ЛЕКЦИЯ № 2 / 3 2. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Числа, из которых составлена матрица, называются элементами матрицы.

Положение элемента а_{i j} в матрице характеризуются двойным индексом:

первый i – номер строки;

второй j – номер столбца, на пересечении которых стоит элемент.

Сокращенно матрицы обозначают заглавными буквами: А, В, С…

Коротко можно записывать так:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, т.е. m = n , называется квадратной.

Число строк (столбцов) квадратной матрицы называется порядком матрицы.

ПРИМЕР.

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Мы будем рассматривать матрицы, элементами которых являются числа. В математике и ее приложениях встречаются матрицы, элементами которых являются другие объекты, например, функции, векторы.

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Матрица – специальное математическое понятие. С помощью матриц удобно записывать различные преобразования, линейные системы и т.д., поэтому матрицы часто встречаются в математической и технической литературе.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.Матрица размера 1 ´ n, состоящая из одной строки, называется матрицей – строкой.

ПРИМЕР.

СВОЙСТВА СЛОЖЕНИЯ МАТРИЦ И УМНОЖЕНИЯ НА ЧИСЛО

1. Переместительное свойство: А + В = В + А

2. Сочетательное свойство: ( А + В ) + С = А + ( В + С )

3. Распределительное свойство: k · ( A + B ) = k A + k B, где k – число

УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ

Матрицу А назовем с о г л а с о в а н н о й с матрицей В , если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В , т.е. для согласованных матриц матрица А имеет размер m ´ n , матрица В имеет размер n ´ k . Квадратные матрицы согласованы, если они одного порядка.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9.Произведением матрицы А размера m ´ n на матрицу В размера n ´ k называется матрица С размера m ´ k, элемент которой а_{i j} , расположенный в i –ой строке и j – ом столбце, равенсумме произведений элементов i – ой строки матрицы А на соответствующие элементы j – столбца матрицы В, т.е.

c _{i j} = a _{i 1} b _{1 j} + a _{i 2} b _{2 j} +……+ a _{i n} b _{n j}

Обозначим: С = А · В.

Если то

Произведение В ´ А не имеет смысла, т.к. матрицы не согласованы.

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Если А ´ В имеет смысл, то В ´ А может не иметь смысла.

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Если имеет смысл А ´ В и В ´ А, то, вообще говоря

А ´ В ¹ В ´ А, т.е. умножение матриц не обладает переместительным законом.

ЗАМЕЧАНИЕ 3. Если А – квадратная матрица и Е – единичная матрица того же порядка, то А ´ Е = Е ´ А = А.

Отсюда следует, что единичная матрица при умножении играет роль единицы.

ПРИМЕРЫ. Найти , если можно, А ´ В и В ´ А.

1.

Решение: Квадратные матрицы одного и того же второго порядка согласованы в томи другом порядке, поэтому А ´ В и В ´ А существуют.

2.

Решение: Матрицы А и В согласованы

Матрицы В и А не согласованы, поэтому В ´ А не имеет смысла.

Отметим, что в результате перемножения двух матриц получается матрица, содержащая столько строк, сколько их имеет матрица–множимое и столько столбцов, сколько их имеет матрица-множитель.

СВОЙСТВА УМНОЖЕНИЯ МАТРИЦ

1. Сочетательное свойство: А ´ ( В ´ С ) = (А ´ В ) ´С

2. Распределительное свойство: (А + В) ´ С = А ´ С + В ´С

Можно показать, что , если А и В – две квадратные матрицы одного порядка с определителями ½ А ½ и ½ В ½, то определитель матрицы С = А ´ В равен произведению определителей перемножаемых матриц, т.е.

½С½ = ½ А ½ ½ В ½

Отметим следующий любопытный факт. Как известно, произведение двух отличных от нуля чисел не равно нулю. Для матриц подобное обстоятельство может и не иметь места, т.е. произведение двух ненулевых матриц может оказаться равным нуль - матрице.

Действие "деление" для матриц не вводится. Для квадратных невырожденных матриц вводится обратная матрица. С понятием обратной матрицы можно познакомиться в рекомендуемой литературе.

2 – ой учебный вопрос РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ

УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГАУССА

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Рассмотренные на лекции матрицы являются удобным инструментом для записи различных математических преобразований и широко используется в научно-технической литературе. Метод Гаусса позволяет решать любые линейные системы, он находит широкое применение и содержится в пакетах стандартных программ для ЭВМ.

доцент Смирнова А.И.