Можно вывести формулы, позволяющие вычислять вероятности сложных событий, пользуясь знанием условных и безусловных вероятностей других более простых событий.
Пусть событие может произойти с одним из событий , образующих полную группу попарно несовместимых событий.
События называются гипотезами.
Теорема (формула полных вероятностей). Пусть событие может произойти при условии появления одной из гипотез . Тогда вероятность появления события равна сумме произведения вероятностей гипотез на условные вероятности события при каждой гипотезе :
(5)
Формула (5) называется формулой полной вероятности.
Доказательство. Поскольку гипотезы , попарно несовместны, то попарно несовместны и их произведения с событием , т.е. несовместны пересечения и при . Обозначим . Поскольку
образуют полную группу событий, то событие - достоверное, и его вероятность равна единице: . Из теоремы сложения с учётом свойств событий , и - достоверное событие, получаем
.
Подставим в предыдущую формулу значение .
.
Один из дистрибутивных законов выглядит так
.
Положим в последней формуле и
.
Далее полагая в формуле , запишем . С учётом сказанного запишем и
. Таким образом, дистрибутивный закон можно записать в виде
.
Закон дистрибутивности для случая трёх множеств было доказан ранее. Это доказательство можно обобщить на случай множеств больше чем , например . Поэтому мы можем записать
.
Таким образом, формула доказана.
Применим для каждого слагаемого последней формулы теорему умножения вероятностей
(6)
Теорема доказана.
Теорема (формула Байеса).Пусть - полная группа попарно несовместимых событий и - произвольное событие, которое может произойти с одним из них. Тогда для каждого справедливо равенство
(7)
Формула (6) называется формулой Байеса.
Доказательство. По определению условной вероятности,
,
где может быть найдена с помощью теоремы умножения, а находится по формуле полных вероятностей. Теорема доказана.
Формула Байеса позволяет производить пересчёт вероятностей гипотез с учётом того, что событие произошло: если до эксперимента вероятности гипотез были равны , то после того, как стало известно, что опыт закончился наступлением события , вероятности этих гипотез изменились и стали равными .
Задача. Фирма имеет три источника поставки комплектующих - фирмы . На долю фирмы приходится 50% общего объёма поставок,
- 30% и - 20%. Из практики известно, что 10% поставляемых фирмой деталей – бракованные, фирмой - 5% и фирмой - 6%. Какова вероятность того, что взятая наугад и оказавшаяся бракованной деталь получена от фирмы ?
Решение. Пусть событие - появление бракованной детали. Вероятности гипотез о том, что деталь поставлена фирмами , по условию задачи равны . Условные вероятности появления при этом бракованной детали будут (по условию)
.
По формуле Байеса имеем
.
По формуле полных вероятностей представим в виде
.
Далее
,
.
.
Сложные события, представляющие собой серию опытов и комбинаций всех возможных исходов, можно представить с помощью <<дерева вероятностей>>, на котором отражаются последовательность экспериментов и их результаты. Опыты представлены последовательностью кружков, а каждый исход - <<ветвью>> (линией) от соответствующего кружка. Вероятность соответствующего исхода указана около <<ветви>>, а вероятность всего сложного события – в её конце:
.
| годная (0,9) |
| брак (0,1) |
| годная (0,95) |
| брак (0,05) |
| годная (0,94) |
| брак (0,06) |
Задача. На двух станках выпускаются детали, которые поступают на склад, где они перемешиваются. Вероятность брака для первого станка составляет , для второго - . Первым станком выпускается 60% всех деталей. Какова вероятность при случайном извлечении детали со склада получить бракованную деталь, и какой ущерб будет понесён из-за второго станка?
Решение. Обозначим - деталь с первого станка, - деталь со второго станка, и . Событие - это появление бракованной детали. Условные вероятности события равны
.
Отсюда
.
Ущерб за счёт второго станка моно подсчитать по формуле
,
или 57% от общего убытка.