Определение. Говорят, что в пространстве элементарных событий, конечном или счётном , задана вероятность, если каждому элементарному событию поставлено в соответствие неотрицательное число
и сумма (конечная или бесконечная) вероятностей всех элементарных исходов равна единице: , т.е. вероятность события – это числовая функция, определённая на пространстве элементарных событий.
Определение. Вероятностью события называется сумма вероятностей всех элементарных исходов, входящих в , т.е. , таким образом:
1) если - если пространство элементарных событий, то ;
2) вероятность события удовлетворяет неравенству .
Теорема 1 . (теорема сложения вероятностей несовместных событий). Вероятность объединения двух несовместных событий равна сумме их вероятностей, т. е. если , то .
Доказательство. Проведём его для случая конечного числа исходов. Пусть пространство элементарных событий содержит элементарных исходов, из благоприятны событию и благоприятны событию , т.е. и , причём нет исходов, одновременно благоприятных и . Отсюда следует, что событию благоприятны элементарных исхода, и вероятность этого события вычисляется по формуле
.
Теорема доказана.
Доказательство можно перенести на случай счётного пространства , когда вместо конечных сумм рассматриваются суммы со счётным числом слагаемых – сходящиеся ряды.
Следствия.
1. Теорему 1 можно распространить на любое конечное число слагаемых, если все события попарно несовместны:
.
2. , так как , то .
3. Если , то .
Теорема 2. (теорема сложения вероятностей событий). Если события ипересекаются: , то
,
где - подмножества пространства элементарных событий.
Доказательство. Если и - совместные события, то наступит тогда, когда наступит одно из несовместных событий , или . Согласно теореме сложения несовместных событий, имеем
.
Событие наступит, если наступит одно из несовместных событий или .
Тогда вероятность события равна .
Событие наступит, если наступит одно из несовместных событий или .
Тогда вероятность события равна . Отсюда получаем доказательство теоремы:
.
Следствие.
1. Вероятность пересечения двух событий вычисляется по формуле
.
2. Вероятность суммы любого числа совместных событий вычисляется по формуле
.
3. Из теорем 1 и 2 для любых событий и следует
.