Средняя хронологическая

Средняя хронологическая. величина Если значения осредняемого признака известны на несколько равноотстающих дат внутри определённого временного периода, расчёт производится по средней хронологической: , где - значение осредняемого признака; n – число дат внутри периода, на которые заданы значения х. По средней хронологической исчисляется среднегодовая стоимомть основных фондов предприятия из данных о наличии на начало каждого месяца; средний остаток вкладов на счетах в банке по информации на начало месяца. 3.2. Структурные средние.

Структурные средние – вспомогательные характеристики изучаемой статистической совокупности; ими являются мода и медиана.

В отличии от степенных средних структурные средние имеют не обобщенное значение признака, а вполне конкретное, т.е. значение одной их вариант.

Наиболее часто используемыми в экономической практике структурными средними являются мода и медиана. 3.2.1. Мода Мода Мо – значение случайной величины, встречающееся с наибольшей вероятностью, в дискретном вариационном ряду – вариант, имеющий наибольшую частоту. В интервальных вариационных рядах моду определяют приближенно по формуле, где - начальное значение интервала, содержащего моду; - величина модального интервала; - частота модального интервала; - частота интервала, предшествующего модальному; - частота интервала, следующего за модальным. 3.2.2. Медиана Медиана Ме – это вариант, который находится в середине вариационного ряда. Медиана делит ряд на две равные (по числу единиц) части – со значениями признака меньше медианы и со значениями признака больше медианы.

Что бы найти медиану необходимо отыскать значение признака, которое находится в середине упорядоченного ряда. В ранжированных рядах несгруппированных данных нахождение медианы сводится к отысканию порядкового номера медианы.

В интервальных вариационных рядах медиана определяется по формуле: , где x0 - нижняя гранича медианного интервала; iMe - величина медианного интервала; Sme-1 - сумма накопленных частот до медианного интервала; fMe - частота медианного интервала.

Проиллюстрируем применение этих формул, используя данные таблицы 7. Информация, подобная представленной в этой таблице, необходима для получения четкого представления о покупательной способности населения страны или региона, для оценки эластичности спроса и, в конечном итоге, для выбора того или иного метода ценообразования и обоснования окончательной цены на товар.

Интервал с границами 2000 - 3000 в данном распределении будет модальным, так как он имеет наибольшую частоту. Введем следующие обозначения: =2000, =1000, =20,1, =15,4, =17,2 Подставим эти значения в формулу моды и произведем вычисления: Мода применяется для решения некоторых практических задач. Так, например, при изучении товарооборота рынка берется модальная цена, для изучения спроса на обувь, одежду используют модальные размеры обуви и одежды и др. Таблица 7 Распределение населения Алтайского края по уровню среднедушевого денежного дохода в январе-августе 2004 г. Среднедушевой денежный доход (в среднем за месяц), тыс.руб. Удельный вес населения, % 1000 и менее 2,4 1000 - 2000 15,4 2000 - 3000 20,1 3000 - 4000 17,2 4000 - 5000 12,8 5000 - 6000 9,2 6000 - 7000 6,5 7000 - 8000 4,5 8000 - 9000 3,2 9000 - 10000 2,3 свыше 10000 6,4 Всего 100,0 Для определения медианного интервала необходимо определять накопленную частоту каждого последующего интервала до тех пор, пока она не превысит 1/2 суммы накопленных частот (в нашем случае - 50%): Определим прежде всего медианный интервал.

В данной задаче сумма накопленных частот, превышающая половину всех значений (55,1), соответствует интервалу 3000-4000. Это и есть медианный интервал, в котором находится медиана. Определим ее значение по приведенной выше формуле.

Известно, что: Следовательно, . Соотношение моды, медианы и средней арифметической указывает на характер распределения признака в совокупности, позволяет оценить его асимметрию.

Если Мо<Me<Х - имеет место правосторонняя асимметрия, при Х<Me< Мо следует сделать вывод о левосторонней асимметрии ряда. Таблица 8 Вспомогательная таблица к данным таблицы 7 Среднедушевой денежный доход (в среднем за месяц), тыс.руб. Удельный вес населения, % Накопленная частота, % 1000 и менее 2,4 2,4 1000 - 2000 15,4 17,8 (15,4+2,4) 2000 - 3000 20,1 37,9 (17,8+20,1) 3000 - 4000 17,2 55,1 (37,9+20,1) 4000 - 5000 12,8 - 5000 - 6000 9,2 - 6000 - 7000 6,5 - 7000 - 8000 4,5 - 8000 - 9000 3,2 - 9000 - 10000 2,3 - свыше 10000 6,4 - Всего 100 На основе полученных в последнем примере значений структурных средних можно заключить, что наиболее распространенным, типичным является среднедушевой доход порядка 2618,42 руб. в месяц.

В то же время, более половины населения располагает доходом свыше 3703,49 +руб. при среднем уровне руб. (средняя арифметическая взвешенная). Из соотношения этих показателей следует вывод о правосторонней асимметрии распределения населения по уровню среднедушевых денежных доходов.

Мода и медиана, как правило, отличаются от значения средней, совпадая с ней только в случае симметричного распределения частот вариационного ряда. Поэтому соотношение моды, медианы и средней арифметической позволяет оценить ассиметрию ряда распределения. Мода и медиана, как правило, являются дополнительными к средней характеристиками совокупности и используются в математической статистике для анализа формы рядов распределения.

Аналогично медиане вычисляются значения признака, делящие совокупность на четыре равные (по числу единиц) части — квартели, на пять равных частей — квинтели, на десять частей — децели, на сто частей — перцентели. II. Расчетная часть 1. Условия задач (вариант 10) Задача 1. По первичным данным таблицы 9 (в методическом указании №5.5) определите средний размер розничного товарооботота в рас чёте на одно предприятие торговли. Укажите вид средней.

Таблица 9 № п/п Розничный товарооборот, млн.руб Издержки обращения, млн.руб А 1 2 1 510 30 2 560 33 3 800 46 4 465 31 5 225 16 6 390 25 7 640 39 8 405 26 9 200 15 10 425 34 11 570 37 12 472 28 13 250 19 14 665 38 15 650 36 16 620 35 17 380 24 18 550 38 19 750 44 20 660 36 21 450 27 22 563 34 23 400 26 24 553 38 25 772 45 Задача 2. Постройте статистический ряд распределения торговых предприятий по размеру товарооборота, образовав пять групп с равными интервалами, охарактеризовав их числом предприятий и удельным весом предприятий. По ряду распределения (п.2) рассчитайте средний размер розничного товарооборота на одно торговое предприятие, взвешивая значение варьирующегося признака: а) по числу предприятий; б) по удельному весу предприятий.

Сравните полученную среднюю с п.1 и поясните их расхождение. Задача 3. За отчётный год имеются данные о кредитных операциях банков (Табл. 10): Таблица 10 Кредитные операции банков Вид кредита Банк 1 Банк 2 годовая процентная ставка сумма кредита, млн руб годовая процентная ставка доход банка, млн руб краткосрочный 20 500 21 126 долгосрочный 16 150 15 30 Определите среднюю процентную ставку кредита: а) По каждому банку; б) По двум банкам. 2. Решение задач Задача 1. Для определения среднего размера розничного товарооборота на одно торговое предприятие воспользуемся формулой средней арифметической простой (т.к. имеются индивидуальные несгруппированные значения признака), где x1,x2,…xn – средний размер розничного товарооборота; n – число тороговых предприятий. , где x1=510,x2=560,…x25=772 – средний размер розничного товарооборота; n =25 – число торговых предприятий.

Средний размер розничного товарооборота в расчете на одно торговое предприятие равна 517 млн.руб. В решении данной задачи использовалась средняя арифметическая простая.

Задача 2. Для построения статистического ряда распределения торговых предприятий по размеру товарооборота с выделением 5 групп найдем величину равного интервала: Величина равного интервала определяется по формуле: , где xmax и xmin – максимальное и минимальное значение признака, n – число групп. где xmax=800, xmin=200 - максимальное и минимальное значение среднегодовой стоимости основных производственных фондов (млн. руб.) n=5 – группы торговых предприятий.

Путем прибавления величины интервала к минимальному значению признака в группе получим следующие группы торговых предприятий по размеру товарооборота (Табл. 11). Таблица 11 Ряд распределения торговых предприятий по размеру товарооборота № группы Группы предприятий по среднегодовой стоимости основных производственных фондов, млн.руб. число предприятий удельный вес центр интервала x f x` 1 200-320 3 0,12 260 2 320-440 5 0,20 380 3 440-560 6 0,24 500 4 560-680 8 0,32 620 5 680-800 3 0,12 740 Всего 25 1 а) По ряду распределения рассчитаем средний размер розничного товарооборота на одно торговое предприятие, взвешивая варианты признака по числу предприятий (Табл. 12): Таблица 12 Ряд распределения торговых предприятий по среднему размеру розничного товарооборота № группы Группы предприятий по среднегодовой стоимости основных производственных фондов, млн.руб. число предприятий центр интервала X f x` x`f 1 200-320 3 260 780 2 320-440 5 380 1900 3 440-560 6 500 3000 4 560-680 8 620 4960 5 680-800 3 740 2220 Всего 25 12860 Воспользуемся формулой средней арифметической взвешенной, выразим варианты одним (дискретным) числом, которое найдем как среднюю арифметическую простую из верхнего и нижнего значений интервала (центр интервала – x`). ; где - сумма произведений среднегодовой стоимости основных производственных фондов предприятий на их количество, - общее число предприятий. = млн.руб. Средний размер розничного товарооборота, взвешивая варианты признака по числу торговых предприятий равна: 514,4 млн.руб. б) По ряду распределения рассчитаем средний размер розничного товарооборота, взвешивая варианты признака по удельному весу торговых предприятий (табл.13). Воспользуемся формулой средней арифметической взвешенной, в качестве весов используем относительную величину (d) (удельный вес): ; где - сумма произведений среднего розничного товарооборота предприятий на их удельный вес, =1. 31,2+76+120+198,4+88,8 = 514,4 млн.руб. Средний размер розничного товарооборота, взвешивая варианты признака по удельному весу торговых предприятий равна: 514,4 млн.руб. Таблица 13 Ряд распределения торговых предприятий по среднему размеру розничного товарооборота № группы Группы предприятий по среднегодовой стоимости основных производственных фондов, млн.руб. число предприятий удельный вес центр интервала x F d x` x`d 1 200-320 3 0,12 260 31,2 2 320-440 5 0,20 380 76 3 440-560 6 0,24 500 120 4 560-680 8 0,32 620 198,4 5 680-800 3 0,12 740 88,8 Всего 25 1 514,4 При сравнении полученных в п.2 результатов средней с результатом, полученным в п.1 обнаруживаем небольшое расхождение, которое объясняется тем что в первом случае расчет проводился по формуле средней арифметической простой в расчете на одно предприятие, а во втором случае по формуле средней арифметической взвешенной по ряду распределения предприятий по среднему размеру розничного товарооборота с выделением пяти групп (интервалов). Для вычислений мы использовали средние значения в интервале (простая средняя между верхней и нижней границами каждого интервала). При таком исчислении средней допускается некоторая неточность, поскольку делается предположение о равномерности распределения единиц признака внутри группы.

Задача 3. Таблица 14 Вид кредита Банк 1 Банк 2 годовая процентная ставка сумма кредита, млн. руб. годовая процентная ставка доход банка, млн. руб. x f x w краткосрочный 20 500 21 126 долгосрочный 16 150 15 30 а) Расчет процентной ставки кредита Банка 1 будем производить по формуле средней арифметической взвешенной (табл.11), т.к. дано значение частоты (f) и значение признака (вариант) (x), но нет значения общего объема (М=xf). ,где x – годовая процентная ставка, f – сумма кредита.

Средняя процентная ставка кредита Банка 1 = 19,08%. Расчет процентной ставки кредита Банка 2 будем производить по формуле средней гармонической взвешенной (табл.11), т.к. дано значение признака (вариант) (x) и вес варианты х, объем осредняемого признака (w). , где где x – годовая процентная ставка, w – доход банка.

Средняя процентная ставка кредита Банка 2 = 19,5%. б) Расчет будем производить по формуле: - средняя процентная ставка по двум банкам.

III. Аналитическая часть.

В данной части курсовой работы проведены аналитические исследования в области дифференциации остатков во вкладах, с разным сроком хранения, с использованием средних величин, на примере ОКВКУ №8203151 Городского Отделения Сберегательного Банка РФ. Все используемые данные взяты за ноябрь 2004г. В ходе исследования использовались такие программные продукты, как MS Word и MS Excel. В ноябре 2004 в ОКВКУ (операционная касса вне кассового узла) 8203151 насчитывалось 20879 действующих счетов, с разными сроками хранения.

Общий остаток по всем действующим счетам составил 72283418,80 руб. Численный состав ОКВКУ 8203/0151 на ноябрь 2004 года составлял 8 ОКР (операционно-кассовый работник). Таблица 15 Учёт вкладов за ноябрь 2004 года Вид вклада Количество счетов Сумма (руб./руб. эквивалент) 42301 До востребования 10617 2225024,07 Пенсионный 14 106872,68 Срочный с ежем выпл дохода 5 19446,93 Школьный 9 468,72 валюта До востребования 13 20348,99 Всего 10658 2372161,39 42303 Сберегательный 1м 7 69206,68 Компенсационный 1997 2 6077,58 Депозит на 1м 1д 15 374574,79 валюта Евро-депозит на 1м и 1д 1 149305,6 Всего 25 599164,65 42304 Сберегательный 3д 29 470061,8 Срочный пенсионный 3м 1д 62 965447,39 Молодежный 16 322572,24 Особый на 3м и 1д 2 99898,02 Депозит 3м 1д 44 1501583,31 Пенсионный депозит 3м 1д 28 880214,18 валюта Пополняемый 3м 2 96619,28 Доллар-депозит на 3м и 1д 6 240718,21 Евро-депозит на 3м и 1д 2 127171,04 Всего 191 4704285,47 42305 Сберегательный на 6 м 11 346083,28 Срочный пенсионный 6м 12 454598,31 Депозит на 6м 74 2199973 Пенсионный депозит на 6м 72 2134114,33 валюта Пополняемый 6м 5 194184,95 Доллар-депозит на 6м 3 260597,46 Евро-депозит на 6м 7 392853,64 Всего 184 5982404,97 42306 Срочный пенсионный 1г 1м 274 7965948,92 Срочный пенсионный 1г 1м 370 45321,86 Компенсационный 871 21466,64 Пенсионный плюс 1926 24843749,7 Срочный пенсионный 2г 105 3644644,9 Накопительный 11 793989,83 Пополняемый 1г 1м 208 7282420,17 Особый на 2г 2 1229684,04 Пенсионный депозит на 1г и 1м 108 3199404,19 Пенсионный депозит 2г 8 387272,66 валюта Срочный 1 15475,81 Особый 1г и 1м 4 449959,93 Юбилейная рента на 2г 5 625524,65 Европейский 1 45557,62 Юбилейная рента на 1г и 1м 3 157316,57 Новый европейский 1г и 1м 2 57281,47 Новый европейский 2г 1 29861,12 Всего 3900 50794880,08 42307 Детский целевой 330 96804,82 Зарплатный 4448 2760513,62 Универсальный на 5 лет 1131 4873984,53 валюта Универсальный на 5 лет 11 47645,77 Всего 5920 7778948,74 Всего 20878 72231845,3 Данные статистических наблюдений сообщают информацию только о количестве счетов, с разными сроками хранения, и о сумме остатка каждой группы (в зависимости от срока) вкладов.

Однако если найти, а затем взвесить средний остаток во вкладе на общее количество вкладов, то можно проследить дифференциацию остатков во вкладах с разным сроком хранения.

Оценить общую картину распределения остатков позволяет гистограмма (рис.2). Столбики представляют средний остаток во вкладе.

Рисунок 2 Средний остаток во вкладе в зависимости от срока Условные обозначения: 42301 – бессрочные вклады; 42303 – 1 месяц, 1 месяц и 1 день; 42304 - 3 месяц, 3 месяц и 1 день; 42305 - 6 месяц; 42306 – 1 год, 2 года; 42307 – 5 лет, 10 лет. То есть наибольший остаток имеют вклады со сроком хранения 3 месяца и 1 день. Таблица 16 Распределение вкладов по сроку хранения Количество вкладов В % к общей численности вкладов Кумулятивный (накапливаемый процент) Всего 20878 100,0 42301 10658 51,0 51,0 42303 25 0,1 51,2 42304 191 0,9 52,1 42305 184 0,9 53,0 42306 3900 18,7 71,6 42307 5920 28,4 100,0 Таблица 17 Вспомогательная таблица для построения диаграммы соотношения валютных и рублёвых остатков вид валюта рубли 42301 1565,31 220,93 42303 149305,60 18744,13 42304 46450,85 23424,18 42305 56509,07 55470,69 42306 81233,95 12725,70 42307 4331,43 4309,45 Рисунок 3 Соотношение валютных и рублёвых остатков Таким образом, наблюдается резкая дифференциация средних остатков валютных и рублёвых вкладов.

За ноябрь 2004 года ОКР ОКВКУ 8203151 обслуживали в среднем 2610 вкладов на человека.

И все же традиционно в аналитической работе используется среднее.

Поэтому актуальной становится задача корректного вычисления этого показателя, то есть с учетом того, что оценка среднего очень чувствительна к экстремальным значениям. Вычисление среднего, сравнение групповых средних допустимо только для переменных с так называемым нормальным распределением.

В существующей практике органами статистики среднее вычисляется без проверки характера распределения, хотя последнее может оказаться не похожим на нормальное.

Это может привести к ошибочным выводам, особенно когда распределение значительно отклоняется от нормального.

Плотность нормального распределения представляет симметричную кривую, в которой численности растут до максимума, а потом с такой же постепенностью убывают.

Приведение данных к нормальному распределению заключается в преобразовании исходных данных - логарифмировании, возведении в степень, извлечении корня и т.п.