рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Домостроительство
/
Вид работы: Домашние Задания
/
Степень Простые многочлены

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Степень Простые многочлены

Степень Простые многочлены - Домашнее Задание, раздел Домостроительство, ЛЕКЦИИ И ДОМАШНИИ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ ТОКБДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА ВВЕДЕНИЕ В ДИСКРЕТНУЮ АЛГЕБРУ 2 X2 +X +1 3 X3 +X +1 4 X4...

2 x² +x +1

3 x³ +x +1

4 x⁴ +x +1

5 x⁵ +x² +1

6 x⁶ +x +1

7 x⁷ +x³ +1

8 x⁸ +x⁴ +x³ +x² +1

9 x⁹ +x⁴ +1

10 x¹⁰ +x³ +1

11 x¹¹ +x² +1

Примечание. Все многочлены являются примитивными.

В заключение параграфа подытожим, где мы находимся. Мы разработали необходимые для получения полей построения, которые будут использованы в дальнейшем, но для полного понимания предмета необходимы еще некоторые сведения. В частности, необходимо установить следующие факты: 1) над каждым полем Галуа существуют простые многочлены любой заданной степени; 2) разработанные построения достаточны для получения всех

полей Галуа —других полей нет (Математическая строгость требует здесь большего формализма, и надо было бы сказать, что нет других полей с точностью до изоморфизма. Неформально это означает, что любые два поля Галуа с одинаковым числом элементов являются двумя различными представлениями одного и того же поля. Иллюзия другой структуры может быть, например, создана перестановкой тех же самых символов.) ; 3) в каждом поле имеются некоторые предпочтительные, так называемые примитивные элементы.

На рис. 2.3 дается сводка наиболее существенных результатов, относящихся к полям Галуа. Остальная часть главы посвящена доказательству большинства из этих результатов и введению новых понятий. Доказательство существования примитивных многочленов мы откладываем до конца § 2.5.3.

1 Число элементов любого поля Галуа равно степени простого числа. 2 Для любого простого р и целого положительного т наименьшим подполем поля GF(р^т) является поле GF(р) Элементы поля GF(р) называются целыми числами поля GF(р^т) ,а число р- его характеристикой. 3 В поле Галуа характеристики 2 для каждого элемента β поля выполняется равенство β =β- 4 Для любого простого р и целого положительного т существует поле Галуа с р^т элементами. 5 Каждое поле Галуа GF(q) содержит хотя бы один примитивный элемент. 6 Над каждым полем Галуа существует хотя бы один примитивный многочлен любой положительной степени. 7 Каждый примитивный элемент имеет над любым подполем простой минимальный многочлен. 8 Два поля Галуа с одним и тем же числом элементов изоморфны. 9 Для любого q, являющегося степенью простого числа, и любого положительного целого т поле GF(q) является подполем в GF(q^т), а ОР (q^т) является расширением поля GF(q). 10 Если п не делит т, то GF(qⁿ) не является подполем поля GF(q^m). 11 Для любого элемента поля GF(q^т) степень минимального многочлена над GF(q) является делителем т.

Рис. 2.3.Некоторые основные свойства полей Галуа.

доказательству большинства из этих результатов и введению новых понятий. Доказательство существования примитивных многочленов мы откладываем до конца § 3.3.

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

ЛЕКЦИИ И ДОМАШНИИ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ ТОКБДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА ВВЕДЕНИЕ В ДИСКРЕТНУЮ АЛГЕБРУ

ЛЕКЦИИ И ДОМАШНИИ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ ТОКБДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА... ДЛЯ СТУДЕНТОВ ДНЕВНОГО ОТДЕЛЕНИЯ СПЕЦИАЛЬНОСТИ КИРИШКИЙ ФИЛИАЛ... ВВЕДЕНИЕ В ДИСКРЕТНУЮ АЛГЕБРУ...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Степень Простые многочлены

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Доказательство.
(1). аО = а (0 + 0) = аО + аО. Вычитая из обеих частей равенства аО, получаем 0 = аО. Вторая часть утверждения (1) доказывается аналогично, (2). О = аО = а (b — b) = аb

Теорема 1.2.4.
(1) Множество единиц кольца образует группу относительно умножения в кольце (2) Если с = аb и с — единица, то а имеет правый обратный, а b — левый о

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Известный пример векторного пространства дает трехмерное евклидово пространство, фигурирующее во многих физических задачах. Его обобщением является n-мерное векторное пространство над полем веществ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Широко используемые разделы прикладной математики — линейная алгебра, в частности теория матриц, — обычно изучаются только для поля вещественных чисел и поля комплексных чисел, одна

Теорема 12.56.3.
10) Если все элементы некоторой строки квадратной матрицы равны нулю, то определитель этой матрицы равен нулю., 2П) Определитель матрицы равен определителю транспонированной мат

КОЛЬЦО ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ
| Множество всех целых чисел (положительных, отрицательных и нуля) образуют кольцо относительно обычных операций сложения и умножения. Это кольцо принято обозначать через Z. В данном пара

Теорема 2.1.2.
1. Rd(a+b)=Rd{ Rd (a) + Rd (b) } 2 . Rd(a*b)=Rd{ Rd (a) *Rd (b

КОНЕЧНЫЕ ПОЛЯ, ОСНОВАННЫЕ НА КОЛЬЦЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ
Имеется очень важная конструкция, позволяющая по заданному кольцу построить новое кольцо, называемое кольцом отношений. В случае произвольного кольца для построения кольца отношений строятс

КИТАЙСКИЕ ТЕОРЕМЫ ОБ ОСТАТКАХ
Когда можно однозначно определить целое число, если заданы только его вычеты по модулям нескольких целых чисел? Ответ на этот вопрос был известен еще в древнем Китае. Китайская теорема об остатк

КОЛЬЦА МНОГОЧЛЕНОВ
Многочленом над полем GF(q) называется математическое выражение f(x)= fn-1 xn-1+fn-2 xn

Теорема 2.3.4.
(1) Rd(х)[a(х)+b(x)]= Rd(х)[a(х)]+ Rd(х)[b(х)] , (2 ) Rd(х)

КИТАЙСКИЕ ТЕОРЕМЫ ОБ ОСТАТКАХ
Теорема 2.3.8. Для заданного множества попарно взаимно простых многочленов т1 (х), m2(х), ..., тk (х) и множества многочленов с1 (х),

КОНЕЧНЫЕ ПОЛЯ, ОСНОВАННЫЕ НА КОЛЬЦАХ МНОГОЧЛЕНОВ
Конечные поля можно построить из колец многочленов таким же образом, каким были построены поля из кольца целых чисел. Пусть имеется кольцо многочленов F [х] над полем F. Так же, как б

ПРИМИТИВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
В предыдущем параграфе было построено поле GF(4). На рис. 2.2 видно, , за исключением нуля, все элементы поля могут быть представлены в виде степени элемента х. Опред

СТРУКТУРА КОНЕЧНОГО ПОЛЯ
Ранее в данной главе мы изучали, как строить поле. Предполагая, что можно найти простой многочлен степени п над полем άGF (q), мы научились строить конечное поле с qп