Предел функции.

Определение 1 (по Гейне): Число А называется пределом функции f(х) в точке х=х₀, если для любой сходящейся к х₀ последовательности значений аргумента х, отличных от x₀ соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А .

Функция может иметь в точке только один предел.

 

Определение 2 (по Коши): Число А называется пределом функции f(х) в точке х=х₀, если для любого числа e>0 существует число d>0, такое, что для всех хÎХ, х¹х₀, удовлетворяющих неравенству |x-х₀|<d, выполняется неравенство |f(x)-A|<e.

 

Теорема 1: Оба определения предела функции эквивалентны.

 

Определение 3 (по Гейне): Число А называется правым (левым) пределом функции f(х) в точке х=х₀, если для любой сходящейся к х₀ последовательности значений аргумента элементы которой х_n больше (меньше) х₀, соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А . Определения односторонних пределов.

 

Определение 4 (по Коши): Число А называется правым (левым) пределом функции f(х) в точке х=х₀, если для любого числа e>0 существует число d>0, такое, что для всех хÎХ, х¹х₀, удовлетворяющих неравенству х₀<x<х₀+d (х₀+d<x<х₀), выполняется неравенство |f(x)-A|<e. Определения односторонних пределов.

 

Теорема 2: Функция f(х) имеет в точке х=х₀ предел тогда и только тогда, когда в этой точке существует как правый, так и левый пределы и они равны.

 

Определение 5: Число А называется пределом функции f(х) при х®+¥ (х®-¥), если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента, элементы х_n которой положительны (отрицательны) соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А .

Если пределы функции при х®+¥ и при х®-¥ равны , то пишут