Построение линии влияния распора двухшарнирной арки методом упругих грузов

Построение линии влияния Х₁ сводится к отысканию линии про­гибов основной системы, что в самом общем случае произвольного очертания оси легко проделать, используя метод упругих грузов:

1. Заменяем заданный криволинейный стержень ломаным, раз­бивая на равные части пролет арки или ее ось. На рис. 220, а пролет арки расчленен на 12 равных участков. Находим ординаты узловых точек ломаного стержня у_n, значения тригонометрических функций углов наклона всех элементов s_n с осью абсцисс (углов φn), моменты инерции и площади сечений I_n, F_n для средних (проме­жуточных) точек между узлами.

2. В общем случае учитываем влияние и продольных сил. Тогда для подсчета упругого груза W'„ пользуемся формулой

(а)

где M_n и N_n—соответственно изгибающий момент и продольная сила в состоянии действия силы

(б)

— угол наклона элемента s_n с нормалью к направлению искомого перемещения (для вертикальных перемещений для горизонтальных -βn= 9О° — φn).

Обычно задается закон изменения момента инерциигде —какая-либо функция от х (например, ); I₀ — момент инерции в замке. Тогда для случая арки, сечение которой имеет постоянную ширину,

Сделаем эти подстановки и, кроме того, умножим обе части выра­жения (а) на 6EI₀:

 

Рассмотрим теперь развернутое выражение упругого груза для построения упругой линии арки в состоянии действия силыХ₁ = 1. Подставим значения усилий по выражению (б):

(в)

Деля обе части формулы (в) на 6ЕI₀, мы получим выражение для промежуточного упругого груза.

В первых двух скобках правой части выражения (в) отражено влияние моментов, в третьей — влияние продольных сил. При отыска­нии вертикальных перемещений направляем грузы W_n вниз, если выражение (в) дает знак плюс (рис. 220, б). При этом для случая вертикальных перемещений β_n = φ_n, т.е. углу наклона элемента s_n к горизонтали.

При отыскании горизонтальных перемещений используем то же выражение (в), но с заменой tg β_n на 1/ tg φ_n; меняется только влияние продольных сил W_n,_N, влияние же моментов W_n,M остается постоянным. Таким образом (рис. 220, в), при отыскании горизон­тальных перемещений имеем следующее выражение для упругого груза:

Для верхнего упругого груза W₀ учитываем только выражение, соответствующее элементу s_n+1. Для среднего упругого груза влия­ние продольных сил берем в каждом члене с одинаковым знаком.

3. Определив величины всех упругих грузов W_n, переходим к построению линии прогибов δ_p1. Приложив систему вертикальных фиктивных сил W_п к простой двухопорной балке, найдем эпюру
фиктивных моментов М_Ф (рис. 220, б).

4. Отыскиваем δ₁₁ — горизонтальное перемещение подвижной споры. Для этого, используя симметрию в изогнутой оси арки (угол наклона упругой линии арки в замке равен нулю), представляем левую ветвь линии горизонтальных перемещений арки, вводя за­делку в замке и освобождая левую опору (рис. 220, в). Горизонталь­ное перемещение свободного конца этой половины стержня и дает δ₁₁/2. Для нахождения этого перемещения вводим условное соору­жение— консоль с заделкой внизу и свободным концом в замке. Упругие грузы, подсчитанные по формуле (г), прикладываются по горизонтальному направлению. Средний упругий груз делится на 2.

Тогда фиктивный момент от горизонтальных сил относительно точки О будет

5. Деля ординаты эпюры фиктивных моментов Мф на значение 2Моф, получаем ординаты линии влияния X₁.