Основные теоремы о пределах.

Теорема 1: Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Теорема 2: Сходящаяся последовательность ограничена.

Замечание: Ограниченная последовательность может быть расходящейся.

 

Теорема 3: Сумма (разность, произведение и частное) двух сходящихся последовательностей {х_n} и {у_n}, есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме (разности, произведению и частному) пределов последовательностей {х_n} и {у_n}.

 

Теорема 4: Если элементы сходящейся последовательности {х_n}, начиная с некоторого номера удовлетворяют неравенству х_n³b (х_n£b), то и предел этой последовательности удовлетворяет неравенству а³b (а£b).

Определение предела функции на языке последовательностей даёт возможность рассматривать теоремы о пределах функций, как и теоремы о пределах последовательностей.

 

Теорема 5: Пусть функции f(x) и g(x) имеют в точке х₀ пределы В и С. Тогда функции

· f(x)±g(x),

· f(x)·g(x)

· f(x)/g(x) (при С¹0)

имеют в точке х₀ пределы, равные соответственно

· В±С,

· В·С

· В/С.

Следствие: Постоянный множитель можно выносить за знак предела.