КОНЕЧНЫЕ ПОЛЯ, ОСНОВАННЫЕ НА КОЛЬЦАХ МНОГОЧЛЕНОВ

Конечные поля можно построить из колец многочленов таким же образом, каким были построены поля из кольца целых чисел. Пусть имеется кольцо многочленов F [х] над полем F. Так же, как были построены для кольца Z, кольца отношений, можно построить и кольца отношений для кольца F [х]. Выбирая из F [х] произвольный многочлен р (х), можно определить кольцо отноше­ний, используя р (х) в качестве модуля для задания арифметики этого кольца. Мы ограничимся рассмотрением только приведенных многочленов, так как это ограничение снимает ненужную неопределенность построения.

Определение 2.4.1.Для произвольного приведенного многочлена р (х) ненулевой степени над полем F кольцом многочленов по модулю р (х) называется множество всех многочленов над F, степень которых не превосходит степени многочлена р (х), с операциями сложения и умножения многочленов по модулю р (х). Это кольцо принято обозначать через F(х)/(р (х)).

Произвольный элемент r(х) кольца F[х] можно отобразить в элемент кольца РF[х]/(р (х)) с помощью соответствия r(х) —R_{Р (Х)} [r (х)]. Два элемента a(х) и b(х) из F[х], отображаемые в один и тот же элемент из F[х]/(р(х)), называются сравнимыми:

а(х) = b(х) (mod p(х)).

Тогда b(х) = а(х) +Q(х) р (х) для некоторого многочлена Q(х).

Теорема 2.4.2.Множество F1х]/(р (х)) является кольцом.

Доказательствопредоставляется читателю в качестве упражнения.

Выберем в кольце многочленов над GF (2), например, многочлен р (х) = х³ + 1 . Тогда кольцо многочленов по модулю р (х) равно GF(2) [х]/(х³+ 1). Оно состоит из элементов

{0, 1, х,, x+1,x² ,x² +1, х² + х, х² + х + 1}. В этом кольце умножение выполняется, например, следующим образом:

( x² +1 ) (x²)= R_x3₊₁ (( x² +1 ) (x²)) = R_x3₊₁ (( x³ +1 ) x + x² +x ) = x² +x ,

где использована редукция по правилу х⁴ = х (х³ + 1) + х.

Теорема 2.4.3.Кольцо многочленов по модулю приведенного многочлена р (х} является полем тогда и только тогда, когда многочлен р (х) прост (Напомним, что простой многочлен является одновременно неприводимым и приведенным. Для построения поля достаточно только неприводимости р(х), но мы условились рассматривать только приведенные многочлены, так что дальнейшие результаты носят менее общий характер) .

Доказательство.Пусть многочлен р (х) прост. Чтобы доказать, что рассматриваемое кольцо образует поле, достаточно показать, что каждый ненулевой элемент имеет мультипликативный обратный. Пусть s(х) —некоторый ненулевой элемент кольца. Тогда deg s(х) < deg р(х). Так как многочлен р (х) прост, то НОД [s(x), р (х)] = 1. По следствию 2.3.7

НОД [s(x), р (х)] = 1 =a(х)р(х) + b(х) s (х)

для некоторых многочленов а(х) и b(х). Следовательно,

1 = Rр(х)[1] = Rр(х)[a(х)р(х) + b(х) s (х)]= Rр(х){ Rр(х)[a(х)р(х)} + Rр(х)[b(х) s(x)}} = Rр(х){ Rр(х)[b(х) s(x)}} = Rр(х){Rр(х)[b(х)} Rр(х)[ s(x)}} = Rр(х){Rр(х)[b(х)} s(x)}

Таким образом, в кольце многочленов по модулю р (х) многочлен Rр(х)[b(х)} является мультипликативным обратным к s(х).

Предположим теперь, что степень многочлена р (х) равна по меньшей мере 2 и что он не прост. Тогда р (х) = r(х) s(х) для некоторых r(х) и s(х), степени которых равны по меньшей мере 1. Если кольцо является полем, то многочлен r(х) имеет обратный r^-1(х), и поэтому

s(x) = Rр(х)[s(х)}= Rр(х)[ r^-1(х) r(x) b(х)}= Rр(х)[ r^-1(х) p(x) }= 0

Но s(х) ≠ 0, и мы получаем противоречие. Следовательно, такое кольцо не может быть полем.

Если над полем GFq) найден простой многочлен степени п, то, используя развитую в данном параграфе теорию, можно по­строить поле Галуа, содержащее qⁿ элементов. В этом построении элементы поля представляются многочленами над GF(q) степени не выше (п -1). Всего существует qⁿ таких многочленов, и, следова­тельно, их столько же, сколько элементов в поле.

a) б)

б)