Вивчення обертального руху твердого тіла за допомогою маятника Обербека.

 

Мета лабораторної роботи:

Вивчення основного закону динаміки обертального руху твердого тіла, визначення моменту інерції хрестовини маятника Обербека.

 

Деякі теоретичні відомості.

Твердим тілом (або абсолютно твердим тілом) у механіці називають систему матеріальних точок (елементів тіла), відстань між якими у процесі руху не змінюються. Згідно з визначенням тверде тіло не деформується під дією зовнішніх сил. Реальне тверде тіло можна вважати твердим тілом, якщо деформації, що виникають під дією зовнішніх сил, малі і в умовах задачі ними можна знехтувати.

Обертальним рухом твердого тіла навколо нерухомої осі називається рух, при якому існують хоч би дві нерухомі точки тіла. Пряма лінія, яка проходить через ці точки, називається віссю обертання. Можна показати, що усі інші точки тіла, які не лежать на осі обертання, рухаються в перпендикулярній до осі обертання площині по колах, центри яких лежать на осі обертання. Лінійна швидкість цих точок перпендикулярна до осі обертання і направлена по дотичній до кола.

Основними кінематичними характеристиками обертального руху твердого тіла є його кутова швидкість і кутове прискорення.

 

Рис.1

Нехай ОО¢ – нерухома вісь обертання твердого тіла. Направимо вісь нерухомої декартової прямокутної системи координат так, щоб вісь z співпадала з віссю обертання (рис.1). Проведемо з початку координат до довільної точки А радіус вектор . Кутовою координатою (кутом повороту) називається кут між додатним напрямком вісі x і проекцією радіуса вектора на координатну площину xy. Кут повороту – величина скалярна, він може бути додатнім, від’ємним або нулем. Додатній напрямок відліку кутової координати умовились визначати за таким

правилом: воно утворює правий гвинт з додатнім напрямком осі z декартової системи координат. Кут вимірюється у радіанах.

Нехай тверде тіло повернулося на нескінченно малий кут навколо нерухомої вісі ОО¢. При цьому довільна точка А тіла, рухаючись по колу, зайняла положення А (рис.2). Вектором елементарного повороту називається вектор , модуль якого дорівнює модулю кута повороту : . Вектор направлений вздовж вісі обертання тіла, при цьому його напрямок пов’язаний правилом правого гвинта (буравчика) з напрямком обертання тіла. згідно з цим правилом напрямок вектора кута

Рис.2

повороту співпадає з напрямком поступального руху вістря буравчика, головка якого обертається у напрямку руху точки по колу. Нехай тверде тіло, обертаючись навколо нерухомої вісі ОО¢, здійснило за елементарний проміжок часу dt елементарний поворот . Обертання твердого тіла у цьому випадку характеризується величиною та напрямком вектора кутової швидкості . Кутовою швидкістю тіла називається вектор, який визначається за такою формулою:

, (1)

Рис.3

Напрямок вектора кутової швидкості співпадає за напрямком з вектором і, значить він направлений вздовж осі обертання тіла, причому так, що утворює правий гвинт з напрямом обертання. Якщо дивитися на тверде тіло, яке обертається, зверху, а тіло при цьому повертається проти годинникової стрілки, то вектор кутової швидкості спрямований вгору вздовж вісі обертання (рис.3). Якщо вісь z нерухомої декартової системи координат направлена вздовж вісі обертання тіла, то проекція на цю вісь вектора кутової швидкості дорівнює

. (2)

Кутовим прискоренням називається вектор , який дорівнює першій похідній вектора кутової швидкості за часом, або другій похідній вектора кутового переміщення за часом:

. (3)

Напрямок вектора співпадає з напрямком вектора прирощення кутової швидкості за нескінченно малий проміжок часу dt. Якщо тіло обертається навколо нерухомої вісі обертання ОО', то вектор прирощення кутової швидкості і вектор кутового прискорення лежать на вісі обертання (рис.4).

 

 

Рис.4

Якщо з течією часу кутова швидкість в ході обертання твердого тіла зростає, то вектори і направлені в одну сторону, а якщо кутова швидкість у ході обертання тіла зменшується, то вектор кутового прискорення направлений вздовж вісі обертання у протилежному напрямку до напрямку вектора . Якщо вісь z нерухомої декартової системи координат направлена вздовж осі обертання тіла, то проекція на цю вісь вектора кутового прискорення дорівнює

. (4)

Зв’язок між векторами кутової швидкості і кутового прискорення і відповідними їм лінійними величинами для певної точки твердого тіла, яка лежить на відстані від вісі обертання, такий:

, (5)

де - радіус-вектор даної точки, - тангенціальне прискорення цієї точки, - нормальне прискорення цієї точки.

Основними динамічними характеристиками обертального руху є момент сили, момент імпульсу і момент інерції. Між поступальним і обертальним рухом існує аналогія. Момент сили є аналогом сили, момент імпульсу - аналогом імпульсу, а момент інерції J – аналогом маси.

Рис.5

Момент сили відносно нерухомої точки О, яка лежить на вісі обертання, – це фізична величина, яка визначається векторним добутком радіуса вектора , проведеного з точки О в точку А прикладання сили (рис.5), на вектор сили

. (6)

Вектор момента сили напрямлений вздовж вісі обертання відповідно до правила правого буравчика: якщо обертати буравчик від радіуса-вектора до вектора сили , то поступальний рух його вістря покаже напрям вектора (рис.5). Модуль вектора моменту сили дорівнює добутку модуля вектора сили на найкоротшу відстань від точки О до лінії дії сили, або добутку модуля вектора сили на плече сили.

Рис.6

Момент сили відносно нерухомої вісі z – це скалярна величина Mz, яка дорівнює проекції на цю вісь вектора моменту сили, визначеного відносно довільної точки О даної вісі z. Значення моменту Mz не залежить від вибору положення точки О на осі z. Якщо вісь z співпадає з напрямком вектора, то момент сили є вектором, який співпадає з цією віссю. Моментом імпульсу матеріальної точки відносно нерухомої точки О, яка лежить на осі обертання, – це фізична величина, яка визначається векторним

добутком радіуса-вектора цієї точки, проведеного з точки О (рис.6), на імпульс цієї матеріальної точки

. (7)

Напрямок вектора моменту імпульсу матеріальної точки визначається за правилом правого буравчика. Якщо обертати буравчик від радіуса-вектора до вектора імпульсу , то поступальний рух його вістря покаже напрям вектора (рис.6). Модуль вектора моменту імпульсу дорівнює добутку модуля вектора імпульсу на найкоротшу відстань від точки О до прямої, вздовж якої направлений імпульс точки, або добутку модуля вектора імпульсу на плече імпульсу. Момент імпульсу матеріальної точки m_i відносно нерухомої осі z – це скалярна величина L_iz, яка дорівнює проекції на цю вісь вектора моменту сили, визначеного відносно довільної точки О даної вісі z. Значення моменту імпульсу L_iz не залежить від вибору положення точки О на вісі z. Якщо вісь z співпадає з напрямком вектора , то момент імпульсу є вектором, який співпадає з цією віссю.

Між моментом сили , яка діє на тверде тіло, і моментом імпульсу абсолютно твердого тіла існує зв’язок, який встановлюється основним рівнянням динаміки обертального руху твердого тіла:

. (8)

Дослід показує, що зміна швидкості обертального руху твердого тіла, тобто його кутове прискорення, залежить не тільки від маси твердого тіла, що обертається, але й від її розподілу відносно нерухомої вісі обертання. Величина, яка враховує обидві ці обставини, і виступає мірою інертності твердого тіла у обертальному русі, називається моментом інерції твердого тіла відносно нерухомої вісі обертання J.

Встановимо зв’язок між моментом імпульсу і моментом інерції твердого тіла. Як відомо, кутове переміщення точок твердого тіла в процесі його обертального руху виникає внаслідок дії на тверде тіло деякого моменту сил. При цьому на кожний елемент маси твердого тіла (рис.7), яке рухається з лінійною швидкістю , діє тангенціальна сила

. (9)

 

 

Рис.7

 

Момент цієї сили відносно довільної точки А, яка лежить на нерухомій вісі ОО',

 

. (10)

Сумарний момент сил, який діє на все тверде тіло, що складається з N елементів маси, визначається за формулою:

 

. (11)

Скалярна величина називається моментом інерції і-того елемента маси твердого тіла відносно нерухомої вісі ОО'. Момент інерції усього твердого тіла визначається за формулою

. (12)

Користуючись формулами (11) та (12), отримаємо формулу, яка також виражає закон динаміки обертального руху твердого тіла:

. (13)

З рівняння (13) бачимо, що вектор моменту сили , яка діє на тверде тіло, що обертається, співпадає за напрямком з напрямком його вектора кутового прискорення . Якщо момент інерції тіла сталий, то у випадку обертання тіла навколо нерухомої вісі ОО^¢, закон динаміки обертального руху можна сформулювати так: модуль кутового прискорення прямо пропорційний до моменту сили відносно даної вісі і обернено пропорційний до моменту інерції твердого тіла відносно даної вісі

. (14)

Залежність модуля кутового прискорення від модуля обертального моменту сили та моменту інерції відносно нерухомої вісі обертання можна визначити експериментально за допомогою хрестоподібного маятника Обербека (рис.7).

 

Рис.8

 

Опис експериментальної установки.

 

Основна частина цього маятника – хрестовина – складається зі шківа та чотирьох легких стрижнів, які закріплені (вгвинчені) у шків, перпендикулярно осі шківа.

Хрестовина може обертатися відносно нерухомої горизонтальної вісі ОО', яка співпадає з віссю шківа. На кожному зі стрижнів хрестовини закріплюють по одному додаткові вантажі, які мають циліндричну форму. Маси вантажів m₀ однакові. Їх величина вказана на установці.

З метою зміни моменту інерції приладу вантажі m₀ можна переміщувати вздовж стрижнів та закріплювати на будь-яких відстанях R_i від осі обертання маятника ОО'. На шків намотана в один шар тонка, але доволі міцна нитка. До вільного кінця нитки прив’язана платформа П відомої маси. На платформу кладуть вантаж масою m. Якщо нитці дати можливість розмотуватися у результаті падіння платформи з вантажем масою m, то вона буде натягуватись. Сила натягу нитки створює обертальний момент сили. Під дією цього моменту сили маятник Обербека почне обертатися з кутовим прискоренням.

Рис.9

Оскільки безпосереднє вимірювання обертального моменту сили і кутового прискорення утруднено, то ці величини замінюють іншими, більш доступними для вимірювання. На падаючий тягар (рис.9) діють (силою тертя нехтуємо) такі сили: сила тяжіння, модуль якої і сила натягу нитки , яка діє вздовж нитки по дотичній до поверхні шківа маятника. Різниця цих двох сил, напрямлених в протилежні боки, і зумовлює абсолютну величину прискорення падаючого тіла a, тобто

(15)

Звідси

. (16)

Момент сили натягу нитки відносно вісі обертання ОО¢

, (17)

де r – радіус шківа (плече сили натягу нитки). У свою чергу, як вже зазначено вище,

, (18)

де J_ОО¢ - момент інерції маятника відносно вісі обертання ОО¢, b - кутове прискорення маятника.

Кутове прискорення маятника можна визначити з таких міркувань. Нехай платформа з вантажем масою m падає з висоти h. Тоді прискорення його руху визначається за формулою

. (19)

Якщо умови експерименту такі, що у його ході нитка змотується із шківа маятника без тертя і ковзання, то лінійне (тангенціальне) прискорення точок його поверхні також дорівнює а. Тоді величину кутового прискорення можна визначити за формулою

. (20)

Момент інерції J маятника відносно осі ОО', який, як відомо, є скалярною адитивною величиною, є сумою моменту інерції хрестовини без додаткових вантажів – J_хр та моменту інерції додаткових вантажів m₀ – відносно осі ОО':

. (21)

Момент інерції додаткового вантажу можна визначити аналітично, якщо прийняти його за матеріальну точку, яка знаходиться на відстані R_i від вісі обертання. Як відомо, у цьому випадку момент інерції одного додаткового вантажу . Оскільки додаткових вантажів чотири, то остаточно момент інерції усіх додаткових вантажів можна розрахувати за формулою

. (22)

Остаточно, враховуючи вираз (22), момент інерції хрестовини можна визначити за такою формулою

. (23)

 

Порядок виконання роботи.

 

1. Виміряйте лінійкою висоту падіння тягарців h, а штангенциркулем – радіус шківа r. Усередніть результати, отримані у ході проведення не менше ніж трьох вимірювань. Дані запишіть у таблицю №1.

2. Закріпіть додаткові вантажі на кінцях стрижнів симетрично до вісі обертання і на однакових відстанях від вісі обертання та виміряйте лінійкою відстань R_i від вісі обертання до центра мас вантажу m₀. Усередніть результати, отримані у ході проведення не менше ніж трьох вимірювань. Дані запишіть у таблицю №1.

3. Послідовно навантажуючи платформу П, що підвішена до кінця нитки, яка намотана на шків в один шар, тягарцями, маси яких m_і відомі, визначте, користуючись секундоміром, час падіння t кожного з тягарців маси m_і з висоти h. Усередніть результати, отримані у ході не менше ніж трьох вимірювань. Дані запишіть у таблицю№1.

4. За формулами (19) і (20) розрахуйте модулі лінійного а та кутового прискорення b, а за формулою (17) момент сили натягу нитки М відносно нерухомої вісі обертання. Дані розрахунків запишіть у таблицю №1.

5. Змістіть центри мас усіх чотирьох додаткових вантажів m₀ на два сантиметри ближче до вісі обертання і закріпіть їх на однаковій відстані від вісі обертання R_i. Виміряйте лінійкою цю відстань. Дані запишіть у таблицю №1. За методикою, описаною у п.3 і п.4, проведіть вимірювання і розрахунки для даного значення R_i.

6. Змістіть центри мас усіх чотирьох додаткових вантажів m₀ ще на два сантиметри ближче до осі обертання і закріпіть їх на однаковій відстані від осі обертання R_i. Виміряйте лінійкою цю відстань. Дані запишіть у таблицю №1. За методикою, описаною у п.3 і п.4, проведіть вимірювання і розрахунки для даного значення R_i .

7. За значенням М_і та β_і для кожного значення R_і побудуйте графіки залежностей М=f(b). З кожного з графіків визначте момент інерції маятника Обербека J_i відносно нерухомої осі обертання OO, скориставшись такою формулою

. (24)

8. За формулою (22) обчисліть момент інерції додаткових вантажів для кожного із значень R_i, а за формулою (23) визначте значення моменту інерції хрестовини маятника Обербека J_хр. Дані, отримані у результаті розрахунків, запишіть у таблицю №1. Розрахуйте середнє значення моменту інерції хрестовини маятника Обербека відносно нерухомої вісі , а також абсолютну та відносну похибки.

Таблиця №1

Ri,м	mi,кг	,с	,с	с,	,с	ai, м/с2	βi, рад/с2	Mi, кг٠м	Ji, кг٠м2	Jхр, кг٠м2	, кг٠м2

 

Література: [1-16,20-35]

Лабораторна робота №5