество физических процессов, протекающих в окружающей среде, накладываются друг на друга и образуют изменяющееся случайным образом возмущающее воздействие на систему управления.

Такого рода возмущениями могут быть, например, произвольное изменение нагрузки на объект управления, случайные колебания мощности источника энергии управления и т. п.

В тех случаях, когда пренебрежение перечисленными воздействиями недопустимо, систему управления следует рассматривать как стохастическую и для ее исследования и синтеза применять математический аппарат теории вероятностей. Применение математического аппарата теории вероятностей позволяет осуществить достаточно точное описание системы управления, подверженной случайным воздействиям, а также обеспечивает синтез системы с требуемым качеством управления.

Как известно, система управления может находиться в переходном или установившемся состояниях. Математический аппарат теории вероятностей, применяемый для описания переходных состояний системы весьма сложен и в инженерной практике не применяется. В связи с этим при инженерных расчетах стохастических систем рассматривают поведение систе­мы в установившемся режиме, называемом стационарным.

Пусть на систему или динамический элемент действует возмущающее воздействие X(t), величина которого изменяется по случайному закону, т.е. каждое последующее значение не зависит от предыдущего.

Если многократно записать реализацию этого процесса при постоянных условиях функционирования системы или элемента, то можно получить множество случайных функций x1(t), x2(t),....

Для описания таких случайных функций выбирают на ней любой достаточно большой интервал времени «Т» и, пользуясь математическим аппаратом теории вероятностей, определяют среднее значение функции x(t) по мно­жеству ее измерений, которое называют статистическим средним или мате­матическим ожиданием.

Другой оценкой случайной функции служит ее среднее значение по времени, которое определяется по одной реализации случайного процесса на достаточно большом интервале времени по формуле

 

+T

х = lim [òx(t)dt]/[2T].

T ® ¥ -T

Если для всех случайных функций, полученных при реализации случайного процесса, функции распределения вероятностей одинаковы, т.е. не зависят от выбора момента начала интервала наблюдения, то такой случайный процесс называется стационарным. Типичным стационарным случайным процессом является так называемый белый шум. Он представляет собой случайный процесс изменения некоторой случайной величины, в котором отсутствует какая-либо связь между ее предыдущим и последующим значениями.

В стационарном случайном процессе среднее статистическое значение изменяющейся величины x(t) равно среднему ее значению по времени.

Это положение о равенстве среднего статистического и среднего по времени для стационарных случайных процессов базируется на гипотезе эргодичности, которая утверждает, что среднее по множеству реализаций случайного процесса совпадает со средним по времени одной реализации.

Смысл этого утверждения сводится к тому, что для стационарного случайного процесса исследование большого числа произвольно выбранных реализаций случайной функции в фиксированный момент времени дает такие же результаты, что и исследование всего одной реализации в течение достаточно длительного интервала времени наблюдения.

 

Для стационарного случайного процесса характерно, что среднее значение квадрата отклонения случайной величины от ее среднего значе­ния является постоянной величиной и вычисляется по формуле

+T

s = lim [ò [x(t) – x]2dt]/[2T].

T ® ¥ -T

Кроме того, для оценки случайного процесса пользуются понятием корреляционной функции R(q), которое физически выражает усредненные энергетические свойства случайных процессов, дает возможность судить о скорости изменения случайной величины и характеризует связь между двумя ее значениями x(t) и x(t + q).

 

С математической точки зрения корреляционной функцией называют среднее по времени произведения двух значений случайной величины x(t) и x(t + q), т.е.

+T

R(q) = lim [ò x(t)x(t + q)dt]/[2T].

T ® ¥ -T

Поскольку вид корреляционной функции определяется видом случайной функции, то естественно, что для различных случайных функций получают­ся разные корреляционные функции. При исследовании конкретного случай­ного процесса для всех его реализаций получается одна корреляционная функция.

Корреляционная функция R(0) имеет следующие свойства:

1. Значение корреляционной функций при q=0, т.е. R(q)|q=0 =R(q), равняется среднему по времени значению квадрата случайной функции, т.е.

+T

R(q)|q=0 = R(0) = lim [ò x(t)x(t + q)dt]/[2T] =

T ® ¥ -T

+T

= lim [ò x(t)2dt]/[2T] = х2.

T ® ¥ -T

 

2. Значение корреляционной функции при q = ¥ равно квадрату среднего значения по времени случайной функции x(t), т.е.

 

R(q)|q=¥ = R(¥) = x2.

 

3. Значение корреляционной функции R(q) при любой величине q рав­но или меньше значения функции R(0) при q ¹ 0, т.е.

 

R(q) < R(0).

 

4. Чем более инерционен объект, через который проходит случайный сиг­нал, тем при прочих равных условиях R(q) будет больше.

 

5. Корреляционная функция R(q) является четной функцией о, т.е.

 

R(q) = R(-q).

 

Справедливость указанных свойств вытекает из самого определения корреляционной функции.

При рассмотрении каких-либо двух стационарных процессов пользуют­ся понятием взаимной корреляционной функции, определяемой следующим выражением:

+T

R1,2(q) = lim [ò x1(t)×x2(t + q)dt]/[2T],

T ® ¥ -T

где x1(t) и x2(t + q) - две случайные функции рассматриваемых стационарных процессов.

Если корреляционную функцию отнести к ее значению при q = 0, то это отношение называют нормированной корреляционной функцией

Rн(q) = R(q)/R(0).

Другой важной характеристикой случайного стационарного процесса служит так называемая спектральная плотность S(w).

Понятие о спектральной плотности связано с разложением графика стационарного случайного процесса на гармонические составляющие, по­добно обычному преобразованию Фурье.

Применение функции S(w) при расчетах САУ, находящихся под воз­действием случайных величин, позволяет применять частотные методы ана­лиза.

Математическое определение спектральной плотности случайной функ­ции x(t) имеет следующий вид:

+T

S(w) = lim ò |x(t)|2e-jwtdt.

T ® ¥ -T

Аналогично вводится понятие взаимной спектральной плотности

+T

S1,2(w) = lim ò x1(t)x2(t)e-jwtdt,

T ® ¥ -T

Принимая во внимание понятие взаимной корреляционной функции, можно установить связь между ней и спектральной плотностью:

+¥

S1,2(w) = lim ò R1,2(q)e -jwtdt,

T ® ¥ -¥

поскольку предел произведения x1(t)×x2(t + q) характеризуется взаим­ной корреляционной функцией R1,2(q).

Следует заметить, что с чисто математической точки зрения

 

S1,2(w)=S2,1(-w).

 

Согласно определению интеграла Фурье находится обратная формула

+¥

R1,2(q) = [ò S1,2(w)e jwtdw]/[2p].

-¥

Положив в этом выражении q = 0, можно записать

+¥ +¥

R(0) = [ò S(w)e jwtdw]/[2p] = [ò S(w)e jwtdw]/p.

-¥ 0

В соответствии со свойством корреляционной функции R(0) = x2(t) можно записать

+¥

x2(t) = [ò S(w)dw]/p.

0

Последнее выражение позволяет по спектральной плотности случайной функции x(t) определить среднее значение квадрата случайной функции.

 

Пример

 

Определить дисперсию сигнала на выходе апериодического звена при подаче на его вход «белого шума» со спектральной плотностью равной Sf.

 

W(p) = K/(Tp + 1) - передаточная функция звена.

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

ОСНОВЫ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ

ОСНОВЫ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ... Лекция...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Математическое описание случайных процессов в САУ

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ
Курс лекций     Москва - 2011     СОДЕРЖАНИЕ Лекция № 1 Осно

Математические модели и характеристики САУ и ее элементов
  В практике проектирования САУ пользуются их физическими, аналоговыми или математическими моделями. Всякая модель реального объекта управления должна отображать часть его св

Постановка задач анализа и синтеза САУ
  При настройке действующих и проектирования новых САУ приходится решать задачи анализа и синтеза. Понятия анализа и синтеза трактуют следующим образом. АНАЛИЗ - процедура мы

Свойства преобразования Фурье
  Результат прямого преобразования Фурье можно представить в виде   F{f(t)} = F(jw) = F1(w) - jF2(w), ¥ ¥

Свойства непрерывного преобразования Лапласа
  В основе операционного исчисления лежит интегральное преобразование Лапласа, которое является развитием преобразования Фурье. В общем виде оно может быть представлено в вид

С помощью преобразования Лапласа
  Диф. уравнение ® Диф. исчисление ® Оригинал решения ¯ (Мат. аппарат) ­ Преобр. Лапласа Обратное преобр. Лапласа ¯ ­ Алгебр. уравнение ®

Z-преобразование и его применение при анализе дискретных САУ
  Преобразование Лапласа, применяемое для отображения непрерывных функций в частотном пространстве, позволяет преобразовать дифференци­альные уравнения в алгебраические, чем существен

Матричная передаточная функция
  При описании многомерных систем управления пользуются также понятием матричной передаточной функции. Матричная передаточная функция предс­тавляет собой таблицу, элементами которой я

Библиографический список
  1) Юревич Е.И. Теория автоматического управления. – Л.: Энергия, 1975. - 416 с. 2) Клюев А.С. наладка средств автоматизации и автоматических систем регулирования. Справочно

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги