Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.

 

Определение 1: Последовательность {bn} называется бесконечно большой, если для любого положительного числа А существует номер N, такой, что при n>N выполняется неравенство |bn|>A.

Любая бесконечно большая последовательность является неограниченной. Однако неограниченная последовательность может и не быть бесконечно большой.

 

Определение 2: Последовательность {an} называется бесконечно малой, если для любого положительного числа e существует номер N, такой, что при n>N выполняется неравенство |an|<e.

 

Теорема 1: Если {bn} бесконечно большая последовательность и все её члены отличны от нуля (bn¹0), то последовательность бесконечно малая, и обратно, если {an} бесконечно малая (an¹0), то последовательность бесконечно большая.

 

Теорема 2: Сумма и разность двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малые последовательности.

 

Следствие: Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

 

Теорема 3: Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

 

Следствие: Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

 

Теорема 4: Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность.

 

Следствие: Произведение бесконечно малой последовательности на число есть бесконечно малая последовательность.