рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

ЛЕКЦИЯ 1 1. Под редакцией И. И. Елисеевой Эконометрика, М,: Финансы и статистика, -2001 г

ЛЕКЦИЯ 1 1. Под редакцией И. И. Елисеевой Эконометрика, М,: Финансы и статистика, -2001 г - раздел Финансы, Лекция 1   Список Литературы 1. Под Редакцией...

ЛЕКЦИЯ 1

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Под редакцией И. И. Елисеевой Эконометрика, М,: Финансы и статистика, -2001 г.

2. Под редакцией И. И. Елисеевой Практикум по эконометрике, М,: Финансы и статистика, -2001 г.

3. Я. Р. Магнус, П. к. Катышев и др. Эконометрика. Начальный курс. М. : Дело, - 2000г.

4. Мардас А. Н. Эконометрика. Краткий курс. С – Петербург, 2001 г.

5. Ноздрина Н. А, Эконометрика. Учебное пособие, Части 1 и 2., ДИТУД, 2007 г.

 

Дополнительная литература

 

1. В. Н. Грицан Эконометрика. Учебное пособие. М.: 2002 г.

2. А. И. Новиков Эконометрика. Учебное пособие. М.: 2006г.

3. Н. Ш. Кремер, Б. А. Прутко Эконометрика. Учебник для Вузов. М.:ЮНИТИ – ДАНА, 2002 г.

 

Предмет эконометрики

 

Проблема изучения взаимосвязей экономических показателей является одной из важнейших в экономическом анализе. Экономическая политика заключается в регулировании этих показателей.

Эконометрика – это наука, исследующая количественные закономерности и взаимосвязи в экономике при помощи методов математической статистики.

Название эконометрика введено в 1926 году норвежским экономистом и статистиком Р. Фришем. Буквальный перевод этого понятия – измерения в экономике.

В настоящее время общепризнано следующее определение:

Эконометрика – это научная дисциплина, объединившая совокупность теоретических результатов, приемов, методов и моделей, предназначенных для того, чтобы на базе экономической теории, экономической статистики и математико – статистического инструментария придавать конкретное количественное выражение общим (качественным) закономерностям, обусловленным экономической теорией.

Можно сказать, что суть эконометрики – синтез экономики, экономической статистики и математики.

Главное назначение эконометрики: - модельное описание конкретных количественных взаимосвязей, существующих между экономическими показателями.

Классификация задач, решаемых эконометрикой, можно представить в виде следующей схемы:

 

 

Классификация задач по эконометрике

 

Особенности эконометрического метода

Для проведения правильного анализа социально экономических в эконометрике выделяют следующие основные этапы:

1. Этап (постановочный). Определение конечных целей модели, набора участвующих в ней факторов и показателей, их роли.

2. Этап (априорный). Предмодельный анализ экономической сущности изучаемого явления. Формирование и формализация априорной информации, относящейся к природе исходных статистических данных и случайных составляющих.

3. Этап (параметризация). Моделирование, т. е. выбор общего вида модели, состав и формы входящих в нее связей.

4. Этап (информационный). Сбор необходимой статистической информации: регистрация значений, участвующих в модели факторов и показателей на различных временных и пространственных интервалах функционирования системы.

5. Этап (идентификация модели). Статистический анализ модели и прежде всего статистическое оценивание неизвестных параметров модели.

6. Этап (верификация модели). Сопоставление модельных данных. Проверка адекватности модели. Оценка точности модельных данных.

4-й,5-й и 6-й этапы сопровождаются процедурой подбора модели, которая заключается в переборе большого числа различных вариантов с целью получения адекватной и идентифицируемой модели.

В процессе эконометрического исследования приходится решать следующие проблемы.

Проблема спецификации модели решается на этапах 1 – 3 и включает в себя:

- определение конечных целей моделирования (прогноз, имитация различных сценариев социально – экономического развития системы, ее управление);

- определение набора независимых Х и зависимых У переменных;

- определение состава системы уравнений, их структур, набора предопределенных переменных;

- формулировка исходных предпосылок и априорных ограничений относительно природы остатков, когда обычно предполагают их независимость и некоррелиарность, нулевые значения их средних величин и иногда сохранение в процессе наблюдений значений их дисперсий – гомоскедастичность числовых значений коэффициентов уравнения в структурной форме модели.

Спецификация модели– важнейший этап эконометрического исследования. От успешности решения этой проблемы, т. е. насколько реалистичны наши предположения о составе эндогенных, экзогенных и предопределенных переменных, о структуре самой системы уравнений в решающей степени зависит успех эконометрического исследования.

Проблема идентификации модели заключается в том, что исследователя в конечном итоге интересует поведение зависимых переменных У.

Проблема верификации модели заключается в решении вопросов о том, можно ли рассчитывать на использование построенной модели в целях прогноза зависимых переменных и имитационных расчетов, определяющих варианты социально – экономического развития исследуемой системы, даст результаты, достаточно совпадающие с реальностью? Какова точность прогнозных и имитационных расчетов, основанных на данной модели? Методы верификации основаны на статистической проверке гипотез и статистическом анализе характеристик точности различных приемов и статистического оценивания параметров системы.

Наиболее распространенный подход к верификации экономической модели – ретроспективные расчеты. Их сущность состоит в следующем. Строим модель с целью прогнозирования зависимых переменных или имитационных расчетов. Сравнение этих модельных значений с реальными данными даст возможность проанализировать совпадение модельных выводов с реальностью и их точностью.

 

Типы данных

 

При моделировании экономических процессов используются 2 типа данных:

- пространственные данные;

- временные ряды.

Пространственные данные – это набор сведений по разным экономическим объектам (фирмам, предприятиям, семьям и т. п.) в один и тот же момент времени (пространственный срез).

Примером пространственных данных является, например, набор сведений (объем производства, количество работников, доход и др.)

Временные данные это набор сведений по одному и тому же экономическому объекту (фирме, предприятию, семье и т. п.) в разные последовательные моменты времени (временной ряд).

Примером временных данных могут быть ежеквартальные данные по инфляции, средней заработной плате, национальному доходу, объему продаж авиабилетов и т. п.

Исходные данные для эконометрического исследования должны быть измеримы, т. е. иметь численное значение и единицу измерения, причем числа должны соответствовать наблюдаемым свойствам, фактам, качествам и т. п.

Для социально – экономических измерений характерны специфические представления о точности. Экономику относят к «неточным» наукам, т. к. невозможно произвести измерение с малой погрешностью.

В теории измерений существуют два основных представления об измерении:

· Измерение понимается как соотношение множества объектов, описываемых некоторой переменной;

· Измерение понимается как соотношение переменной, непосредственно ненаблюдаемой, а выраженной через другую переменную.

Исходные данные для эконометрики – это данные официальной статистики или бухучета.

 

модели. типы моделей

 

Эконометрика, расположенная между экономикой, статистикой и математикой связана с выводом экономических законов. В данном случае используются данные или наблюдения для того, чтобы получить количественные зависимости для экономических соотношений.

Во всей этой деятельности существенным является использование моделей. Применяются математические модели, которые могут дать наиболее полное понимание сущности процессов, происходящих в экономике и их анализа.

Можно выделить три основных класса моделей, которые применяются для анализа и прогноза.

 

РЕГРЕССИОННЫЕ МОДЕЛИ С ОДНИМ УРАВНЕНИЕМ

 

Такие модели имеют вид: У = f(x1, x2, . . .xn),

Где у - зависимая, объясняемая, результативная переменная (результат);

хi - независимые, объясняющие переменные (факторы).

В зависимости от вида функции регрессионные модели делятся на парные и множественные, линейные и нелинейные. Используются для эконометрических исследований на микроуровне и частично на мезоуровне.

 

СИСТЕМЫ ОДНОВРЕМЕННЫХ УРАВНЕНИЙ

 

Эти модели описываются системами уравнений. Системы могут состоять из тождеств и регрессионных уравнений , каждое из которых может включать кроме объясняющих переменных, также объясняемые переменные из других уравнений системы. Системы одновременных уравнений требуют более сложной математической обработки и поэтому используются преимущественно на макроуровне. Хотя возможно и использование на других уровнях эконометрического исследования.

 

МОДЕЛИ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

 

К этому классу относятся модели:

1. тренда у(t) = T(t) +E(t),

где T(t) – временной тренд определенного параметрического вида;

E(t) –случайная компонента.

 

2. сезонности: у(t) = S(t) +E(t),

где S(t) –периодическая, сезонная компонента.

 

3. тренда и сезонности:

аддитивная модель временного ряда - у(t) = T(t) + S(t) + E(t),

мультипликативная модель временного ряда - у(t) = T(t) * S(t) * E(t).

 

Такие модели могут применяться, например, для изучения и прогнозирования объема продаж авиабилетов, спроса на мороженое, уровня безработицы в курортных городах, краткосрочного прогноза процентных ставок и т. д.

 

РЕГРЕССИОННАЯ МОДЕЛЬ

 

В зависимости от количества факторов, включенных в уравнение, принято различать простую (парную) и множественную регрессии.

Простая регрессия представляет собой регрессию между двумя переменными у и х, т. е. модель вида

 

, (1)

 

Где у – зависимая переменная (результативный признак, результат);

х – независимая переменная (фактор).

Уравнение простой регрессии характеризует связь между двумя переменными у и х, и величина у складывается из двух слагаемых:

 

, (2)

 

Где уj – фактическое значение результативного признака;

теоретическое (расчетное) значение результативного признака, найденное исходя из соответствующей математической функции, т. е. из уравнения регрессии;

случайная величина, характеризующая отклонение реального значения результата от теоретического результата, найденного по уравнению регрессии.

Случайная величина называется также возмущением или ошибкой. Она включает влияние неучтенных в модели факторов, случайных ошибок и особенностей измерения. Ее присутствие в модели порождено тремя источниками: спецификацией модели, выборочным характером исходных данных, особенностями измерения переменных.

Парная регрессия может быть как линейной, так и не линейной.

 

ЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ. СМЫСЛ И ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ

 

Линейная регрессия находит широкое применение в эконометрике в виде четкой экономической интерпретации ее параметров.

Линейная регрессия сводится к нахождению уравнения вида

 

или (3)

 

Уравнение вида позволяет по заданным значениям фактора х иметь теоретическое значение результативного признака у, подставляя в него фактические значения х.

Построение линейной регрессии (3) сводится к оценке (расчету) ее параметров – a и b. Они могут быть найдены различными методами:

- графическим;

- аналитическим.

Графический метод заключается в следующем: на поле корреляции выбираются две точки, через которые проводится прямая линия.

Далее по графику можно определить значения параметров. Параметр а определяется как точка пересечения линии регрессии с осью ОУ, а параметр b оценивается, исходя из угла наклона линии регрессии, как dy/dx, где dy – приращение результата у, а dx – приращение фактора х.

 

Классический подход к оцениванию параметров линейной регрессии основан на методе наименьших квадратов (МНК).

МНК позволяет получить такие оценки параметров a и b, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака (у) от расчетных (теоретических) минимальна:

 

min. (4)

 

Иными словами, из всего множества линий, линия регрессии на графике выбирается так, чтобы сумма квадратов расстояний по вертикали между фактическими точками и этой линией была бы минимальной:

 

Следовательно, min.

 

Чтобы найти минимум функции (4), надо вычислить частные производные по каждому из параметров a и b и приравнять их нулю.

Обозначим через S, тогда

 

(5)

 

Преобразуя выражение (5), получим следующую систему нормальных уравнений для оценки параметров a и b:

 

(6)

 

Решая систему нормальных уравнений (6) либо методом последовательного исключения переменных, либо методом определителей, находят искомые оценки параметров a и b.

Если все члены первого уравнения системы разделить на n получится следующая формула:

(7)

 

Где со (х, у) – ковариация признаков (ковариацией называется произведение коэффициента корреляции между х и у на их среднеквадратические отклонения и );

- дисперсия признака х.

Ввиду того, что получим следующую формулу расчета параметра b:

(8)

Дисперсия признака х может быть рассчитана и по другой формуле:

 

(9)

 

Параметр b называется коэффициентом регрессии. Его величина показывает среднее изменение результата с изменением фактора на единицу. Так , если в функции издержек (у – издержки, тыс. руб., х – количество единиц продукции), то, следовательно, с увеличением объема производства продукции (х) на 1 ед., издержки производства возрастают в среднем на 2 тыс. руб., т. е. дополнительный прирост продукции на 1 ед. потребует увеличения затрат в среднем на 2 тыс. руб.

Параметр а не имеет экономического содержания, но знак ( - ) перед ним показывает, что изменение результата происходит быстрее, чем изменение фактора.

Если параметр а = 0, то параметр b рассчитывается по формуле:

 

(10)

И уравнение регрессии будет иметь вид : (11)

 

лекция 2

 

корреляция

 

Уравнение регрессии всегда дополняется показателем тесноты связи. При использовании линейной регрессии в качестве такого показателя выступает линейный коэффициент парной корреляции – rxy.

Существуют разные формулы расчета rxy.. Некоторые из них:

 

(12)

 

Линейный коэффициент корреляции находится в границах: -1< rxy.< +1. Знак коэффициента парной корреляции показывает направление связи: «+» - прямая; «-» - обратная. Величина коэффициента оценивает тесноту связи. Чем ближе rxy к единице, теснее связь между признаками.

Таблица 1

Величина коэффициента корреляции 0,1 – 0,3 0,3 – 0,5 0,5 – 0,7 0,7 – 0,9 0,9 – 0,99
Теснота связи Слабая Умеренная Заметная Высокая Весьма высокая

 

 

оценка качества модели

 

Оценку качества построенной модели даст коэффициент детерминации, а также средняя ошибка аппроксимации.

Коэффициент детерминации оценивает качество полученной модели с точки зрения правильности подобранных факторов.

Ошибка аппроксимации оценивает, правильно ли выбран исследователем тип эконометрической модели.

Для линейной модели коэффициент детерминации рассчитывается как квадрат линейного коэффициента парной корреляции

 

R2 = rxy2. (13)

 

Величина коэффициента детерминации изменяется от 0 до 1. т. е. 0<R2 <1.

Коэффициент детерминации характеризует долю дисперсии результативного признака у, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака:

(14)

Соответственно величина 1 - rxy . характеризует долю дисперсии у, вызванную влиянием остальных, неучтенных в модели факторов.

Например, R2 = 0,978. следовательно, уравнением регрессии объясняется 97,8% дисперсии результативного признака, а на долю прочих факторов приходится лишь 2,2% ее дисперсии (остаточная дисперсия).

Чем больше доля объясненной вариации, тем соответственно меньше роль прочих факторов, и, следовательно, построенная модель (в данном случае – линейная) хорошо аппроксимирует исходные данные выбранного фактора.

Средняя ошибка аппроксимации – среднее отклонение расчетных значений результативного признака от его фактических значений:

(15)

 

где у – фактическое значение результативного признака; расчетное (теоретическое) значение результативного признака.

Допустимый предел значений ошибки аппроксимации не более (8 – 10)%. В противном случае рекомендуется выбирать другой вид модели.

 

средний коэффициент эластичности

 

Средний коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов в среднем по совокупности изменится результат у от своей средней величины при изменении фактора х на 1% от своего среднего значения. Общая формула расчета среднего коэффициента эластичности:

 

(16)

где производная функции.

Для линейного уравнения у = а + b*x первая производная и, следовательно,

 

(17)

 

оценка существенности (статистической значимости) модели

 

После того, как найдено уравнение линейной регрессии, проводится оценка статистической значимости как уравнения в целом, так и отдельных ее параметров.

Оценка значимости уравнения в целом дается с помощью F – критерия Фишера. При этом выдвигается нулевая гипотеза, которая предполагает, что коэффициент регрессии равен нулю, т. е. b = 0 и, следовательно, фактор х не оказывает влияния на результат у.

Непосредственному расчету F – критерия Фишера предшествует анализ дисперсии. Центральное место в нем занимает разложение общей суммы квадратов отклонений переменной у от среднего значения на две части: объясненную и необъясненную.

 

(18)

общая сумма квадратов отклонений;

 

сумма квадратов отклонений, объясненная регрессией (факторная);

 

остаточная сумма квадратов отклонений.

 

Поскольку не все точки поля корреляции лежат на линии регрессии, то всегда имеет место их разброс как обусловленный влиянием фактора х, т. е. регрессией у по х (объясненная вариация), так и вызванный действием прочих причин (необъясненная вариация). Пригодность линии регрессии для прогноза зависит от того, какая часть общей вариации признака у приходится на объясненную вариацию. Очевидно, что если сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией, будет больше остаточной суммы квадратов, то уравнение регрессии статистически значимо и фактор х оказывает существенной воздействие на результат у. Это равносильно тому, что коэффициент детерминации R2 будет приближаться к 1.

Любая сумма квадратов отклонений связана с числом степеней свободы df, т. е. числом свободы независимого варьирования признака. Число степеней свободы связано с числом единиц совокупности (числом наблюдений) n и числом определяемых по ней констант.

Так для общей суммы квадратов отклонений требуется (n-1) число степеней свободы.

При расчете объясненной или факторной суммы квадратов используют теоретические (расчетные) значения результативного признака , найденные по линии регрессии . Следовательно, сумма квадратов отклонений зависит только от одной константы – коэффициента регрессии b и поэтому имеет ОДНУ степень свободы.

Число степеней свободы остаточной суммы квадратов при линейной регрессии составляет (n-2), т. к. существует равенство между числом степеней свободы общей, факторной и остаточной суммами квадратов.

n -1 = 1 + (n-2)

Разделив каждую сумму квадратов на соответствующее ей число степеней свободы, получим средний квадрат отклонений, ил, что тоже самое, дисперсию на одну степень свободы - D.

 

Определение дисперсии на одну степень свободы приводит дисперсии к сравниваемому виду.

Сопоставляя факторную и остаточную дисперсии в расчете на одну степень свободы, получим величину F – критерия Фишера:

 

(19)

 

F – критерия Фишера используется для проверки нулевой гипотезы Н0: Dфакт. = Dост. (т. е. фактор не оказывает влияния на результат, линия регрессии на графике параллельна оси ОУ и дисперсия результативного признака обусловлена воздействием прочих факторов).

Если нулевая гипотеза справедлива, то факторная и остаточная дисперсии не отличаются друг от друга.

Для опровержения нулевой гипотезы Н0, необходимо, чтобы факторная дисперсия превышала остаточную в несколько раз.

Вычисленное значение F – критерия Фишера признается достоверным, если оно больше табличного. Fрас > Fтабл.. В этом случае нулевая гипотеза об отсутствии связи признаков отклоняется и делается вывод о статистической значимости полученной модели.

Если же Fрас < Fтабл , то вероятность нулевой гипотезы Н0 не может быть отклонена и уравнение регрессии признается статистически незначимым.

Табличное значение F – критерия Фишера – это максимальная величина отношений дисперсий, которое может иметь место при случайном их расхождении для данного уровня вероятности наличия нулевой гипотезы. Табличное значение F – критерия Фишера определяется при конкретном уровне значимости (достоверности) и факторном df = 1и остаточном df = (n-2) числе степеней свободы

Величина F – критерия связана с коэффициентом детерминации. Факторную сумму квадратов отклонений можно определить как (k=1), а остаточную сумму квадратов – как

Тогда значение F – критерия Фишера можно выразить как

 

(20)

Где k –число коэффициентов в уравнении регрессии без свободного члена. Для линейной парной регрессии k =1. Следовательно, формула расчета F – критерия имеет вид:


ЛЕКЦИЯ 3

 

оценка существенности (статистической значимости) параметров модели и коэффициента корреляции

 

В линейной регрессии обычно оценивается значимость не только уравнение в целом, но и отдельных ее параметров. Для оценки существенности параметра а и коэффициента регрессии b используется t – критерий Стьюдента. Он рассчитывается по формулам:

 

(21)

 

где ma и m b –стандартные (случайные) ошибки параметров а и b.

Стандартная (случайная) ошибка коэффициента регрессии определяется по формуле:

 

(22)

 

где Dост – остаточная дисперсия на одну степень свободы;

Если знаменатель выражения умножить и разделить на n, получим:

 

 

Расчетное значение t – критерий Стьюдента для коэффициента регрессии b можно определить по формуле:

 

(23)

 

Докажем справедливость равенства tb2 = Fpac.

 

 

(1)

 

Знаем, что . Откуда (2)

Подставляем (2) в (1), получим (3):

 

Заменяем:

(4)

 

(5)

 

Подставляем (4) и (5) в выражение (3), имеем:

 

 

Стандартная ошибка параметра а определяется по формуле:

 

(24)

 

Рассчитанное значение t – критерий Стьюдента для параметра а и коэффициента регрессии b сравнивается с табличным его значением при определенном уровне значимости и числе степеней свободы df = n- k -1 = n - 2. Уровень значимости имеет три значения:0,05;0,01 и 0,1. обычно используется =0,5.

Если расчетное значение t – критерий Стьюдента для параметров а и b больше его табличного значения, то а и b признаются статистически значимыми.

Для свободного члена а и коэффициента регрессии b рассчитываются доверительные интервалы (границы).

Доверительный интервал для коэффициента регрессии b определяется как:

 

(25)

 

где - предельная ошибка коэффициента регрессии b.

Поскольку коэффициент регрессии в эконометрических исследованиях имеет четкую экономическую интерпретацию, то доверительные границы для коэффициента регрессии не должны содержать противоречивых результатов, например

. Такого рода запись указывает, что истинное значение коэффициента регрессии содержит одновременно положительные и отрицательные величины и даже ноль, чего не может быть.

Доверительный интервал для параметра а определяется как:

 

где - предельная ошибка параметра а.

Значимость линейного коэффициента корреляции проверяется также с использованием t – критерий Стьюдента по формуле:

 

(26)

 

где m r –стандартная (случайная) ошибка коэффициента корреляции.

 

(27)

 

Для парной регрессии k =1.

Фактическое значение t – критерий Стьюдента определяется, как

 

(28)

 

Данная формула свидетельствует, что в парной линейной регрессии t2rxy = Fpac., ибо А так как tb2 = Fpac,, следовательно, .

Таким образом, проверка о значимости коэффициентов регрессии и корреляции равносильна проверке гипотезы о существенности линейного уравнения регрессии.

Рассмотренная формула оценки коэффициента корреляции рекомендуется к применению при большом числе наблюдений и если r не близко +-1. Если же величина коэффициента близка к +-1, то распределение его оценок отличается от распределения Стьюдента, т. к. величина коэффициента корреляции ограничена значениями от-1 до +1.

Чтобы обойти это затруднение, Фишером было предложено для оценки существенности rxy ввести вспомогательную величину z, связанную с коэффициентом корреляции соотношением:

 

(29)

 

При изменении rxy от-1 до +1 величина z изменяется от – ∞ до + ∞., что соответствует распределению Стьюдента. Стандартная ошибка величины z определяется по формуле :

 

(30)

 

где n – число наблюдений.

Величину z можно не рассчитывать, а воспользоваться готовыми таблицами z – преобразование, в котором приведены величины z для соответствующих значений rxy.

Рассчитанное значение t – критерия Стьюдента по формуле сравнивается с табличным t табл – критерием Стьюдента при =0,5 и df = n-k-1. Если расчетное значение t – критерия Стьюдента больше его табличного значения, то коэффициент корреляции признается статистически значимым.

 

 

ПРОГНОЗ ПО ЛИНЕЙНОМУ УРАНЕНИЮ РЕГЕРЕССИИ. ИНТЕРВАЛЫ ПРОГНОЗА

 

В прогнозных расчетах по уравнению регрессии определяется предсказуемое (ур) значение как точечный результат при хр = хk, т. е. путем подстановки в уравнение регрессии соответствующего значения хk..

Для оценки точности полученного значения точечного прогноза рассчитывается стандартная ошибка , т. е. и интервальная оценка прогнозируемого значения (у*):

 

(31)

 

Чтобы понять, как строится формула для определения стандартной ошибки , обратимся к уравнению линейной регрессии. Подставим в это уравнение выражение а: тогда уравнение регрессии примет вид:

 

 

Отсюда вытекает, что стандартная ошибка зависит от ошибки и ошибки коэффициента регрессии b – m b., т. е.

 

(32)

Из теории математической статистики известно, что . Используя в качестве оценки остаточную дисперсию на одну степень свободы Docm, получим формулу расчета ошибки среднего значения переменной у:

 

(33)

 

Ошибка коэффициента регрессии, как уже было сказано выше, определяется по формуле (22):

 

 

Считая, что прогнозное значение фактора хр = хk, получим следующую формулу расчета стандартной ошибки предсказываемого по линии регрессии значения:

 

Соответственно имеет выражение:

 

(34)

 

Для прогнозируемого значения 95% - ые доверительные интервалы при заданном хk определяются выражением

 

где tтаб – табличный критерий Стьюдента при =0,5 и df = n-2.

 

Пример: Функция издержек имеет вид: (у – затраты на производство, млн. руб., х – выпуск продукции, тыс. ед.).

Задание: рассчитать прогнозное значение издержек производства и доверительные интервалы прогнозного значения, если объем выпуска продукции составит 4 тыс.ед. (хр = хk, = 4). При этом среднее значение фактора х составляло 3,143 тыс. ед. для 7 предприятий, дисперсия по х равнялась 1,551. остаточная дисперсия на одну степень свободы Docm = 53.

 

Решение

 

При хk, = 4, прогнозное значение у составит:

 

 

которое представляет собой точечный прогноз.

Ошибка прогнозного значения будет равна

 

 

Табличное значение t – критерия Стьюдента при =0,5 и df = 7-2 = 5 составит 2,57. Отсюда доверительные интервалы для прогнозируемого значения определяются выражением

 

 

Прогноз линии регрессии в интервале составит:

 

 

Вывод: при выпуске продукции в 4 тыс. ед. затраты на их производство с 95%-ой вероятностью будут изменяться от 132,99 до 150,15 млн. руб.

На графике доверительные границы (интервалы) для представляют собой гиперболы, расположенные по обе стороны от линии регрессии.

 

а) – верхняя доверительная граница;

б) – линия регрессии;

в) доверительный интервал ;

г) нижняя доверительная граница.


Однако фактические значения у варьируют около среднего значения . индивидуальные значения отклоняются от на величину случайной ошибки , дисперсия которой оценивается как остаточная дисперсия на одну степень свободы – Docm. Поэтому ошибка предсказываемого индивидуального значения должна включать не только стандартную ошибку , но и случайную ошибку .

Тогда средняя ошибка прогнозируемого индивидуального значения (у) составит:

 

 

Или

 

(35)

 

По данным рассматриваемого примера получим:

 

 

Доверительные интервалы прогноза у при хk, = 4 с вероятностью 0,95 составят

 

 

Рассмотренная формула средней ошибки (35) может быть использована также для оценки существенности различия предсказываемого значения исходя из регрессионной модели и выдвинутой гипотезы.

Предположим, в примере с функцией издержек выдвигается предположение, что в предстоящем году в связи со стабилизацией экономики при выпуске продукции 8 тыс. ед. затраты на производство превысят 250 млн. руб. Чтобы оценить действительно ли это так, найдем точечный прогноз при хk, = 8, т. е.

 

млн. руб.

 

Предполагаемое же значение затрат – 250 млн. руб.

Для оценки существенности различия этих величин определим среднюю ошибку прогнозируемого индивидуального значения :

Доверительные границы прогноза при =0,5 составят

 

 

Следовательно, различие между прогнозируемыми и предполагаемыми величинами существенно.

При ошибке в1% (=0,01) табличное значение t – критерия Стьюдента при df = 7-2 = 5 составит 4,03 и доверительные границы прогноза составят

 

 

Следовательно, различие между прогнозируемыми и предполагаемыми величинами несущественно.


Лекция 4

 

НЕЛИНЕЙНАЯ ПАРНАЯ РЕГЕРЕССИЯ

 

Если между экономическими явлениями существуют нелинейные соотношения, то они выражаются с помощью соответствующих нелинейных функций.

Различают два класса нелинейных регрессий:

1. Регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам. Примером такой регрессии являются следующие функции:

· полиномы разных степеней , . (36)

Как показывает опыт большинства исследователей, среди нелинейной полиномиальной модели чаще всего используется парабола второй степени.

· равносторонняя гипербола - . (37)

· функция с квадратным корнем . (38)

· полулогарифмическая функция . (39)

 

2. Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам. К этому классу относятся функции:

 

- степенная -; (40)

 

- показательная; (41)

 

- экспоненциальная. (42)

 

 

РЕГРЕССИЯ, НЕЛИНЕНАЯ ПО ПЕРЕМЕННЫМ

 

Нелинейная регрессия по включенным переменным не таит каких – либо сложностей в оценке ее параметров. Она определяется, как и в линейной регрессии, методом наименьших квадратов (МНК).

Среди класса нелинейных функций, параметры которой без особых затруднений оцениваются МНК, следует назвать хорошо известную в эконометрике равностороннюю гиперболу

 

 
 

Функцией описывается зависимость себестоимости единицы продукции от объема выпуска продукции, зависимость между удельными расходами сырья, материалов, топлива и также объемом выпускаемой продукции.

Английский экономист А. В. Филипс анализируя данные более чем за 100 - летний период, установил обратную связь между процентом прироста заработной платы от уровня безработицы .Согласно выражения - с ростом уровня безработицы х темп прироста заработной платы у стремится к нулю. Соответственно, можно определить тот уровень безработицы0, при котором заработная плата оказывается стабильной. Уравнение называется кривая Филипса.

Немецкий статистик Э. Энгель на основе исследования семейных расходов сформулировал закономерность – с ростом дохода, доля расходов на продовольственные товары будет уменьшаться, а на непродовольственные, соответственно, возрастать. Однако, это увеличение не может быть беспредельно, ибо на все товары сумма долей не может быть больше 1 (больше 100%) и, следовательно, изменение доли расходов на непродовольственные товары будет характеризоваться уравнением

- кривая Энгеля. Используя это выражение, можно определить границу величины доходов, дальнейшее увеличение которого не приводит к росту доли расходов на непродовольственные товары.

Для равносторонней гиперболы вида: , заменив , получим линейное уравнение регрессии

 

,

оценка параметров которого может быть дана МНК. Система нормальных уравнений, для оценивания параметров а и b составит:

 

(43)

 

Решая эту систему уравнений, получим

 

; (44)

 

Вместе с тем равносторонняя гипербола не является единственно возможной функцией для описания кривой Энгеля. Для этих же целей может использоваться полулогарифмическая кривая .

Заменив lnxна z, получим линейное уравнение . Данная функция, как и предыдущая линейна по объясняющей переменной х. Оценка параметров а и b может быть найдена МНК с использованием формул (44).

Возможны и иные модели, нелинейные по объясняющим переменным, например, функция с квадратным корнем . Заменив на z, получим линейное уравнение ., для оценки параметров которого используем МНК (формулы (44)). Уравнение с квадратным корнем используется в исследованиях урожайности, трудоемкости сельскохозяйственного производства.

 
 

Парабола второй степени целесообразна к применению, если для определенного интервала значений фактора меняется характер связи рассматриваемых признаков: прямая связь меняется на обратную или обратная на прямую.

При b1 > 0 и b2 < 0 кривая симметрична относительно высшей точки, т. е. точка перелома кривой изменяющей направление связи, а именно рост на падение.

Такого рода функцию можно наблюдать в экономике труда при изучении зависимости заработной платы работников физического труда от возраста – с увеличением возраста повышается заработная плата, ввиду одновременного увеличения опыта работы и повышения квалификации. Однако с определенного возраста ввиду старения организма и снижения производительности труда дальнейшее повышение возраста ведет к снижению заработной платы.

При b1 < 0 и b2 > 0 кривая симметрична относительно низшей точки, т. е. изменяется направление связи со снижения на рост .

Ввиду симметричности кривой парабола второй степени далеко не всегда пригодна в конкретных исследованиях. Часто исследователь имеет дело лишь с отдельными сегментами параболы. Поэтому, если график зависимости не демонстрирует четко выраженной парабола второго порядка, то она может быть заменена другой нелинейной функцией, например, степенной.

Для параболы: . заменяем переменную х на х1, а х2 на х2 и получим двухфакторное уравнение линейной регрессии: , для оценки параметров которой а, b1 и b2 используется обычный МНК. Расчет параметров множественной модели а, b1 и b2 и т. д. будет изложен далее.

 

РЕГРЕССИЯ, НЕЛИНЕЙНАЯ ПО ОЦЕНИВАЕМЫМ ПАРАМЕТРАМ

Данный класс нелинейных моделей подразделяется на два типа:

1. нелинейные модели внутренне линейные;

2. нелинейные модели внутренне нелинейные.

 

Если нелинейная модель внутренне линейна, то она с помощью соответствующих преобразований может быть приведена к линейному виду.

Если же нелинейная модель внутренне нелинейна, то она не может быть сведена к линейной функции.

В эконометрических исследованиях наиболее распространена степенная функция .

График степенной функции парабола b- го порядка. Если а = 1, кривая проходит через точки О (0,0), касаясь оси х в начале координат. Если b четное, то кривая симметрична относительно оси у и имеет в начале координат минимум.

Если же b нечетное, то кривая симметрична относительно начала координат, в начале координат – точка перегиба. Общий случай: кривая получается из кривой вытягиванием в направлении оси у в (а) раз.

Степенная функция широко используется для характеристики зависимости урожайности от количества внесенных удобрений. Данная форма связи мотивируется тем, что с увеличением количества внесенных удобрений урожайность растет лишь до достижения оптимальной дозы вносимых удобрений. Дальнейший же рост их дозы оказывается вредным для растения, и урожайность снижается.

Еще чаще степенная функция используется в эконометрических исследованиях при изучении эластичности спроса от цен, т.к. b является показателем среднего коэффициента эластичности, позволяющим сделать вывод об изменении спроса при изменении цен на 1 % от их среднего уровня.

Данная модель нелинейная относительно оцениваемых параметров. Однако ее можно считать внутренне линейной, ибо логарифмирование уравнения по основанию натурального логарифма е приводит его к линейному виду.

 

lny = lna + b*lnx + lne (45)

 

Это называется линеаризацией переменных. Обозначим У = lny; А = lna; Х = lnx; Е = lne, получим линейное уравнение

 

. (46)

 

Расчет параметров А и b проводится с использование МНК:

 

(47)

 

Для перехода от приведенного к линейному уравнению к исходному проводится обратная операция – потенцирование.

Например: получено линейное уравнение вида .

Выполнив потенцирование, получим . Подставляя в данное уравнение фактические значения х, получим теоретическое значение результата.

 
 

К внутренне линейным моделям относится также экспоненциальная модель.

Логарифмируя экспоненциальную модель по натуральному основанию е, получим линейную форму модели:

 

lny = a + b*x + lne

 

Обозначим У = lny; Е = lne, получим линейное уравнение

 

, параметры которого определяются с помощью МНК.

 

 

Практическое применение экспоненты возможно, если результативный признак не имеет отрицательных значений. Поэтому, если исследуется, например, финансовый результат деятельности предприятий, среди которых наряду с прибыльными есть и убыточные, то данная функция не может быть использована.

К этому же классу нелинейных моделей относится и показательная функция . При а = 0 и b> 1 функция монотонно возрастает от 0 до ∞, а при b < монотонно убывает от ∞ до 0. кривая проходит через точку (0,1).

Построению уравнения показательной функции предшествует процедура линеаризации переменных при логарифмировании обеих частей уравнения по основанию е.

 

lny = lna + x*ln b + lne или .

 

Значения параметров А и В оцениваются с помощью МНК:

 

.

 

Полученное линейное уравнение приводится к исходному путем потенцирования.

Например, . Производим потенцирование полученного уравнения и запишем его в обычной форме

 

.


ЛЕКЦИЯ 5

 

Кроме вышеперечисленных, можно назвать и обратную модель вида:

 

(48)

 

Обращая обе части равенства получим линейную форму модели:

 

.

 

КОРРЕЛЯЦИЯ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ

 

Уравнение нелинейной регрессии, так же как и линейной зависимости, дополняется показателем корреляции, а именно индексом корреляции - , который рассчитывается по формулам:

 

(49)

 

где - остаточная сумма квадратов;

- общая сумма квадратов.

 

Величина данного показателя находится в границах: 0<<1. Чем ближе к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков.

Если нелинейное относительно объясняющей переменной уравнение регрессии при линеаризации принимает форму линейного уравнения , то для оценки тесноты связи может быть использован линейный коэффициент парной корреляции ryz,, величина которого в этом случае совпадает с индексом корреляции , где z- преобразованная величина признака – фактора: z = 1/x; z= lnx.

Иначе обстоит дело, когда преобразования уравнения в линейную форму связаны с зависимой переменной. В этом случае линейный коэффициент корреляции по преобразованным значениям признаков дает лишь приближенную оценку тесноты связи и численно не совпадает с индексом корреляции.

Так, для степенной функции после перехода к логарифмически линейному уравнению lny = lna + b*lnx может быть найден линейный коэффициент корреляции не для фактических значений переменны х и у, а для их логарифмов, т. е. rlnxlny. Соответственно, квадрат его значения будет характеризоваться отношением остаточной и общей суммы квадратов не для у, а для его логарифмов:

 

(50)

 

Между тем при расчете индекса корреляции используются суммы квадратов отклонений признака у, а не его логарифмов. С этой целью определяются теоретические значения .

Не совпадают показатели индекса корреляции и для линейного коэффициента корреляции rxlny для уравнения регрессии в виде экспоненты, и в виде показательной функции rlnxy.

Долю дисперсии, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака у характеризует индекс детерминации R2, который рассчитывается как квадрат индекса корреляции .

Индекс детерминации можно сравнивать с коэффициентом детерминации r 2xy для обоснования возможности применения линейной функции. Чем больше кривизна линии регрессии, тем величина коэффициента детерминации r 2xy меньше индекса детерминации . Близость же этих показателей означает, что нет необходимости усложнять форму уравнения регрессии и можно использовать линейную функцию. Практически, если величина - r 2xy) не превышает 0,1, то предположение о линейной форме связи считается оправданным. В противном случае проводится оценка существенности различия , вычисленных по одним и тем же исходным данным, через критерий Стьюдента:

 

(51)

 

где - ошибка разности, определяемая по формуле:

 

(52)

 

Если tp > t m, то различия между рассматриваемыми показателями корреляции существенны и замена нелинейного уравнения регрессии линейным уравнением невозможна.

Практически, если tp < 2, то различия и r 2xy несущественны и возможно применение линейной регрессии.

 

СРЕДНЯЯ ОШИБКА АППРОКСИАМЦИИ И СРЕДНИЙ КОЭФФИЦИЕНТ ЭЛАСТИЧНОСТИ

 

Для оценки качества построенной нелинейной модели используется показатель – средняя ошибка аппроксимации, которая рассчитывается по формуле (15) и должна быть не более (8-10)%.

Средний коэффициент эластичности рассчитывается по формуле (16), с учетом того, что первая производная для различных функций – разная, приведем формулы расчета среднего коэффициента эластичности для ряда математических функций (табл.1).

Таблица 1.1. Коэффициенты эластичности для ряда функций

Функция Первая производная Коэффициент эластичности
Парабола второго порядка у = a+b1x+ b2 x 2 y’ = b1 +2 b2 x  
Гипербола
Показательная y = a b x y’ = ln ba b x
Степенная y = ax b y’ = ab x b-1
Полулогарифмическая y = a +blnx
Обратная
Экспонента  

 

Как видно из приведенных выше выражений в степенной функции y = ax b параметр b имеет четкое экономическое истолкование, т. к. он является средним коэффициентом эластичности и показывает, на сколько процентов в среднем изменится результат, если фактор изменяется на 1% от своего среднего значения.

Так, если зависимость спроса от цен характеризуется уравнением вида: y = 105,56x -1,12, то, следовательно, с увеличением цен на 1% спрос снижается в среднем на 1,12%.

В виде степенной функции изучается не только эластичность спроса, но предложения. При этом эластичность спроса характеризуется параметром b<0, а предложения - b>0.

Несмотря на широкое использование в эконометрике коэффициента эластичности, возможны случаи, когда их расчет экономического смысла не имеет.

 

ОЦЕНКА СТАТИСТИЧЕСКОЙ ЗНГАЧИМОСТИ МОДЕЛИ В ЦЕЛОМ, ЕЕ ПАРАМЕТРОВ И ИНДЕКСА КОРРЕЛЯЦИИ

 

Существенность нелинейного уравнения в целом осуществляется по критерию Фишера, который в данном случае рассчитывается по тем же формулам, что и для линейного уравнения (за исключением параболы):

 

 

Для параболы изменяется расчет факторной и остаточной дисперсий на одну степень свободы:

 

 

где k – число параметров при переменной х. В параболе имеет место х1 и х2, следовательно, k = 2.

 

(53)

 

где R2 – индекс детерминации.

Для статистически значимого нелинейного уравнения регрессии расчетное значение критерия Фишера больше его табличного значения.

Для нелинейных соотношений оценка статистической значимости проводится в основном для коэффициента регрессии b, как имеющего экономический смысл. Хотя представляет интерес и оценка существенности параметра а. Для этого рассчитывается критерий Стьюдента:

 

 

Для расчета стандартной ошибки коэффициента регрессии mb и параметра mа в этом случае используются не исходные данные, а их логарифмы:

 

(54)

 

При нелинейных соотношениях рассматриваемых признаков, приводимых к линейному виду, выполняется интервальная оценка параметров нелинейной функции.

Так, для показательной кривой y = ab x сначала строятся доверительные интервалы для параметров нового преобразованного уравнения lny = lna + xlnb, т. е. для lna и lnb.по формулам:

lna - ma*tm < lna < lna + ma*tm.; (55)

 

lnb – mb*tm < lnb < lnb + mb*tm. (56)

 

Далее с помощью обратного преобразования определяются доверительные интервалы для параметров в исходном соотношении.

В степенной функции y = ax b доверительные интервалы для параметра а рассчитываются по формуле (55), а для b так же, как и в линейной функции:

 

b – mb*tm < b < b + mb*tm.

 

Для экспоненциальной зависимости y =е a + b x доверительные интервалы параметров а и b строятся так же, как и в линейной функции:

 

a - ma*tm < a < a + ma*tm.; b – mb*tm < b < b + mb*tm.

 

Оценка существенности индекса корреляции проводится так же, как и оценка надежности линейного коэффициента корреляции с помощью критерия Стьюдента, рассчитываемого в данном случае по формуле:

 

(57)

 

Если tp > tm ( ), то индекс корреляции статистически значим.

 


ЛЕКЦИЯ 6

 

МНОЖЕСТВЕННАЯ РЕГРЕССИЯ

 

Парная регрессия может дать хороший результат при моделировании, если влиянием других факторов, воздействующих на объект исследования можно пренебречь. Например. При построении модели потребления того или иного товара от дохода исследователь предполагает, что в каждой группе дохода одинаково влияние на потребление таких факторов, как цена товара, размер семьи и ее состав. Если же необходимо выявить влияние других факторов, введя их в модель, то строится уравнение множественной регрессии:

 

(58)

 

Множественная регрессия широко используется в решении проблем спроса, доходности акций, при изучении функции издержек производства, макроэкономических расчетах и целого ряда других вопросов эконометрики.

В настоящее время множественная регрессия один из наиболее распространенных методов в эконометрике. Основная цель множественной регрессии – построить модель с большим числом факторов, определив при этом влияние каждого из них в отдельности, а также совокупное их воздействие на моделируемый показатель.

При построении уравнения множественной регрессии выполняются 2 этапа:

1. Отбор факторов, включаемых в модель;

2. Выбор вида уравнения регрессии.

 

ВЫБОР ФАКТОРОВ

 

Факторы, включенные во множественную регрессию, должны отвечать следующим требованиям:

1. Они должны быть количественно измеримы. Если необходимо включить в модель качественный фактор, не имеющий количественного измерения, то ему нужно придать количественную определенность (например, в модели урожайности качество почвы задается в виде баллов; в модели стоимости объектов недвижимости учитывается местонахождения недвижимости: районы могут быть проранжированы).

2. Факторы не должны интеркоррелированы и тем более находиться в точной функциональной связи.

Если между факторами существует высокая корреляция, то нельзя определить их изолированное влияние на результативный признак, и параметры уравнения регрессии оказываются неинтерпретируемыми. Так, в уравнении предполагается, что факторы х1 и х2 независимы друг от друга, т. е. r xy = 0.Тогда можно говорить, что параметр b1 измеряет силу влияния фактора х1 на результат у при неизменном значении фактора х2.Если же r xy = 1, то с изменением фактора х1 фактор х2 не может оставаться неизменным. Отсюда b1 и b2 нельзя интерпретировать как показатели раздельного влияния х1 и х2 на результат у.

Пример: рассмотрим регрессию себестоимости единицы продукции (у), руб. от заработной платы работника (х1), руб. и производительности его труда (х2), единицы в час:

 

у = 22600 - 5х1 - 10х2

 

Коэффициент регрессии по переменной. х2 показывает, что с ростом производительности труда на 1 единицу себестоимость единицы продукции снижается в среднем на 10 рублей при постоянном уровне оплаты труда. Вместе с тем параметр при х1 нельзя интерпретировать как снижение себестоимости единицы продукции за счет роста заработной платы. Отрицательное значение коэффициента регрессии по переменной. х1 в данном случае обусловлено высокой корреляцией между х1 и х2 (r xy = 0,95).

3. Включаемые во множественную регрессию факторы должны объяснять вариацию зависимой переменной.

Если строится модель с Р факторами, то для нее рассчитывается показатель детерминации R2, который фиксирует долю объясненной вариации результативного признака за счет рассматриваемых в регрессии Р факторов. Влияние других, неучтенных в модели факторов оценивается как 1 - R2 с соответствующей остаточной дисперсией D ocm.

При дополнительном включении в регрессию Р + 1 фактора коэффициент детерминации должен возрастать, а остаточная дисперсия уменьшаться.

Если же этого не происходит и данные показатели практически мало отличаются друг от друга, то включаемый в анализ хР+1 не улучшает модель и практически является лишним. Так, если для регрессии, включающей 5 факторов R2 = 0,857, и включение 6-го фактора дало R2 = 0,858, то вряд ли целесообразно включать этот фактор в модель.

Кроме того насыщение модели лишними факторами приводит к статистической незначимости параметров регрессии по критерию Стьюдента.

Таким образом, хотя теоретически регрессионная модель позволяет учесть любое число факторов, практически в этом нет необходимости. Отбор факторов осуществляют в две стадии.

На первой стадии подбирают факторы, исходя из сущности проблемы.

На второй стадии выявляют дублирующие факторы, применив коэффициент интеркорреляции.

 

Определение коэффициентов интеркорреляции

Коэффициентами интеркорреляции являются коэффициенты корреляции между объясняющими переменными (факторами) х1, х2, …. Они позволяют исключить из… Считается, что две переменные коллинеарные, т. е. находятся между собой в… Пусть, например, при изучении зависимости у = f(x1, x2, x3) матрица парных коэффициентов корреляции оказывается…

Устранение межфакторной корреляции

Существует ряд подходов преодоления сильной межфакторной корреляции: 1. Исключение из модели одного или нескольких факторов. 2. Преобразование факторов, при котором уменьшается корреляция между ними.

Расчет коэффициентов эластичности

Для множественного уравнения регрессии рассчитываются средние и частные коэффициенты эластичности. Средние коэффициенты эластичности для множественной регрессии рассчитываются… (78)

МНОЖЕСТВЕННАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ И ДЕТЕРМИНАЦИЯ

Для множественной регрессии рассчитываются показатели множественной и частной корреляции. Показатель множественной корреляции характеризует тесноту связи… Независимо от формы связи показатель множественной корреляции может быть найден как индекс множественной корреляции: …

Частная корреляция

Частные коэффициенты (или индексы) корреляции характеризуют тесноту связи между результатом у и соответствующим фактором xi при устранении влияния…   (93)

Так, строя многофакторную модель, на первом шаге определяется уравнение регрессии с полным набором факторов, и рассчитываются частные коэффициенты корреляции. На втором шаге отбирается фактор с наименьшей величиной показателя частной корреляции и он исключается.

Исключив его из модели, строится новое уравнение регрессии. Процедура продолжается до тех пор пока все частные коэффициенты корреляции окажутся значимыми.

Имеется связь между частными коэффициентами корреляции и совокупным коэффициентом корреляции:

 

(99)

 

ЛЕКЦИЯ 10

Оценка надежности результатов множественной регрессии, корреляции и фактора, дополнительно включенного в модель

Статистическая значимость множественной регрессии в целом, так же как и в парной регрессии, оценивается с помощью F-критерия Фишера:   (100)

Модели ANСOVA при наличии у качественных переменных более двух альтернатив

Пусть рассматривается модель с двумя объясняющими переменными, одна из которых количественная, а другая – качественная. Причем качественная… Например, расходы на содержание ребенка –(у) могут быть связаны с доходами… Так как качественная переменная связана с тремя альтернативами, то по общему правилу моделирования необходимо…

СИСТЕМЫ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Общее понятие о системах уравнений, используемых в эконометрике   Потребность в использовании систем уравнений связано с тем, что при использовании отдельных уравнений считается, что…

Модель считается идентифицируемой, если каждое уравнение системы идентифицируемо.

Правило:

Чтобы уравнение было идентифицируемо, необходимо, чтобы число экзогенных переменных, отсутствующих в данном уравнении, но присутствующих в системе, было равно числу эндогенных переменных в данном уравнении без одного.

Если обозначить число эндогенных переменных в j –oм уравнении системы через Н, а число экзогенных (предопределенных) переменных, которые содержатся в системе, но не входят в данное уравнение через D, то условие идентифицируемости может быть записано в виде следующего счетного правила:

D+1 = H – уравнение идентифицируемо;

D+1 < H – уравнение неидентифицируемо;

D+1 > H – уравнение сверхидентифицируемо.

Рассмотренное счетное правило отражает необходимое, но недостаточное условие идентификации.

Достаточное условие идентификации - уравнение идентифицируемо, если по отсутствующим в нем переменным (эндогенным и экзогенным) можно из коэффициентов при них в других уравнениях системы получить матрицу, определитель которой не равен нулю, а ранг матрицы не меньше, чем число эндогенных переменных в системе без одного.

Ранг матрицы – размер наибольшей ее квадратной подматрицы, определитель которой не равен нулю.

Рассмотрим пример.

Пусть имеется система:

 

(115)

Требуется проверить каждое уравнение структурной модели на идентификацию, применив необходимое и достаточное условие идентификации.

Решение:

В данной системе у1, у2 и у3 - эндогенные переменные (Н = 3);

х1, х2 и х3экзогенные переменные (D = 3).

Проверим каждое уравнение системы на необходимое и достаточное условия идентификации.

Первое уравнение.

Необходимое условие.

Уравнение содержит две эндогенных переменных: Н = 2 (у1, у2), отсутствует одна экзогенная переменная: D = 1 (х2).

Выполняется необходимое равенство: 1 + 1 = 2, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.

Достаточное условие.

В уравнении отсутствуют у2 и х2. Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:

 

Уравнение Отсутствующие переменные
у2 х2
Второе -1 а22
Третье b32

Определитель матрицы не равен 0, ранг матрицы равен 2; следовательно, выполняется достаточное условие идентификации, и первое уравнение точно идентифицируемо.

Второе уравнение.

Необходимое условие.

Уравнение содержит три эндогенных переменных: Н = 3 (у1, у2,, у3,), отсутствуют две экзогенных переменных: D = 2 (х13 ).

Выполняется необходимое равенство: 2 + 1 = 3, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.

Достаточное условие.

В уравнении отсутствуют х1 и х3. Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:

 

Уравнение Отсутствующие переменные
х1 х3
Второе а11 а13
Третье а31 а33

Определитель матрицы не равен 0, ранг матрицы равен 2; следовательно, выполняется достаточное условие идентификации, и второе уравнение точно идентифицируемо.

Третье уравнение.

Необходимое условие.

Уравнение содержит две эндогенных переменных: Н = 2 (у2,, у3), отсутствует одна экзогенная переменная: D = 1 (х2).

Выполняется необходимое равенство: 1 + 1 = 2, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.

Достаточное условие.

В уравнении отсутствуют у1 и х2. Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:

 

Уравнение Отсутствующие переменные
у1 х2
Второе -1
Третье b21 а22

 

Определитель матрицы не равен 0, ранг матрицы равен 2; следовательно, выполняется достаточное условие идентификации, и третье уравнение точно идентифицируемо.

Следовательно, исследуемая система точно идентифицируема.


ЛЕКЦИЯ 13

Методы оценивания параметров структурной модели

Наибольшее распространение получили следующие методы оценивания коэффициентов структурной модели: · Косвенный метод наименьших квадратов (КМНК); · Двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК);

ПРИМЕНЕНИЕ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Наиболее широко они используются для построения макроэкономических моделей функционирования экономики той или иной страны.   МОДЕЛИ КЕЙНСА

Временные ряды в эконометрических исследованиях

основные элементы временного ряда   Можно построить экономическую модель, используя два типа исходных данных:

Автокорреляция уровней временного ряда. Выявление его структуры

При наличии во временном ряде тенденции и циклических колебаний значения каждого последующего уровня зависят от предыдущих. Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда … Для выявления структуры ряда, т. е. состава компонент рассчитывают автокорреляцию уровней ряда называют…

Моделирование тенденции временного ряда

Поскольку зависимость от времени может принимать разные формы, для ее формирования можно использовать различные виды функций. Для построения трендов… · линейный тренд: ; · гипербола:

Моделирование сезонных и циклических колебаний

· расчет значений сезонной компоненты и построение аддитивной или мультипликативной модели временного ряда; · применение сезонных фиктивных переменных; · использование рядов Фурье и др.

Построение аддитивной модели временного ряда

Для расчетов используем данные об объеме выпуска некоторого товара по кварталам за 3 года, представленные в табл. 1. Анализ величины коэффициентов автокорреляции показал, что в данном временном… Рассчитаем компоненты аддитивной модели.

K = -46,565/4 = -11,641.

Рассчитаем скорректированные значения сезонной компоненты как разность между ее средней оценкой и корректирующим коэффициентом.

Проверим условие равенства нулю суммы значений сезонной компоненты:

-60,858 – 159,609 + 203,826 + 16,641 = 0.

Таким образом, получены следующие значения сезонной компоненты:

I квартал: S1 = -60,858; II квартал: S2 = -159,609;

III квартал: S3 = 203,826; IY квартал: S4 = 16,641.

 

Лекция 16

Занесем полученные значения в табл.4 для соответствующих кварталов года.

Таблица 4 – расчет выровненных значений Т и ошибок Е в аддитивной модели

t Yt Si T + E = Yt - S T T + S Е=Yt – (T+S) E2
-60,858 470,858 445,727 384,869 25,131 631,5672
-159,609 559,609 499,004 339,395 60,605 3672,966
203,826 511,174 552,281 756,107 -41,107 1689,785
16,641 583,359 605,558 622,199 -22,199 492,7956
-60,858 645,858 658,835 597,977 -12,977 168,4025
-159,609 719,609 712,112 552,503 7,497 56,20501
203,826 771,174 765,389 969,215 5,785 33,46622
16,641 783,359 818,666 835,307 -35,307 1246,584
-60,858 825,858 871,943 811,085 -46,085 2123,827
-159,609 879,609 925,22 765,611 -45,611 2080,363
203,826 1031,174 978,497 1182,323 52,677 2774,866
16,641 1083,359 1031,774 1048,415 51,585 2661,012

Шаг 3. Элиминируем влияние сезонной компоненты, вычитая ее значение из каждого уровня исходного временного ряда. Получим величины Т + Е = Yt – S. Эти значения рассчитываются за каждый момент времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.

Шаг 4. Определим компоненту Т данной модели. Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда Т + Е с помощью линейного тренда. В результате расчетов получен линейный тренд вида:

 

Т = 392,45 + 53,277*t.

 

Коэффициент детерминации R2 = 0,958.

Подставляя в это уравнение значения t=1, 2, . . .. 12,найдем уровни Т для каждого момента времени.

Шаг 5. Найдем значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого прибавим к уровням Т значение сезонной компоненты для соответствующих кварталов.

Шаг 6. В соответствии с методикой построения аддитивной модели расчет ошибки производится по формуле

Е = Yt – (T+S).

По аналогии с моделью регрессии для оценки качества построения модели можно применять сумму квадратов полученных абсолютных ошибок. Для данной модели она равна 17631,84. По отношению к общей сумме квадратов отклонений уровней ряда от его среднего уровня, равной 735606,3. Эта величина составляет 2,4 %.

(1-17631,84/735606,3)*100 = 97,6%.

Следовательно, можно сказать, что аддитивная модель объясняет 97,6% общей вариации уровней временного ряда объема выпуска продукции за последние 12 кварталов.

Построение мультипликативной модели временного ряда

Определим компоненты мультипликативной модели временного ряда, используя данные о поквартальном объеме выработки некоторой продукции за 3 года,… Таблица 5 – расчет оценок сезонной компоненты в мультипликативной модели … Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Методика, применяемая на этом шаге,…

0,904 + 0,791 + 1,296 + 1,009 = 4.

Получим следующие значения сезонной компоненты:

I квартал: S1 = 0,904; II квартал: S2 = 0,791;

III квартал: S3 = 1,296; IY квартал: S4 = 1,009.

Занесем полученные значения в табл.3.6 для соответствующих кварталов года.

Таблица 6– расчет выровненных значений Т и ошибок Е в мультипликативной модели

t Yt Si T * E = Yt : S T T * S Е=Yt : (T*S) Е=Yt - (T*S) E2
0,904 453,54 441,92 399,496 1,026 10,504 110,334
0,791 505,689 495,15 391,664 1,021 8,336 69,489
1,296 551,698 548,38 710,7 1,006 4,3 18,490
1,009 605,4 601,61 607,024 0,988 -7,024 49,337
0,904 647,124 654,84 591,975 0,988 -6,975 48,651
0,791 707,965 708,07 560,083 1,000 -0,083 0,007
1,296 752,315 761,3 986,645 0,988 -11,645 135,606
1,009 792,864 814,53 821,861 0,973 -21,861 477,903
0,904 846,239 867,76 784,455 0,975 -19,455 378,497
0,791 910,24 920,99 728,503 0,988 -8,503 72,301
1,296 952,932 974,22 1262,589 0,978 -27,589 761,153
1,009 1090,188 1027,45 1036,697 1,061 63,303 4007,270

 

Шаг 3. разделим каждый уровень исходного ряда на соответствующие значения сезонной компоненты. Тем самым получим величины Т*Е = Yt : S, которые содержат только тенденцию и случайную компоненту.

Шаг 4. Определим компоненту Т в мультипликативной модели. Для этого рассчитаем параметры линейного тренда, используя уровни (Т*Е). График линейного тренда представлен на рис. 3. 5.

Уравнение тренда имеет следующий вид:

 

Т = 388,69 + 53,23*t.

 

Подставляя в это уравнение значения t = 1, 2, …,12, найдем уровни Т для каждого момента времени.

Шаг 5. Найдем уровни ряда по мультипликативной модели, умножив уровни Т на значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов.

Шаг 6. расчет ошибки в мультипликативной модели производится по формуле

Е = Yt : (T*S).

 

Для того, чтобы оценить качество полученной мультипликативной модели, используя коэффициент детерминации, необходимо рассчитать сумму квадратов абсолютных ошибок. Абсолютные ошибки в мультипликативной модели определяются как

Е = Yt - (T*S).

В данной модели сумма квадратов абсолютных ошибок составляет 6129,037. Общая сумма квадратов отклонений фактических уровней ряда от среднего значения равна 735606,3. Таким образом, доля объясненной дисперсии уровней ряда равна: (1-6129,037/735606,3)*100 = 99,17%.

 

Прогнозирование по моделям временного ряда

По аддитивной модели   Предположим, по данным примера (табл. 3.1) требуется дать прогноз объема выпуска продукции в течение первого полугодия…

– Конец работы –

Используемые теги: Лекция, редакцией, Елисеевой, Эконометрика, Финансы, Статистика0.102

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: ЛЕКЦИЯ 1 1. Под редакцией И. И. Елисеевой Эконометрика, М,: Финансы и статистика, -2001 г

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Еще рефераты, курсовые, дипломные работы на эту тему:

Лекция №1.Теоретические и методологические основы финансового менеджмента. Лекция рассчитана на 4 часа. 1.Цели и задачи финансового менеджмента в деятельности хозяйствующих субъектов. Условия реализации финансового менеджмента
Лекция Теоретические и методологические основы финансового менеджмента Лекция рассчитана на часа... Цели и задачи финансового менеджмента в деятельности хозяйствующих субъектов Условия реализации финансового...

Лекции по статистике Лекция . Предмет, метод и задачи статистики. Аналитическая статистика
Лекция Предмет метод и задачи статистики... Статистика это общественная наука которая присущими ей методами изучает... Общая теория статистики отрасль статистической науки о наиболее общих принципах правилах и законах цифрового...

Учебная программа курса. 4. Лекция 1. История психологии как наука. 5. Лекция 2. Античная философия и психология. 6. Лекция 3. Развитие психологии в Средневековый период. 19. Лекция 16. Тревога и защита
Введение... Учебная программа курса... Рабочая программа курса Лекция История психологии как наука...

ЛЕКЦИЯ № 1. Факторы выживания в природной среде ЛЕКЦИЯ № 2. Обеспечение водой ЛЕКЦИЯ № 3. Обеспечение питанием ЛЕКЦИИ по ОБЖ
КЛАСС Содержание Стр I четверть ЛЕКЦИЯ Факторы выживания в природной среде ЛЕКЦИЯ... ЛЕКЦИЯ Факторы выживания в природной... ЛЕКЦИЯ Обеспечение питанием...

Лекции 1.ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И КАТЕГОРИЯ ИНФОРМАТИКИ. 2 ЛЕКЦИИ 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНФОРМАТИКИ. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ. 12 ЛЕКЦИЯ 3. АППАРАТНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ЭВМ. 20 ЛЕКЦИЯ 4. ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ КОМПЬЮТЕРОВ.. 49 Широко распространён также англоязычный вар
gl ОГЛАВЛЕНИЕ... Лекции ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И КАТЕГОРИЯ ИНФОРМАТИКИ... ЛЕКЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНФОРМАТИКИ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ...

Лекция первая. ИСТОРИЯ СОЦИОЛОГИИ КАК ОБЛАСТЬ ЗНАНИЯ Лекция вторая. ИЗ КАКИХ ИДЕЙ РОДИЛАСЬ СОЦИОЛОГИЯ: ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫЕ ИСТОКИ НОВОЙ НАУКИ Лекция третья. СОЦИОЛОГИЯ ОГЮСТА КОНТА ЛЕКЦИИ
Оглавление... ОТ АВТОРА... Лекция первая ИСТОРИЯ СОЦИОЛОГИИ КАК ОБЛАСТЬ ЗНАНИЯ Лекция вторая ИЗ КАКИХ ИДЕЙ РОДИЛАСЬ СОЦИОЛОГИЯ ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫЕ ИСТОКИ НОВОЙ НАУКИ...

Глава 1. Статистика финансов как наука. Финансовая информация как основа статистических исследований в статистике финансов
Высшая школа бизнеса... Факультет банковского дела...

Статистика как общественная наука. Предмет, метод и задачи статистики. Основные понятия, используемые статистикой.
Статистика как общественная наука... Предмет метод и задачи статистики... Основные понятия используемые статистикой...

Предмет и метод статистики Предмет статистики 2. Основные понятия статистики
План... Предмет статистики... Основные понятия статистики Статистическая методология и организация статистики в РФ...

Краткий курс лекций по статистике Модуль 1. Теория статистики Глава 1. Статистика как наука и методы статистического исследования
Модуль Теория статистики... Глава Статистика как наука и методы статистического исследования... Цель ввести основные понятия статистики рассмотреть задачи статистики на современном...

0.039
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • По категориям
  • По работам