Числовая последовательность.

Определение 1: Если каждому члену n из натурального ряда чисел поставлено в соответствие вещественное число хn, то множество вещественных чисел х1, х2, …, хn – называется числовой последовательностью {хn}. Числа х1, х2, …, хn – элементы (члены) последовательности; хn – общий элемент (член) последовательности; число n – номер последовательности. Формула, задающая хn – называется формулой общего элемента (члена) последовательности.

Другими словами, числовая последовательность – это функция хn=f(n), заданная на множестве всех натуральных чисел.

 

Определение 2: Последовательность {хn} называется ограниченной сверху (снизу), если существует число М (число m) такое, что любой элемент хn этой последовательности удовлетворяет неравенству хn£М (хn³m).

 

Определение 3: Последовательность {хn} называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу (m£хn£М).

 

Определение 4: Последовательность {хn} называется неограниченной, если для любого положительного числа А существует элемент хn, удовлетворяющий неравенству |хn|>A.

 

Определение 5: Последовательность {хn} называется возрастающей (неубывающей), если для любого n выполняется неравенство хn+1>хn (хn+1³хn).

 

Определение 6: Последовательность {хn} называется убывающей (невозрастающей), если для любого n выполняется неравенство хn+1<хn (хn+1£хn).

 

Определение 7: Возрастающие, убывающие, невозрастающие и неубывающие последовательности называются монотонными.