(1), где
- перемещение по радиальному направлению;
- угловая координата сечения;
M – изгибающий момент;
EI – жесткость сечения при изгибе;
r – радиус очертания оси арки.
Наименьшей критической нагрузке соответствует кососимметричная форма потери устойчивости.
Изгибающий момент в любом сечении арки:
.
ДУ (1) имеет вид:
, где
, .(2).
Общее решение ДУ (2):
.
Граничные условия для определения C1, C2, C3:
1) при, ;
2) при, ;
3) при, .
Получим .
Определитель из коэффициентов равен 0.
ДУ изгиба круговой арки
(1)
, , , , .
Изгибающий момент в произвольном сечении арки:
.
При потери устойчивости опоры поворачиваются на какой-то угол :
.
Уравнение круговой арки при потери устойчивости:
.
Общее решение:
.
Найдем A, B, C:
C зависит от угла поворота:
.
Граничные условия:
1) , , ;
2) , ;
;
;
;
Сократим на k:
;
.
1) , :
При потеря устойчивости не произошло, невозможно найти .
2) , , ,
составим определитель из коэффициентов при неизвестных которые приравниваются к 0:
,
.
Получаем уравнение устойчивости:
,
решая методом подбора при заданном получаем:
.