Геометрическая оптика

Физические основы оптики, часть 2-я

Лекция 1

Геометрическая оптика

Специфика оптического диапазона заключается в двух особенностях: - в оптическом диапазоне выполняются законы геометрической оптики, - в оптическом диапазоне свет очень слабо взаимодей ствует с веществом.

Рис. 1

Отношение синуса угла падения к синусу угла преломления не зависит от величины этих углов, а зависит только от свойств соприкасающихся сред и есть величина постоянная для данных двух сред при данной температуре и данном давлении для лучей данной длины волны. Это постоянное для данной пары сред отношение называется относительным показателем преломления одной среды относительно другой: sine/sine^’ =n_1,2 . Показатель преломления данной среды по отношению к пустоте называется абсолютным показателем преломления среды или просто показателем преломления сред.

Введем понятие оптической длины светового луча в данной среде:

L =n*s,

Если луч света проходит от точки А до В¢ через несколько однородных сред с показателями преломления n₁ , n₂ , n₃ , n₄ , n₅ , то оптическая длина пути луча между точками А и В¢ будет равна сумме оптических длин в каждой из сред: L = n₁*s₁ + n₂*s₂ +n₃*s₃ +n₄*s₄ +n₅*s₅ .

В общем случае, когда свет проходит через k однородных сред

к

L = å (n_n*s_n ).

n=1

Т.е. оптическая длина луча есть сумма произведений расстояний, последовательно проходимых лучом в различных средах, на показатели преломления соответствующих сред.

При l ® 0 и в предположении, что свет распространяется в однородных и изотропных средах, уравнение волнового поля имеет вид:

(grad L )² = n² или

Функцию L(r) называют эйконалом, а приведенное уравнение - уравнением эйконала , r – радиус- вектор луча.

Положение луча в пространстве предметов определяется четырьмя параметрами х, у, m, n - направляющие косинусы, т.е. косинусы углов, которые луч составляет с оптической осью. Положение луча в пространстве изображений определяется четырьмя параметрами х’, у’, m’, n’. Если известны конструктивные параметры оптической системы и четыре параметра, определяющие положение луча, мы можем вычислить оптическую длину луча между двумя точками L, а значит, мы можем рассматривать L как функцию четырех независимых параметров из 8-ми. Возможно 16 таких комбинаций.

В явном виде эту функцию можно найти только в немногих простейших случаях.

Наибольшее распространение получили три эйконала, являющиеся функциями следующих групп параметров:

1- х, y, х’, y’;

2- m, n, m’, n’,

3- х, y, m’, n’,

1-й эйконал носит название координатного эйконала Брунса.

E₁ =L (х. y, `х’,`y’)

Точки А и А’, между которыми определяется оптическая длина пути, являются несопряженными точками. Они произвольно выбираются в несопряженных плоскостях, перпендикулярных оптической оси, в пространствах предметов и изображений.

2-й эйконал носит название углового эйконала. Сопряженные точки А и А’ определяются следующим образом: из точек О и О’ опускаем перпендикуляры на направление луча в обоих пространствах, определяемые косинусами углов с осями m, n, m’, n’. Функция этих косинусов, численное значение которой определяет оптическую длину луча между основаниями перпендикуляров, и является угловым эйконалом.

E₂ =L (m, n, m’, n’).

3-й эйконал- эйконал со смешанными переменными – это функция, определяющая оптическую длину луча от точки А пересечения его с плоскостью, перпендикулярной оптической оси, до точки основания перпендикуляра, опущенного из О’ на направление луча.

E₃ =L(х, y, m’, n’).

Однородность и изотропность не соблюдаются в точках изображения предметов, а также при прохождении света в мутных и неоднородных средах. В этих случаях законы геометрической оптики не применимы.

Лекция 2

Светящаяся точка - источник излучения, не имеющий размеров (с физической точки зрения - источник излучения, размерами которого можно пренебречь); … световой луч - линия, вдоль которой распространяется энергия излучения (в… конгруэнция – система кривых, заполняющих некоторую часть пространства так, что через каждую точку этой части…

Рис. 2. Астигматический пучок

 

Совокупность лучей астигматического пучка называют конусом Штурма.

Центр гомоцентрического пучка, входящего в оптическую систему, называется предметной точкой, а центр гомоцентрического пучка, выходящего из оптической системы, называется изображением предметной точки.

Всякий предмет и его изображение в геометрической оптике рассматриваются как совокупность предметных точек и их изображений, т.е. для того чтобы найти изображение того или иного предмета. надо найти изображения его отдельных точек. Если после прохождения через оптическую систему пучки лучей сохраняют гомоцентричность, то каждой точке предмета соответствует только одна точка изображения. Две точки, одна из которых является изображением другой, называют сопряженными. Обозначают их одинаковыми буквами, только относящиеся к точкам изображения дополняют штрихами.

Изображение, образованное пересечением самих лучей, называют действительным (пучок имеет действительный фокус), а изображение, образованное пересечением их геометрических продолжений – мнимым (пучок имеет мнимый фокус). Действительное изображение может быть спроектировано на экран, мнимое - не может, но глазом оно может быть рассмотрено так же, как действительное.

Пространство, в котором находятся точки предметов, называется пространством предметов, а пространство, в котором находятся изображения точек пространства предметов, называется пространством изображений.

Оптической системой в геометрической оптике называют совокупность оптических деталей, предназначенную для формирования пучков световых лучей.

ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ.

Первый основной закон геометрической оптики - закон прямолинейного распространения света. Он гласит: свет между двумя точками в однородной изотропной среде распространяется по прямой, соединяющей эти точки.

На основе этого закона объясняют возникновение теней и полутеней, солнечные и лунные затмения. Все точные астрономические, геодезические и физические измерения основаны на применении этого закона. Этот закон не применим в тех случаях, когда пучок лучей проходит либо через диафрагму с очень малым отверстием, либо через край любой диафрагмы. В этих случаях лучи отклоняются от прямолинейного пути вследствие дифракции, а геометрическая оптика не считается с этим явлением.

Закон независимого распространения лучей - отдельные лучи и пучки, встречаясь и пересекаясь друг с другом, не оказывают взаимного влияния. В частности, если несколько пучков попадают на одну и туже площадку, то их действия складываются. Интерференцией при этом пренебрегают.

При переходе из одной среды в другую часть лучей отражается, часть преломляется.

А^’

e^’ О

-e

A

Рис. 3

Закон отражения:

1) Луч падающий, нормаль к отражающей поверхности в точке падения и луч отраженный лежат в одной плоскости.

2) Угол отражения по абсолютной величине равен углу падения.

3) Луч падающий и луч отраженный обратимы.

Закон преломления:

1) Луч падающий, нормаль к поверхности раздела в точке падения и луч преломленный лежат в одной плоскости.

2) Произведение показателя преломления среды на синус угла падения есть величина постоянная при переходе луча из одной среды в другую, т.е.

nsine=n¢ sine¢.

3) Луч падающий и луч преломленный обратимы.

В тех случаях, когда свет распространяется из более плотной среды в менее плотную ( n¢Ðn) при определении значений углов падения e происходит явление полного внутреннего отражения, т.е. пучок не проходит во вторую среду, а отражается от границы раздела. Предельное значение e_m , при котором луч начинает скользить по границе раздела, определяют по формуле: sine_m =n¢ / n.

Закон отражения можно рассматривать как частный случай закона преломления при условии n¢ =- n. В векторном виде: закон отражения -

® ® ® ®

[ A N] = [ A¢ N¢] - в квадратных скобках - векторное произведение единичных векторов падающего и отраженного лучей и единичного вектора нормали;

закон преломления-

® ® ® ®

n [ A N] = n¢ [ A¢ N¢].

1. Теорема Малюса-Дюпена: совокупность лучей, относящихся к одной волновой поверхности, остается совокупностью лучей, связанных с определенной волновой поверхностью, после любого числа преломлений и отражений. Другая формулировка: нормальная конгруэнция сохраняет свойства нормальной конгруэнции при прохождении различных сред.

2. Принцип Ферма. Рассмотрим распространение луча от точки А до несопряженной с ней точки В¢. В соответствии с принципом Ферма:

Оптическая длина хода луча, соединяющая две несопряженные точки, имеет всегда экстремальное значение по сравнению с другими путями, близкими к истинному пути луча.

,

3. Принцип таутохронизма. Оптическая длина любого луча между двумя волновыми поверхностями есть величина постоянная.

4. Интегральный инвариант Лагранжа.

Инварианты – это соотношения, которые сохраняют свой вид при изменении каких-либо условий.

Пусть имеется некоторая нормальная конгруэнция (пучок лучей) и произвольные точки в пространстве Р₁ и Р₂.

 

 

Рис.4.

 

 

Положение точек определяет радиус - вектор r, а направление – оптический лучевой вектор q. Соединим эти точки линией и найдем криволинейный интеграл, используя оптический лучевой вектор qирадиус-вектор r :

.

В соответствии с интегральным инвариантом Лагранжа значение этого криволинейного интеграла не зависит от пути интегрирования.

5. Дифференциальный инвариант Лагранжа. Радиус-вектор r определяется тремя линейными координатами: x, y, z, а оптический вектор q– тремя угловыми координатами X, Y, Z (произведение направляющих косинусов на показатель преломления). Таким образом имеется 6 параметров, определяющих положение луча в пространстве, из которых независимыми являются четыре.

Введем величину I :

где U и V – пара любых из шести параметров.

В соответствии с дифференциальным инвариантом Лагранжа величина I сохраняет свое значение для данного луча при распространении пучка лучей через любую совокупность оптических сред.

6. Инвариант Штраубеля. Рассмотрим в пространстве бесконечно малые площадки dS₁ и dS₂ , находящиеся на некотором расстоянии друг от друга.

 

Рис. 5

Обозначим через a₁ и a₂ углы между нормалями к площадкам и направлением луча. Если мы соединим все точки краев площадок друг с другом, то получим лучевую или световую трубку. Геометрический фактор лучевой трубки записывается так:

Геометрический фактор остается инвариантным при распространении лучевой трубки через любую последовательность различных сред. Инвариант Штраубеля выражает закон сохранения энергии, так как констатирует неизменность лучистого потока.