Интегральная формула Лапласа

Интегральная формула Лапласа.

Локальная теорема Лапласа имеет важное значение, однако ее практическое значение ограничено. На практике важно знать вероятность того, что событие Е произойдет число раз, заданное в определенных пределах.

Пример: Вероятность приобретения покупателями мужской обуви от 80 до 120 человек из 1000. , то есть, равна сумме вероятностей несовместных событий покупки 1000 посетителей конкретного числа пар обуви в пределах от 80 до 120 пар обуви. Каждое из слагаемых определяется по локальной формуле Лапласа. Высокая трудоемкость задачи очевидна, поэтому рациональным способом решения задачи является интегрирование локальной функции Лапласа.

Если вероятность p появления событий Е в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1 , то, при этом Интегрированная функция описывает распределение вероятности полной группы событий, поэтому ее общая площадь в пределах изменения t от до равна 1. Поскольку функция асимптотически приближается к оси абсцисс в пределах изменения t от до -5, а так же от +5 до считается, что единице равна площадь кривой в пределах ординат. Значения функции даны в приложении 3, они указаны в пределах от –t до +t. Пример: от 80 до 120 Таким образом, в 84 случаях из 100. Складывая и вычитая площади, определенные по таблицам всегда можно получить необходимый результат. 12. Зависимые события.

Гипергеометрическое распределение. Для вывода функции гипергеометрического распределения проводятся испытания (выборка) по схеме невозвращающегося шара. В этом случае вероятность появления события Е k-раз в n зависимых испытаниях подвергается влиянию не только числа отбираемых единиц n, но и численности всей генеральной совокупности N. Если p доля единиц генеральной совокупности, обладающих изучаемым признаком, а q – доля необладающих этим признаком, то вероятность появления события Е k раз n зависимых испытаний определяется по формуле: , где - число сочетаний из pN=M элементов генеральной совокупности, обладающих изучаемым признаком по k; - число сочетаний из qN=N-M единиц, необладающих изучаемым признаком n-k единиц; - число исходов, удовлетворяющих и неудовлетворяющих данному испытанию. Математическое ожидание гипергеометрического распределения не зависит от объема генеральной совокупности и как в биномиальном распределении определяется по формуле: , где - корректирует дисперсию при бесповторном отборе в зависимости от численности выборки и генеральной совокупности.

Если численность генеральной совокупности достаточно велика, то, в этом случае, то, то есть, зная параметры биномиального распределения всегда можно рассчитать параметры гипергеометрического. 13. Нормальное распределение.

Нормальное распределение – это наиболее важный вид распределения в статистике.

Нормально распределяются значения признака под воздействием множества различных причин, которые практически не взаимосвязаны друг с другом и влияние каждой из которых сравнительно мало, по сравнению с действием всех остальных факторов. Нормальное распределение отражает вариацию значений признака у единиц однородной совокупности. Подобное распределение наблюдается преимущественно в естественно-научных испытаниях (измерение роста, веса). В социально-экономических явлениях нормального распределения данные встречаются редко.

Здесь всегда присутствуют причины существенным образом влияющие на уровень изучаемого признака (результат управленческого воздействия). Тем не менее, гипотеза о нормальном распределении исходных данных лежит в основе методологии анализа взаимосвязей выборочного метода и многих других статистических методов. При достаточно большом числе испытаний нормальная кривая служит пределом, к которому стремятся многие виды распределения, в том числе биномиальное и гипергеометрическое.

Нормальное распределение выражается функцией вида: Данная функция характеризует плотность нормального распределения вероятности, ее математическое ожидание, а показатель степени – стандартное значение отклонений эмпирических данных от среднеарифметических. Масштабирование данных кривой по оси x осуществляется величинами среднеквадратического отклонения. Так как показатель степени функции возведет в четную степень, функция положительна, кривая симметрична относительно средней, то есть показатель асимметрии равен. Показатель эксцесса кривой нормального распределения так же равен 0. Значения параметров и влияют на форму и положение графика на координатной плоскости.

С изменением при кривая скользит вдоль оси x. С изменением при чем больше тем более плосковершинной становится нормальная кривая. Нормальная кривая имеет точки перегиба с координатами. Площадь, ограниченная функцией и ординатами, проведенными из точек с координатами: составляет 0,6827 площади всей кривой; - 0,9545 площади всей кривой; - 0,9973 площади всей кривой. 14. Сравнительная оценка параметров эмпирического и нормального распределений.

Критерий Пирсона. Нормальный характер распределения свидетельствует о количественной однородности статистических данных и об отсутствии каких-либо причин существенным образом определяющих вариацию изучаемого явления.

Поэтому статистический анализ нередко начинается с проверки того, как фактически (эмпирически) данные ложатся на идеальную теоретическую кривую или апроксимируются (то есть выражение данных какой-либо кривой) сравнение эмпирических и теоретических данных. Производится путем оценки гипотезы нормального характера распределения. Вероятностные статистические предположения выдвигаются в виде нулевой гипотезы. Отклонения данных эмпирических от нормальных носят случайный характер. Оценку нулевой гипотезы в данном случае осуществляют графическим методом или путем расчета специальных обобщающих показателей сходства, называемых критериями согласия.

Независимо от выбранного метода генеральные ряды распределения преобразуются в дискретные и стандартизируются. Пример: Известно, что среднемесячная заработная плата всех рабочих =1402,42 руб среднеквадратическое отклонение =338,58 руб. Данные распределения среднемесячной заработной платы. Средне-месячная заработная плата Число раб-ков, (эмпир.) (теор.) До 700 16 600 -2,37 -2,81 0,0241 12,93 3,07 9,41 0,73 700,1-900 56 800 -1,78 -1,58 0,0819 44,04 11,96 142,95 3,25 900,1-1100 89 1000 -1,19 -0,71 0,1969 105,82 -16,82 282,90 2,67 1100,1-1300 172 1200 -0,60 -0,18 0,3337 179,35 -7,35 54,05 0,30 1300,1-1500 244 1400 -0,01 0,00 0,3989 214,44 29,56 873,70 4,07 1500,1-1700 163 1600 0,58 -0,17 0,3365 180,87 -17,87 319,44 1,77 1700,1-1900 93 1800 1,17 -0,69 0,2002 107,62 -14,62 213,80 1,99 1900,1-2100 64 2000 1,76 -1,56 0,0840 45,17 18,83 354,42 7,85 Свыше 2100,1 13 2200 2,36 -2,77 0,0249 13,38 -0,38 0,14 0,01 Итого 910 22,63 В связи с тем, что табличные значения рассчитаны для непрерывно изменяющегося признака с дисперсией равной 1, необходимо скорректировать полученные частости на фактическую величину интервала и среднеквадратическое отклонение. , где величина интервала. Так как все интервалы равны, тогда. Графики не позволяют определить насколько существенны отклонения, поэтому более точным считается способ расчета критериев согласия.

Наиболее известный из них: В соответствии с формулой, чем сильнее совпадение кривых, тем меньше величина. При отсутствии отклонений, но даже при небольших отклонениях величина зависит от числа слагаемых (то есть от числа групп). Если >0, то необходима его вероятностная оценка (стр. 368). - число степеней свободы и заданная вероятность несущественности отклонений эмпирических данных и теоретических. r – число групп, k - число параметров, которые нельзя изменить.

Поскольку фактическое значение (22,63) гораздо больше табличного (5,348) даже для вероятности 0,5, гипотеза о случайном характере отклонений эмпирических данных от теоретических отклоняется.