2 x2 +x +1
3 x3 +x +1
4 x4 +x +1
5 x5 +x2 +1
6 x6 +x +1
7 x7 +x3 +1
8 x8 +x4 +x3 +x2 +1
9 x9 +x4 +1
10 x10 +x3 +1
11 x11 +x2 +1
Примечание. Все многочлены являются примитивными.
В заключение параграфа подытожим, где мы находимся. Мы разработали необходимые для получения полей построения, которые будут использованы в дальнейшем, но для полного понимания предмета необходимы еще некоторые сведения. В частности, необходимо установить следующие факты: 1) над каждым полем Галуа существуют простые многочлены любой заданной степени; 2) разработанные построения достаточны для получения всех
полей Галуа —других полей нет (Математическая строгость требует здесь большего формализма, и надо было бы сказать, что нет других полей с точностью до изоморфизма. Неформально это означает, что любые два поля Галуа с одинаковым числом элементов являются двумя различными представлениями одного и того же поля. Иллюзия другой структуры может быть, например, создана перестановкой тех же самых символов.) ; 3) в каждом поле имеются некоторые предпочтительные, так называемые примитивные элементы.
На рис. 2.3 дается сводка наиболее существенных результатов, относящихся к полям Галуа. Остальная часть главы посвящена доказательству большинства из этих результатов и введению новых понятий. Доказательство существования примитивных многочленов мы откладываем до конца § 2.5.3.
| 1 Число элементов любого поля Галуа равно степени простого числа. 2 Для любого простого р и целого положительного т наименьшим подполем поля GF(рт) является поле GF(р) Элементы поля GF(р) называются целыми числами поля GF(рт) ,а число р- его характеристикой. 3 В поле Галуа характеристики 2 для каждого элемента β поля выполняется равенство β =β- 4 Для любого простого р и целого положительного т существует поле Галуа с рт элементами. 5 Каждое поле Галуа GF(q) содержит хотя бы один примитивный элемент. 6 Над каждым полем Галуа существует хотя бы один примитивный многочлен любой положительной степени. 7 Каждый примитивный элемент имеет над любым подполем простой минимальный многочлен. 8 Два поля Галуа с одним и тем же числом элементов изоморфны. 9 Для любого q, являющегося степенью простого числа, и любого положительного целого т поле GF(q) является подполем в GF(qт), а ОР (qт) является расширением поля GF(q). 10 Если п не делит т, то GF(qn) не является подполем поля GF(qm). 11 Для любого элемента поля GF(qт) степень минимального многочлена над GF(q) является делителем т. |
Рис. 2.3.Некоторые основные свойства полей Галуа.
доказательству большинства из этих результатов и введению новых понятий. Доказательство существования примитивных многочленов мы откладываем до конца § 3.3.