Числовая последовательность.

Определение 1: Если каждому члену n из натурального ряда чисел поставлено в соответствие вещественное число х_n, то множество вещественных чисел х₁, х₂, …, х_n – называется числовой последовательностью {х_n}. Числа х₁, х₂, …, х_n – элементы (члены) последовательности; х_n – общий элемент (член) последовательности; число n – номер последовательности. Формула, задающая х_n – называется формулой общего элемента (члена) последовательности.

Другими словами, числовая последовательность – это функция х_n=f(n), заданная на множестве всех натуральных чисел.

Определение 2: Последовательность {х_n} называется ограниченной сверху (снизу), если существует число М (число m) такое, что любой элемент х_n этой последовательности удовлетворяет неравенству х_n£М (х_n³m).

Определение 3: Последовательность {х_n} называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу (m£х_n£М).

Определение 4: Последовательность {х_n} называется неограниченной, если для любого положительного числа А существует элемент х_n, удовлетворяющий неравенству |х_n|>A.

Определение 5: Последовательность {х_n} называется возрастающей (неубывающей), если для любого n выполняется неравенство х_n+1>х_n (х_n+1³х_n).

Определение 6: Последовательность {х_n} называется убывающей (невозрастающей), если для любого n выполняется неравенство х_n+1<х_n (х_n+1£х_n).

Определение 7: Возрастающие, убывающие, невозрастающие и неубывающие последовательности называются монотонными.