Формула полной вероятности и формула Байеса

Часто мы начинаем анализ вероятностей, имея предварительные, априорные значения вероятнос­тей интересующих нас событий. Затем из источни­ков информации, таких как выборка, отчет, опыт и т. д., мы получаем дополнительную информацию об интересующем нас событии. Имея эту новую информацию, мы можем уточнить, пересчитать зна­чения априорных вероятностей. Новые значения вероятностей для тех же интересующих нас собы­тий будут уже апостериорными (послеопытными) вероятностями. Теорема Байеса дает нам правило для вычисления таких вероятностей.

Пусть событие А может осуществиться лишь вме­сте с одним из событий Н₁, Н₂, H₃, ..., H_n, образующих полную группу. Пусть известны вероятности Р(Н₁), Р(Н₂), ..., Р(Н_i), ..., Р(Н_n). Так как события Н_i образуют полную группу, то

а также известны и условные вероятности события А:

Так как заранее неизвестно, с каким из событий Н_i произойдет событие А, то события Н_i, называют гипотезами.

Необходимо определить вероятность события А и переоценить вероятности событий Н_i с учетом полной информации о событии А.

Вероятность события А определяется как

Эта вероятность называется полной вероятностью. Если событие А может наступить только вмес­те с одним из событий Н₁,Н₂ ,Н₃, ..., Н_n, образую­щих полную группу несовместных событий и на­зываемых гипотезами, то вероятность события А равна сумме произведений вероятностей каждого из событий Н₁, Н₂, ..., Н_n на соответствующую ус­ловную вероятность события А.

Условные вероятности гипотез вычисляютсяпоформуле

или

Это — формулы Байеса (по имени английского математика Т.Байеса, опубликовавшего их в 1764 г.), выражение в знаменателе — формула полной вероятности.