Предел числовой последовательности.

Определение 1: Число а называется пределом числовой последовательностью {х_n}, если для любого положительного числа e существует номер N такой, что при всех n>N выполняется неравенство |x_n-a|<e. Последовательность {х_n} – называется сходящейся. .

Теорема 1: Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

 

Определение 2: Последовательность {х_n} не являющаяся сходящейся называется расходящейся.

 

Из определения 1 предела следует, что каким бы малым мы ни взяли число e>0, начиная с некоторого номера N все элементы последовательности будут отличаться от числа а меньше, чем на e, то есть элементы последовательности неограниченно приближаются к числу а при неограниченном возрастании номера n.

 

Определение 3: Число а не является пределом числовой последовательности {х_n}, если существует положительное число e, что для любого номера N найдётся номер n>N такой, что выполняется неравенство |x_n-a|³e.

 

Из |x_n-a|<e Þ -e<x_n-a<e Þ а-e<x_n<а+e, то есть элемент x_n находится в e-окрестности точки а.

 

Следствие 1: Пусть {х_n} сходится и имеет своим пределом некоторое число а.

Тогда разность {х_n-а}={a_n} является бесконечно малой последовательностью, так как для любого e>0 существует номер N такой, что при всех n>N выполняется неравенство |x_n-a|=|a_n|<e.

 

Следствие 2: Всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся и имеет своим пределом 0.

 

Следствие 3: Любой элемент x_n сходящейся последовательности, имеющей пределом число а можно представить в виде: x_n=а+a_n, где a_n элемент бесконечно малой последовательности {a_n}. Справедливо и обратное.

 

Определение 4: Число а называется пределом числовой последовательностью {х_n}, если для любой e-окрестности точки а существует номер N такой, что все элементы x_n с номерами n>N находятся в этой e-окрестности.

 

Бесконечно большие последовательности имеют бесконечный предел