Сложные проценты.

Сложные проценты применяются в долгосрочных финансово-кредитных операциях, если проценты не выплачиваются периодически сразу после их начисления за прошедший интервал времени, а присоединяются к сумме долга (капитализируются).

Через 1 год сумма долга S=Р(1+i),

через 2 года сумма долга S=Р(1+i)(1+i)=Р(1+i)²,

через 3 года сумма долга S=Р(1+i)(1+i)(1+i)= Р(1+i)³,

………

через n лет сумма долга S=Р(1+i)ⁿ,

где S – наращенная сумма, i – годовая ставка сложных процентов, n – срок ссуды, (1+i)ⁿ – множитель наращения.

Пример: Кредит 1,5 млн. руб. взят на 5 лет под 20 % годовых по ставке сложных процентов. Найти наращенную сумму.

Решение: S=Р(1+i)ⁿ=1 500 000*(1+0,2)⁵=3 732 480 руб.

 

Если ставка сложных процентов меняется во времени, то формула наращения примет вид:

S=Р(1+i₁)ⁿ¹(1+i₂)ⁿ²…(1+i_k)^nk,

где (1+i₁)ⁿ¹(1+i₂)ⁿ²…(1+i_k)^nk – множитель наращения,

i_1, i₂,… ,i_k – последовательное значение ставок процентов, действующих в соответствующие периоды n_1, n₂,… ,n_k.

 

Пример: Кредит 1млн. руб. взят по ставке сложных процентов на 5 лет под 20 % годовых плюс маржа 10% в первые два года, потом каждый год на 2% меньше. Найти наращенную сумму.

Решение: S= 1 000 000*(1+0,3)²(1+0,28)(1+0,26)(1+0,24)= 3 379 783,68 руб.

 

Пусть j – годовая ставка сложных процентов, m – число периодов начисления в году. При каждом начислении проценты капитализируются. Каждый раз проценты начисляются по ставке j/m. (j – номинальная ставка). Формула наращенной суммы по номинальной ставке процентов:

S=Р(1+j/m)^N

где N=nm – число периодов начисления (может быть дробным).

Пример: Кредит 1млн. руб. предоставлен по ставке сложных процентов 20% годовых на 16 месяцев. Найти наращенную сумму, если проценты начисляются ежеквартально.

Решение: Р=1 000 000 руб., j=0,2, m=4, n=16*30/360=16/12=4/3, N=4*(4/3)=16/3

S= 1 000 000*(1+0,2/4)^16/3= 727 624,86 руб.

Эффективная ставка показывает, какая годовая ставка сложных процентов даёт тот же финансовый результат, что и m-разовое начисление в год по ставке j/m.

(1+i_эф.)ⁿ=(1+j/m)^mn,

i_эф, -эффективная ставка, j –номинальная ставка. Отсюда:

i_эф. =(1+j/m)^m-1,

j=m[(1+i_эф.)^1/m-1],

Пример 1:

Вычислить эффективную ставку процента, если номинальная ставка 15% годовых, проценты начисляются ежеквартально.

Решение:

i_эф. =(1+j/m)^m-1=(1+0,15/4)⁴-1=0,1587 или 15,87%

Пример 2:

Какой должна быть номинальная ставка при ежеквартальном начислении процентов, чтобы эффективная ставка была 15% годовых.

Решение:

j=m[(1+i_эф.)^1/m-1]=4[(1+0,15)^1/4-1]=0,1422 или 14,22%

 

Учёт (дисконтирование) по сложной ставке процентов:

- математический учёт (решается задача, обратная наращению по сложным процентам), т.е., если S=Р(1+i)ⁿ, то

P=S/(1+i)ⁿ=S*vⁿ,

где vⁿ=1/(1+i)ⁿ – учётный (или дисконтный) множитель.

Пример:

Определить современную стоимость 1 000 000 руб., которые получит 8-летний ребёнок через 10 лет при ставке сложных процентов 12% годовых.

Решение:

P=S/(1+i)ⁿ=1 000 000/(1+0,12)¹⁰=321 973,24 руб.

 

Если проценты начисляются m раз в году, то из S=Р(1+j/m)^mn получим:

 

Р = S/(1+j/m)^mn=S*v ^mn,

где v ^mn =1/(1+j/m)^mn – учётный (или дисконтный) множитель.

- банковский учёт. Дисконтирование по сложной учётной ставке осуществляется по формуле (d_сл–сложная годовая учётная ставка):

Р=S(1-d_сл)ⁿ

D=S-P=S- S(1-d_сл)ⁿ= S[1-(1-d_сл)ⁿ]

Пример: Через 2 года по векселю должны были выплачены 600 000 руб. Банк учёл его по сложной учётной ставке 15 % годовых. Определить дисконт.

Решение:

Р=S(1-d_сл)ⁿ=600 000*(1-0,15)²=433 500 руб.

D=S-Р=600 000-433 500 =166 500 руб.

Развернуть

Открыть в широком формате