ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ.

Методические указания.При построении эпюр Q_x, M_x, EIφ_x=_x, EIy_x=_x, использовать дифференциальные зависимости:

где φ_x – угол наклона, y_x – ордината упругой линии.

Задача № 16.Построить эпюры Q_x и М_х и подобрать сечение двутавровой балки в случае, изображенном на рис. 14, а, если [σ] = =1500кГ/см². Определить величину прогиба посредине балки, если Е=2·10⁶ кГ/см².

Решение. Определяем реакции А=-2 т, В=-4 т. Строим эпюры Q и М (см. рисунок 14, б). Если Q возрастает (правая половина балки) - эпюра М имеет выпуклость вниз. Там, где Q=0, M_min=-2·3 + 3 - 1 =-4 тм. По сортаменту при [σ]=1500 кГ/см² имеем двутавр № 27а с моментом инерции I=5500 см². Запишем уравнение равенства прогиба на правой опоре (рисунок 14, г):

откуда ₀=8,625; _с=8,625 – 2(3³/6)=-0,375 тм³. Найдем величину прогиба посредине балки:

Рисунок 14

Задача №17. Построить эпюры Q и М и найти величину прогиба в точке k посредине пролета, подобрав размер сечения двутавровой балки, если [σ]=1970 кГ/см², E=2·10⁶ кГ/см² для нагрузки, представленной на рисунке 15, а.

Рисунок 15.

Решение. A=6,5 т, В=1,5 т, Строим эпюры Q и M (см. рисунок 15, б, в). |M_max|=4 тм, W=203 см³. Итак, следует взять двутавровую балку № 20а (I=2030 см⁴); EI=2·10⁶·2030=4,06·10⁹; EIφ₀=0,67 тм²; EIy_k=-1,65 тм³, y_k=-0,412 см.

Задача № 18. При действии двух сосредоточенных сил (Р=30 т) построить эпюры Q и М, подобрать сечение двутавровой балки, если [σ]=1550 кГ/см², и найти направление и величину σ_max в опасной точке опасного сечения. Определить здесь τ_m_ах (рисунок 16, а).

Рисунок 16.

Решение. Эпюры Q и М даны на рисунке 16, б. Q_max=P=30 т, М_max=24 тм. Необходимый момент сопротивления W=М/[σ]=1550 см³; берем двутавровую балку с сечением № 50; I=39 290 см⁴; S_0,5=905; S_пол=626 см³. Напряжения в поперечном сечении балки в месте перехода от стенки к полке будут равны: σ_k=1530; τ_k=505 кГ/см².

Найдем главное напряжение (см. рисунок 16, в)

Задача № 19. Построить эпюры Q и М, подобрать сечение двутавровой балки при [σ]=1390 кГ/см² и определить величину прогиба свободного конца балки, если E=2·10⁶ кГ/см² (рисунок 17, а).

Рисунок 17.

Решение. Найдя реакции А=6 т и М=-4 тм,, строим эпюры Q и М (рисунок 17, б). Необходимый момент сопротивления W=400000/1390=288; берем двутавровую балку с сечением № 24. Тогда I=3460 см⁴; EI=6,92·10⁹ кГ·см²;

Общий вид изогнутой оси дан на рисунке 17, в.

Рисунок 18.

Задача № 20. Построить эпюры Q и М. Найти М_max. Подобрать размер сечения двутавровой балки, если [σ]=1420 кГ/см²(рисунок 18, а).

Ответ. реакции A=1 т; В=-3 т; M_max=5,25 тм (рисунок 18, б). Следовательно, берем двутавровую балку с сечением № 27.

Рисунок 19.

Задача № 21. Построить эпюры Q и М и найти величину прогиба свободного конца балки, выразив его через EI=const (рисунок 19, а).

Ответ: реакции А=0, М_о=-(ql²/4). Эпюры Q и M даны на рисунке 19, б. Величина наибольшего прогиба

Рисунок 20.

Задача № 22. Построить эпюры Q и М при действии на балку неравномерно распределенной нагрузки (рисунок 20, а).

Ответ: реакции А=0, М_о=ql²/6. Эпюры Q и М изображены на рисунке 20, б. Запишем уравнение интенсивности для q_x:

уравнение поперечной силы для Q_x:

уравнение изгибающего момента для M_x:

Эти уравнения получены по методу начальных параметров.

Задача № 23. Определить величину прогиба свободного конца консоли ступенчатой балки (рисунок 21, а), если I₂=1/6 I₁, m=Ра, с=2а. Выразить ее в зависимости от I₁.

Решение. Определяем реакции А=В=m/2а. Строим эпюры Q и М (рисунок 21, б). Находим скачки во 2-й и 3-й производных y в месте у правой опоры (N₂ и N₃ соответственно):

Находим ₀=EI₁φ₀ из условия равенства нулю величины прогиба на правой опоре:

откуда EI₁φ₀=-4/3 ma. Величина прогиба с учетом жесткости в середине пролета равна EI₁y_c=-3/4 mа². Для конца консоли по методу учета скачков в производных и приводя к Е1₁, имеем:

Последние два члена в этом выражении учитывают влияние скачков производных упругой линии. Итак, для ступенчатого бруса получаем EI₁y_k=-0,167 ma², а для бруса с постоянным сечением EI₁y_k=-1,333 ma².

Рисунок 21.

Глава 5.