Бесконечно малые функции.

Определение 1: Функция f(x) называется бесконечно малой функцией в точке х=х₀ (или при х®х₀), если .

Бесконечно малые функции обладают такими же свойствами, что и бесконечно малые последовательности. Бесконечно малые функции часто называют бесконечно малыми величинами или бесконечно малыми.

 

Определение 2: Функция f(x) называется бесконечно большой функцией в точке х=х₀ (или при х®х₀), если .

Аналогично определяются бесконечно малые и бесконечно большие функции при х®¥, х®+¥, х®-¥, х®х₀-0, х®х₀+0.

 

Теорема: Функция, обратная бесконечно большой функции является бесконечно малой и наоборот.

 

Две бесконечно малые функции сравниваются между собой с помощью их отношения. Рассмотрим правила сравнения:

Пусть при х®х₀ функции a(х)®0 и b(х)®0 являются бесконечно малыми. Тогда:

1) если не существует, то a(х) и b(х) – несравнимые;

2) если , то a(х) и b(х) называются бесконечно малыми одного порядка – стремятся к нулю примерно с одной и той же скоростью;

3) если , то a(х) и b(х) называются эквивалентными бесконечно малыми и обозначается a(х)~b(х).

4) если , то a(х) называется бесконечно малой более высокого порядка, чем b(х);

5) если , то a(х) называется бесконечно малой n-го порядка относительно b(х);

 

Таковы же правила сравнения бесконечно малых при х®±¥, х®х₀±0;