(1) Множество единиц кольца образует группу относительно умножения в кольце
(2) Если с = аb и с — единица, то а имеет правый обратный,
а b — левый обратный элемент..
Доказательство.Непосредственная проверка.
Имеется много известных примеров колец, и ниже приводятся некоторые из них. Представляется поучительным проиллюстрировать этими примерами теоремы 1.2.3 и 1.2.4.
1. Множество всех вещественных чисел образует коммутативное кольцо с единицей относительно обычных сложения и умножения. Каждый ненулевой элемент кольца является единицей.
2. Множество всех целых чисел (положительных, отрицательных и нуля) образует коммутативное кольцо с единицей относительно обычных сложения и умножения. Это кольцо принято обозначать через 2; его единицами являются только ±1.
3. Множество всех квадратных (N X N)-матриц, элементами которых являются вещественные числа, образует некоммутативное кольцо с единицей относительно матричного сложения и умножения. Единицей является единичная (N X N)-матрица. Единицами в кольце служат все невырожденные матрицы.
4. Множество всех квадратных (N X N)-матриц, элементами которых являются целые числа, образует некоммутативное кольцо с единицей относительно матричного сложения и умножения.
5. Множество всех многочленов от x с вещественными коэффициентами образует коммутативное кольцо с единицей относительно сложения и умножения многочленов. Единицей кольца является многочлен нулевой степени p (x) = 1.
1.3. ПОЛЯ
Нестрого говоря, абелевой группой является множество, в котором можно складывать и вычитать, а кольцом — множество, в котором можно складывать, вычитать и умножать. Более сильной алгебраической структурой, называемой полем, является множество, в котором можно складывать, вычитать, умножать и делить.
Определение 1.3.1. Полем, называется множество с двумя определенными на нем операциями — сложением и умножением, -причем имеют место следующие аксиомы:
1) множество образует абелевую группу по сложению;
2) поле замкнуто относительно умножения, и множество ненулевых элементов образует абелевую группу по умножению;
3) закон дистрибутивности:
(а + b) с = ас + bс для любых а, b, с из поля.
Единичный элемент относительно сложения принято обозначать через О/и называть нулем, аддитивный обратный элементу а элемент — через -а; единичный элемент относительно умножения обозначать через 1 и называть единицей, мультипликативный обратный к элементу а элемент — через a-1. Под вычитанием (а -b) понимается а + (-b); под делением (а/b) понимается b-1а.
Широко известны следующие примеры полей:
1) R: множество вещественных чисел,
2) С: множество комплексных чисел,
3) Q: множество рациональных чисел.
Все эти поля содержат бесконечное множество элементов. Мы интересуемся полями, содержащими конечное число элементов. Поле с q элементами, если оно существует, называется конечным полем или полем Галуа и обозначается через GF (q).
Что представляет собой наименьшее поле? Оно обязательно содержит нулевой элемент и единичный элемент. На самом деле этого уже достаточно при следующих таблицах сложения и умножения:
| + | 0 1 |
| 0 1 1 0 |
| * | 0 1 |
| 0 0 0 1 |
Это поле GF (2). Проверка показывает, что не существует другого поля с двумя элементами. Ниже конечные поля будут изучены более детально. Сейчас мы приведем два простых примера и опишем их таблицами сложения и умножения (вычитание и деление неявно определяются этими же таблицами).
Поле GF(3) = {0, 1, 2} с операциями
| + | 0 1 2 | . | 0 1 2 | |
| 0 1 2 1 2 0 2 0 1 | 0 0 0 0 1 2 0 2 1 |
Поле GF(4)={0,1,2,3} c операциями
| + | 0 1 2 3 | . | 0 1 2 3 | |
| 0 1 2 3 1 0 3 2 2 3 0 1 3 2 1 0 | 0 0 0 0 0 1 2 3 0 2 3 1 0 3 1 2 |
Отметим, что умножение в поле GF (4) не является умножением по модулю 4 и сложение не является сложением по модулю 4.
Существуют многие другие поля Галуа. Даже для этрх примеров очень маленьких полей не так легко с помощью простой проверки установить, что они обладают указанной структурой. Структура этих и больших полей будет разъясняться ниже.
Прежде чем расстаться с этими примерами, заметим, что
поле GF(2) содержится в GF(4), так как в поле GF(4) два эле
мента 0 и 1 складываются и умножаются точно так же, как они
складываются и умножаются в поле GF(2). Однако GF(2) не со
держится в GF (3).
Определение 1.3.2. Пусть F- некоторое поле. Подмножество в F называется подполем, если оно само является полем относительно наследуемых из F операций сложения и умножения. В этом случае исходное поле F называется расширением поля.
Для того чтобы доказать, что подмножество конечного поля является подполем, необходимо доказать только, что оно содержит ненулевой элемент и что оно замкнуто относительно сложения и умножения. Все остальные необходимые свойства наследуются из F. Обратные элементу β по сложению или умножению элементы содержатся в порожденной β циклической группе относительно операции сложения или умножения.
Поле обладает всеми свойствами кольца, а также важным Дополнительным свойством — в нем всегда возможно сокращение.
Сокращение представляет собой слабую форму деления и означает, что если аb = ас, то b = с.
Теорема 1.3.3.Если в произвольном поле аb = ас и а ≠ О, то b = с.
Доказательство.Умножить на а-1.
Некоторые кольца могут также удовлетворять этому условию сокращения, но все-таки не быть полями. Простым примером служит кольцо целых чисел. В этом кольце сокращение возможно, но приведенное для теоремы 1.3.3 доказательство не проходит, так как в этом кольце не существует элемента а-1. Кольца, в которых всегда возможно сокращение, имеют специальное название.
Определение 1.3.4.Коммутативное кольцо, в котором b = с, если аb = ас и элемент а отличен от нуля, называется областью целостности.