Волновые аберрации

Если оптическая система свободна от аберраций, т.е. является идеальной, то волновая поверхность в пространстве изображений будет иметь сферическую форму. При наличии аберраций волновая поверхность деформируется.

 

 

Отступление такой деформированной поверхности от сферической называется волновой аберрацией. Сферическая волновая поверхность, соответствующая параксиальному изображению, называется сферой сравнения (R’).

В зарубежной литературе иногда под волновыми аберрациями понимают оптические отклонения волнового фронта от сферы сравнения, т.е. произведение геометрических отклонений на показатель преломления п пространства изображений.

Геометрические аберрации – это отклонение координат точки пересечения реального луча с плоскостью изображения от координат точки соответствующего идеального изображения.

Геометрические аберрации представляются в виде поперечных и продольных аберраций. Поперечные аберрации – это отклонения в направлении, перпендикулярном оптической оси: dу’ и dz’. Продольные аберрации – отклонения координаты пересечения реального луча с оптической осью от координаты идеального изображения вдоль оси.

Поперечные аберрации связаны с волновыми следующим образом:

m’ M’

N = =dW=1/R’[ ò dy’dm’ +ò dх’dM’];

0 0

где m’ и M’ – высоты луча на выходном зрачке.

 

Геометрические аберрации могут быть получены сравнением координат изображения, вычисленных по точным формулам и по формулам параксиальной оптики. Аберрации ОС разделяют на монохроматические и на хроматические.

Монохроматические аберрации характеризуют отступление реальных систем от идеальных для лучей определенной длины волны.

Хроматические аберрации являются следствием дисперсии лучей при прохождении через границы раздела прозрачных сред. В результате изображение состоит из большого числа монохроматических изображений, не совпадающих между собой как по положению, так и по величине.

Процесс устранения аберраций называется корригированием ОС. При разработке новых приборов могут быть использованы компоненты ОС, применяемые в других приборах, или рассчитаны новые. В 1-м случае конструктивные элементы ОС известны, и нахождение аберраций не представляет трудностей. Во 2-м случае необходимо решить обратную задачу – найти параметры системы по заданным аберрациям.

Среди монохроматических аберраций по характеру деформации изображения различают пять аберраций:

сферическую аберрацию,

кому,

астигматизм,

кривизну поля,

дисторсию.

Сферической аберрацией называется нарушение гомоцентричности пучков лучей, прошедших через ОС без нарушения симметрии строения этих пучков.

Сферическая аберрация определяется для пучка лучей, выходящих из точки предмета, расположенной на оптической оси.

Величину dS’= S’-S’₀ , равную расстоянию по оптической оси между точками, в которых пересекают ось параксиальный и действительный лучи, называют продольной сферической аберрацией. Лучи, для которых определяют сферическую аберрацию, называют крайними лучами. Величина dy’=dS’tgs’ называется поперечной сферической аберрацией. В плоскости изображения вследствии сферической аберрации образуется кружок рассеяния диаметром d’: d’ =2dS’tgs’;

При S₁ = - ¥ d’»2h₁ dS’/f’.

Наименьший кружок рассеяния находится на некотором расстоянии от идеального изображения А’. Однако наилучшее изображение точки не всегда совпадает с положением, соответствующим минимальному кружку. Изображение считают лучшим, если распределение энергии в нем близко к распределению энергии идеальных систем. Плоскость, в которой это изображение находится, называют плоскостью наилучшей установки.

Сферическую аберрацию представляют графически.

m (tgs’)

 

 

 

dS’, мм

При построении графика поперечной аберрации по оси абсцисс откладывают dy’.

Положительная линза вносит отрицательную сферическую аберрацию, отрицательная – положительную. Комбинируя линзы различной оптической силы можно устранить сферическую аберрацию.

Для монохроматических лучей сферическая аберрация полностью определяет качество изображения в центре поля. Но для точек вне оси, даже находящихся вблизи оси, для получения безаберрационного изображения необходимо соблюдение закона косинусов, а в случае, если предмет расположен перпендикулярно оптической оси, его следствие – закон синусов.

Понятие апланатизма

Условие одновременного выполнения закона синусов при устраненной сферической аберрации для какой – либо пары сопряженных точек называется апланатизмом. Оптические системы, в которых это условие выполняется, называются апланатами, сопряженные точки – апланатическими, а поверхности, обеспечивающие получение апланатических точек, - апланатическими поверхностями.

Изопланатизм

Обобщением закона синусов для систем с остаточной сферической аберраций является условие изопланатизма – условие получения структуры наклонных пучков лучей, образующих изображение вблизи осевой точки, подобной структуре осевого пучка. Это условие имеет название условие Штебле - Лигоцкого, которые получили его одновременно и независимо. Условие имеет следующий вид:

где S’– расстояние от последней поверхности до параксиального изображения, а S’_p-– расстояние от последней поверхности до выходного зрачка.

Мерой отступления от условия изопланатизма служит величина

 

Кома

Нарушение симметрии в структуре наклонного пучка лучей в пространстве изображений называется комой. Кома проявляется в нерезкости изображения точки, характеризующейся несимметричностью пятна рассеяния относительно сагиттальной плоскости. Кома, как и сферическая аберрация, является аберрацией широкого пучка лучей. Для анализа комы отдельно рассматривают ход наклонного пучка в меридиональной плоскости, ход наклонного пучка в сагиттальной плоскости и ход косых внемеридиональных лучей. Численно кома характеризуется величиной dy’=y’-y’₀ ,

где y’ - величина изображения по данному лучу, а y’₀ – величина идеального изображения: y’₀ =yb или y’₀ =-f’tgw.

Несимметричность пятна рассеяния в меридиональной плоскости определяется меридиональной комой.

 

 

K_m =(y’_+m +y’_-m )/2 – y’_гл =(dy’_+m +dy’_-m )/2,

y’_гл - величина изображения по главному лучу.

Судить о меридиональной коме в оптической системе можно по результатам расчета осевого пучка и по величине h, являющейся мерой отступления системы от условия изопланатизма: K_m = 3y’h.

Если K_m = 0, меридиональная кома отсутствует. Но этого недостаточно для получения хорошего изображения из-за наличия сферической аберрации наклонного пучка. Результатом расчета внемеридиональных лучей являются величины dy’ в меридиональной плоскости и dx’ в сагиттальной. Графически их показывают аналогично поперечной сферической аберрации, откладывая по оси ординат (tgw’ - tgw’ _гл ) , а по оси абсцисс dy’(dx’) .

Астигматизм

Астигматизмом называется явление, заключающееся в том, что лучи бесконечно узкого наклонного пучка, идущие вблизи главного луча в меридиональной и сагиттальной плоскостях, после прохождения оптической системы собираются в разных точках.

 

 

Для определения астигматизма в реальной оптической системе производят вычисление меридиональных и сагиттальных лучей. идущих бесконечно близко к главному лучу. Найденные значения расстояний точек фокусировки астигматического пучка B’_m и B’_S от плоскости изображения по главному лучу z’_m и z’_S позволяют построить характеристические кривые астигматизма. Астигматическая разность определяется как Dz= z’_S - z’_m .

Кривизна поля изображения

Кривизной поля называют аберрацию, характеризующуюся тем, что изображение плоского предмета располагается на неплоской поверхности. При рассмотрении астигматического пучка можно найти между точками B’_m и B’_S место, в котором пятно рассеяния наименьшее и приближается к кружку. Расстояние от этой плоскocти до фокальной поверхности определяет кривизну поля изображения. Зная величины z’_m и z’_S можно найти радиусы кривизны R_m и R_S поверхностей изображения:

R_m =y’² /2z’_m ; R_S =y’² /2z’_S .

Тогда за кривизну поверхности изображения принимается среднее арифметическое кривизны обеих поверхностей изображения:

1/R=0,5(1/R_m +1/R_S ).

Для визуальных оптических систем кривизна поля имеет меньшее значение, чем для систем с фотографической и фотоэлектрической регистрацией, т.к. глаз человека последовательно осматривает различные участки поля изображения и обладает свойством приводить изображение на сетчатку. Практика показывает, что для визуальных систем изображение представляется глазу хорошим. Если кривизна поля не превосходит 2-х диоптрий.

Оптические системы, свободные от астигматизма и кривизны поля, называются анастигматами.

Лекция 12

Дисторсия

Аберрация, которая проявляется в том, что нарушается подобие изображения предмету, называется дисторсией. Дисторсия не нарушает резкость изображения, а вносит искажение в форму изображения, т.е. нарушается постоянство величины линейного увеличения в плоскости изображения. При наличии в оптической системе дисторсии квадрат будет изображаться в виде подушки, если дисторсия положительная, или в виде бочки, если дисторсия отрицательная.

Численно дисторсия определяется следующим образом:

dy’=y’_k –y’₀ .

Величина y’_k вычисляется по главному лучу.

Графически дисторсию показывают следующим образом:

 

 

Кроме выражения в линейной мере применяют относительную дисторсию в % : D = ( y’_k /y’₀ - 1) *100% . Если система не измерительная, то допустимая величина относительной дисторсии составляет 2-4 %, а в зрительных трубах до 10%.

Оптическая система, свободная от дисторсии, называется ортоскопической.

Хроматические аберрации

Для визуальной области спектра коротковолновая область ограничивается длиной волны 480 нм, которая обозначается значком l_F’. Длинноволновая часть спектра ограничивается длиной волны 646,85 нм, которая обозначается значком l_C’. За среднюю длину волны, для которой проводится расчет монохроматических аберраций, принимают длину волны 546,07 нм, вблизи которой находится максимум чувствительности человеческого глаза. Эта длина волны обозначается значком l_е. У нас в стране до недавнего времени за среднюю длину волны принималась длина волны 589,3 нм. Эта длина волны обозначается значком l_D, а края видимого диапазона ограничивались l_F =486 нм и l_C=656 нм. Линия l_D наблюдается в спектре натрия и является дуплетом, что не очень удобно.

Изображения предмета, которые дает оптическая система в лучах различной длины волны, даже в параксиальной области различаются как по положению, так и по величине в зависимости от следующих оптических характеристик материала:

-показатель преломления n

- средняя дисперсия n_F’ - n_C’

- коэффициент дисперсии n= (n_e –1)/( n_F’ - n_{C’ )}

- частная дисперсия n_l1 - n_l2

-

относительная частная дисперсия (отношение частной дисперсии к средней)

- l₁ -коротковолновая граница спектрального диапазона, l₂ - длинноволновая граница спектрального диапазона. Хроматизм рассматривается для определенных лучей в пределах заданного спектрального диапазона.

А’_F А’_D А’_C

 

После преломления в оптической системе параксиальный пучок разложится на цветные пучки, которые соберутся вдоль оптической оси от точки А’_F до точки А’_C .

Хроматическая аберрация параксиальных лучей для осевой точки предмета называется хроматизмом положения. Измеряется эта аберрация разностью расстояний от оптической системы до соответствующих точек изображения: dS_хр’=S’_F -S’_C

или в общем виде dS_хр’= S’_l1 -S’_l2 .

Для тонкой линзы (d =0) в воздухе для бесконечно удаленного предмета расстояние от оптической системы до точки изображения равно фокусному расстоянию:

Продифференцируем по показателю преломления.

Заменим (n-1)/dn коэффициентом дисперсии n, получим dS_хр’= -f’/n.

 

 

l

 

 

400 S’,

На графике представлен хроматизм положения положительной линзы. Хроматизм положения положительной линзы отрицательный, а отрицательной линзы - положительный. Комбинируя линзы, имеющие фокусные расстояния разного знака, можно получить оптическую систему, свободную от хроматизма положения.

Рассмотрим возможность устранения хроматизма в одиночной линзе.

Для предмета, находящегося в бесконечности, продифференцируем выражение для фокусного расстояния линзы конечной толщины:

F=1/f’=(n-1)(1/r₁ –1/r₂ ) +(n –1)² d/nr₁ r₂ .

Хроматизм положения будет отсутствовать, если dF=0. Это условие выполняется при