Расчет бесшарнирной арки на неподвижную нагрузку

Основная система.Бесшарнирная арка трижды статически не­определима. Рассмотрим расчет симметричной арки в случае дей­ствия нагрузки в плоскости ее оси (рис. 222, а). За основную при­нимаем симметричную систему в виде двух раздельных криволи­нейных консолей (рис. 222, б). Используя симметрию, разрезаем арку в замке и в качестве пер­вых неизвестных принимаем силы и моменты взаимодействия: Z₁ (про­дольные силы), Z₂ (моменты) и Z₃ (поперечные силы). Канонические уравнения для этих неизвестных будут иметь такой вид:

(а)

Общая система трех каноничес­ких уравнений по выражению (а) распадается на две группы: в первую группу входят симметричные неизвестные Z₁ и Z₂; вторая группа содержит лишь одно обратно-симметричное неизвестное Z₃ (рис. 223, а —в).

Нетрудно видеть, что при данном выборе неизвестных Поэтому переходим к новой системе неизвестных X_1, X₂ и Х₃, несколько преобразуя основную систему. К сечениям проведенного в замке разреза присоединяем невесомые и абсолютно жесткие консоли длиной с. К концам этих консолей и прикладываем силы взаимодействия X_l,X₂ и Х₃ (рис. 224).

 

Консоли считаем абсолютно жесткими и невесомыми, чтобы не вводить добавочных перемещений их концов сравнительно с замко­выми точками оси арки и добавочных усилий. Система сил Х₁, X₂ и X₃ должна быть статически и кинематически эквивалентна системе сил Z₁, Z₂ и Z₃. Из сопоставления рис. 224 и 222, б получаем:

(б)

Формулы (б) дают соотношения между старыми и новыми не­известными.

Таким образом, момент в замке Z₂ выражается как разность между моментом на конце консолей Х₂ и моментом от горизонталь­ных сил взаимодействия Х₁. Так как из условия равновесия Х₁=Н, то неизвестное Х₁ называют распором. Система уравнений для сим­метричных неизвестных Х₁ и Х₂ такова:

(в)

 

Длину введенных консолей с выбираем так, чтобы побочное пере­мещение δ₁₂ в системе (в) равнялось нулю.

Для вывода выражения δ₁₂ используем эпюры моментов в еди­ничных состояниях. Если распор будет приложен на конце консолей (рис. 225, а, б), то при соответствующем выборе длины с легко добиться равенства нулю δ₁₂. Моментыв произвольном сечении бруса:

где y1- ордината оси арки относи­тельно линии действия распора Х₁.

Выражение для б₁₂ при подстанов­кебудет

(г)

Приравняв δ₁₂ в выражении (г) нулю, получим равенство для опре­деления с:

(Д)

где s —вся длина оси арки.

Из выражения (д) получаем, при­нимая во внимание симметрию арки,

откуда длина абсолютно жесткой консоли

Мы получили формулу для определения длины введенной консоли основной системы по рис. 224.

Примем ds/(EI) за величину фиктивной элементарной горизон­тальной силы, сосредоточенной в центре элемента оси арки дли­ной ds (рис. 225, в). Тогда числитель формулы (16) будет пред­ставлять собой момент фиктивных горизонтальных сил ds/(EI) относительно центра замка (точки S), а знаменатель — сумму фиктивных сил по длине оси арки. Тем самым определяется вертикальная коор­дината точки приложения равнодействующей фиктивных сил упру­гих грузов в состоянии - точки D. Поэтому эту точку — центр тяжести упругих грузов — часто называют упругим цент­ром.

Положение упругого центра в различных случаях. Дадим опре­деление координаты упругого центра в различных случаях.

Если момент инерции сечения параболической арки меняется по закону косинуса:

то координата упругого центра

(е)

Пусть ось арки—кубическая парабола, уравнение которой (по Маннингу)

(17)

где μ — заданный параметр (μ меняется от 0 до 1,4); закон изме­нения момента инерции по Риттеру

(18)

где β — заданный параметр закона изменения момента инерции (β меняется от 0 до —1). При β = 0 момент инерции меняется по закону косинуса. Уравнение (17) охватывает большое семейство очертаний оси арок. Пользуясь формулой (16) и выражениями (17) и (18), получаем после интегрирования следующее общее выражение для координаты упругого центра в случае очертания оси по уравнению (17):

(19)

По формуле (19) определяем с для данных μ и β.

Расчет арок на неподвижную нагрузку. После выбора лишних неизвестных с таким расчетом, чтобы все побочные перемещения были равны нулю, канонические уравнения принимают такой вид:

(20)

Влияниемпренебрегаем.

По рис. 225, а, б и 223, в находим выражения для внутренних сил в произвольном сечении основной системы:

Тогда единичные перемещения будут:

где s/2 — длина половины оси арки.

Перемещения от нагрузки, если пренебречь влиянием N_р и Q_p, составят:

Подставляя выражения для перемещений (определяемых спосо­бом точного или приближенного интегрирования) в канонические уравнения (20), находим лишние неизвестные, после чего пере­ходим к отысканию усилий в произвольном сечении арки.